Autor Tema: Integral exp(x^2)

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01 Junio, 2021, 12:06 am
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mg

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Hola,

Quiero ver como calcular la siguiente integral definida. Sea \( [a,b] \).

La integral es \( \displaystyle\int_{a}^{b}e^{x^2}dx \).

Por lo que he visto, se puede hacer usando que la exponencial es una función analítica de modo que, a menos que ustedes me corrijan, la integral sería:

 \( \displaystyle\int_{a}^{b}e^{x^2}dx=x+\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{x^5}{10}+....|_{a}^b=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}|_{a}^b=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(b-a)^{2n+1}}{n!(2n+1)}} \)


En mi ejercicio el intervalo de integración es [0,4], por tanto tendría que:

\( \displaystyle\int_{0}^{4}e^{x^2}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(4)^{2n+1}}{n!(2n+1)}} \)

He visto que por el criterio del cociente, el límite da 0, por tanto la serie es convergente. ¿Se puede hallar la suma exacta de esa serie?

Un saludo.

01 Junio, 2021, 04:21 am
Respuesta #1

Masacroso

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He visto que por el criterio del cociente, el límite da 0, por tanto la serie es convergente. ¿Se puede hallar la suma exacta de esa serie?

No que yo sepa.

01 Junio, 2021, 05:49 pm
Respuesta #2

NoelAlmunia

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Hola,

Quiero ver como calcular la siguiente integral definida. Sea \( [a,b] \).

La integral es \( \displaystyle\int_{a}^{b}e^{x^2}dx \).

Por lo que he visto, se puede hacer usando que la exponencial es una función analítica de modo que, a menos que ustedes me corrijan, la integral sería:

 \( \displaystyle\int_{a}^{b}e^{x^2}dx=x+\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{x^5}{10}+....|_{a}^b=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}|_{a}^b=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(b-a)^{2n+1}}{n!(2n+1)}} \)


En mi ejercicio el intervalo de integración es [0,4], por tanto tendría que:

\( \displaystyle\int_{0}^{4}e^{x^2}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(4)^{2n+1}}{n!(2n+1)}} \)

He visto que por el criterio del cociente, el límite da 0, por tanto la serie es convergente. ¿Se puede hallar la suma exacta de esa serie?

Un saludo.

Una razón por la cual las series de Taylor son importantes es que permiten integrar funciones que antes no podían tratarse. Newton integraba a menudo funciones expresándolas primero como series de potencias, y que luego integraba término a término. No es posible integrar la función \( f_\left(x\right)=e^\left(x^2\right) \) por medio de técnicas conocidas hasta el momento, ya que su antiderivada no es una función elemental.

Aunque es posible encontrar la serie de Maclaurin de esta función por el método directo, puede determinarse simplemente reemplazando \( x \) con \( x^2 \) en la serie de Maclaurin para \( e^x \):
\( e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle\frac{x^n}{n!}\right)=1+\left(\displaystyle\frac{x}{1!}\right)+\left(\displaystyle\frac{x^2}{2!}\right)+\left(\displaystyle\frac{x^3}{3!}\right)+... \), con un radio de convergencia \( R=\infty \)

Por tanto, para todos los valores de \( x \):
\( e^\left(x^2\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle\frac{x^\left(2n\right)}{n!}\right)=1+\left(\displaystyle\frac{x^2}{1!}\right)+\left(\displaystyle\frac{x^4}{2!}\right)+\left(\displaystyle\frac{x^6}{3!}\right)+... \)

Integramos término a término: \( \displaystyle\int_{a}^{b}e^\left(x^2\right)\,dx=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle\frac{x^\left(2n\right)}{n!}\right)\right)\,dx=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1+\left(\displaystyle\frac{x^2}{1!}\right)+\left(\displaystyle\frac{x^4}{2!}\right)+\left(\displaystyle\frac{x^6}{3!}\right)+...\right)\,dx \)

Esta serie es convergente para toda \( x \) ya que la serie original para \( e^\left(x^2\right) \) converge para toda \( x \)

Aplicando luego el teorema fundamental del Cálculo puedes integrar término a término y evaluar en los límites de integración determinados.

Saludos cordiales.  ;)

01 Junio, 2021, 06:37 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Hola    Editado

...En mi ejercicio el intervalo de integración es [0,4], por tanto tendría que:

\( \displaystyle\int_{0}^{4}e^{x^2}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(4)^{2n+1}}{n!(2n+1)}} \)
...

Para obtener un error menor que 1 hay que sumar más de 40 términos.

Sumando 50 términos usando python resulta   \[ I\approx 1149400.6345899305 \]



Añadido datos de error
Usando uno de los  métodos numéricos, el de Simpson, he obtenido que la integral resulta:

\[ I\approx 1149470.3753843533 \]

Si n es la cantidad de subintervalos en que dividimos a [0,4]
El error se calcula con la fórmula    \[ E=\dfrac{4\cdot(12e^{\xi^2}+48\xi^2e^{\xi^2}+16\xi^4e^{\xi^2})}{180} \]

\[ \xi \in [0,4] \]   El máximo error debe ser cuando \[ \xi=4 \]

Para n=50   el error máximo esperado puede ser hasta de 39438.722751598485
Para n=100 el error máximo puede ser hasta de 2464.9201719749053
Para n=1000 el error máximo puede ser hasta de 0.2464920171974906

El error máximo es menor que 1 a partir de n=705

El código en python es

Código: [Seleccionar]
import math as m



def funcion(a):
    return(m.exp(a**2))

def simpson(a,b):
    divisiones=100
    h=(b-a)/divisiones
    suma=0
   
    for i in range(divisiones+1):
        if (i==0 or i==divisiones):
            print("x inicial (final): {}".format(a+i*h))
            suma=suma+funcion(a+i*h)
        elif(i%2==1):
            suma=suma+4*funcion(a+i*h)
        elif(i%2==0):
            suma=suma+2*funcion(a+i*h)
    suma=h*suma/3
    return(suma)


print(simpson(0,4))

O estoy comentiendo algún error aplicando Simpson, debo revisar, o el error debido a Simpson es poco más de 69. 

Parece ser un error natural de la regla de Simpson ya que coincide con el resultado de la calculadora online siguiente:
https://www.emathhelp.net/calculators/calculus-2/simpsons-rule-calculator/?f=e%5E%28x%5E2%29&a=0&b=4&n=100

Wolfram da como resultado \[ I\approx 1.14940063458993037087893903757880670916947535343667683519374 × 10^6 \]


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

01 Junio, 2021, 09:26 pm
Respuesta #4

NoelAlmunia

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Usando la apk "Calculadora Gráfica de Mathlab" v. 4.12.147 en mi teléfono obtengo la cifra: 1149400.634483641
Estas apk también utilizan el desarrollo en series de potencia para integrar y hallar límites de funciones.

01 Junio, 2021, 09:43 pm
Respuesta #5

mathtruco

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Estas apk también utilizan el desarrollo en series de potencia para integrar y hallar límites de funciones.

Me soprendería que usen series de potencia, porque primero tendrían que calcular la serie y luego integrar término a término. Sin tener más información, yo pensaría que estas apps usan alguna cuadratura numérica, como la sugerida por ingmarov.

01 Junio, 2021, 10:02 pm
Respuesta #6

NoelAlmunia

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Estas apk también utilizan el desarrollo en series de potencia para integrar y hallar límites de funciones.

Me soprendería que usen series de potencia, porque primero tendrían que calcular la serie y luego integrar término a término. Sin tener más información, yo pensaría que estas apps usan alguna cuadratura numérica, como la sugerida por ingmarov.

Así es, no solamente las apk sino que algunos sistemas algebráicos computacionales calculan los límites e integrales de esta manera.

04 Junio, 2021, 06:26 pm
Respuesta #7

mathtruco

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(...)
Me soprendería que usen series de potencia, porque primero tendrían que calcular la serie y luego integrar término a término. Sin tener más información, yo pensaría que estas apps usan alguna cuadratura numérica, como la sugerida por ingmarov.

Así es, no solamente las apk sino que algunos sistemas algebráicos computacionales calculan los límites e integrales de esta manera.

Sin ánimo de polemizar, y hablando desde mi intuición e ignorancia, ¿Es algo que te consta? Porque yo no veo forma de asegurar eso.