Autor Tema: Probar que es un espacio de probabilidad

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04 Junio, 2021, 01:54 pm
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mg

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Hola,

Partiendo de que, \( \underline{X}:(\omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\longrightarrow{}(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \) es un vector aleatorio (y \( (\omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \) un espacio de probabilidad) n-dimensional. Definimos la función de conjuntos \( \mathbb{P}_{\underline{X}}:(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))\longrightarrow{}[0,1] \)
como:

\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(B)=\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B)),\forall{}B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \)


Quiero probar que la terna \( (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}_{\underline{X}}) \) es un espacio de probabilidad.

Es claro que \( (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \) es un espacio de medida pues \( \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) es una sigma-álgebra sobre \( \mathbb{R}^n \).

Faltaría por tanto probar que \( \mathbb{P}_{\underline{X}} \) es una medida de probabilidad. Por definición \( 0\leq{}\mathbb{P}_{\underline{X}}\leq{}1 \), por tanto verifica la primera propiedad. Queda probar que:
1)\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(\emptyset)=0 \)
2)Si \( A_1,A_2,...,A_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) son conjuntos disjuntos entonces
\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(A_1\cup{}...\cup{}A_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\mathbb{P}_{\underline{X}}(A_i)} \)

Y me temo que no encuentro la forma probar ni 1) ni 2).

Un saludo.

04 Junio, 2021, 02:18 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola,

Partiendo de que, \( \underline{X}:(\omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\longrightarrow{}(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \) es un vector aleatorio (y \( (\omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \) un espacio de probabilidad) n-dimensional. Definimos la función de conjuntos \( \mathbb{P}_{\underline{X}}:(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))\longrightarrow{}[0,1] \)
como:

\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(B)=\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B)),\forall{}B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \)


Quiero probar que la terna \( (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}_{\underline{X}}) \) es un espacio de probabilidad.

Es claro que \( (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \) es un espacio de medida pues \( \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) es una sigma-álgebra sobre \( \mathbb{R}^n \).

Faltaría por tanto probar que \( \mathbb{P}_{\underline{X}} \) es una medida de probabilidad. Por definición \( 0\leq{}\mathbb{P}_{\underline{X}}\leq{}1 \), por tanto verifica la primera propiedad. Queda probar que:
1)\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(\emptyset)=0 \)
2)Si \( A_1,A_2,...,A_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) son conjuntos disjuntos entonces
\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(A_1\cup{}...\cup{}A_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\mathbb{P}_{\underline{X}}(A_i)} \)

Y me temo que no encuentro la forma probar ni 1) ni 2).

Un saludo.

Tienes que utilizar la definición de \( \mathbb{P}_{\underline{X}} \) y las propiedades de la función inversa que nombré aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=117026.msg468749#msg468749

Con eso sale solo.

04 Junio, 2021, 02:21 pm
Respuesta #2

mg

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Acabo de caer en como hacer el 2).

Sean \( B_1,..,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) entonces tenemos que:
\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(B_1\cup{}...\cup{}B_n)=\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B_1\cup{}...\cup{}B_n))=\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B_1)\cup{}...\cup{}\underline{X}^{-1}(B_n)))=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\mathbb{P}_{\underline{X}}(B_i)} \). Donde uso que como \( (\omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \) un espacio de probabilidad entonces \( \mathbb{P} \) es una medida, luego como los \( B_i \) son disjuntos, se puede hacer lo anterior.

Respecto al 1) estaría listo si pudiera decir que \( \underline{X}^{-1}(\emptyset)=\emptyset \), pero no tiene por qué ¿no?

04 Junio, 2021, 02:27 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Respecto al 1) estaría listo si pudiera decir que \( \underline{X}^{-1}(\emptyset)=\emptyset \), pero no tiene por qué ¿no?

Se define \( f^{-1}(A):=\{x\in \operatorname{dom}(f): f(x)\in A\} \), por tanto \( f^{-1}(\emptyset )=\emptyset  \) para cualquier función.

Añado: en matemáticas todo sale de:

- usar las definiciones de los objetos matemáticos
- usar teoremas, lemas o corolarios ya conocidos
- usar axiomas si en el contexto dado los hay
- conocer lo suficiente de lógica matemática para hacer demostraciones utilizando los elementos anteriores

Así que cuando te atasques en un problema conviene fijarse bien en las definiciones, teoremas y axiomas conocidos. Por supuesto eso solo no te va a resolver el problema siempre pero en general suele ser el primer paso en su resolución.

04 Junio, 2021, 02:30 pm
Respuesta #4

mg

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Respecto al 1) estaría listo si pudiera decir que \( \underline{X}^{-1}(\emptyset)=\emptyset \), pero no tiene por qué ¿no?

Se define \( f^{-1}(A):=\{x\in \operatorname{dom}(f): f(x)\in A\} \), por tanto \( f^{-1}(\emptyset )=\emptyset  \) para cualquier función.

Perfecto. Muchas gracias.