Autor Tema: Simetría en una esfera

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18 Mayo, 2021, 08:18 pm
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mg

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Hola,

Me gustaría estudiar la simetría de una esfera analíticamente, para hallar su campo gravitatorio en el interior de la esfera fácilmente.  Gráficamente, trabajando en esféricas se ve que la función \( \overrightarrow{g} \) del campo gravitatorio no depende de \( \phi \) ni de \( \theta \).

Agradecería que me ayudaran a verlo. Digamos que \( \overrightarrow{g(\overrightarrow{r})}=g_r+g_\phi+g_\theta \).

Tratemos de ver la invarianza de \( \theta \).
 
Fijamos \( r,\phi \) y tomemos \( \theta_1,\theta_2 \). Quiero ver que se verifica que \( g(r,\phi,\theta_1)=g(r,\phi,\theta_2) \).


Y bueno no se como seguir, puesto que este cálculo, de las invarianzas me interesa hacerlo antes de calcular el campo, para simplificar cálculos.

Un saludo.


18 Mayo, 2021, 10:22 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Hola,

Me gustaría estudiar la simetría de una esfera analíticamente, para hallar su campo gravitatorio en el interior de la esfera fácilmente.  Gráficamente, trabajando en esféricas se ve que la función \( \overrightarrow{g} \) del campo gravitatorio no depende de \( \phi \) ni de \( \theta \).

Agradecería que me ayudaran a verlo. Digamos que \( \overrightarrow{g(\overrightarrow{r})}=g_r+g_\phi+g_\theta \).

Tratemos de ver la invarianza de \( \theta \).
 
Fijamos \( r,\phi \) y tomemos \( \theta_1,\theta_2 \). Quiero ver que se verifica que \( g(r,\phi,\theta_1)=g(r,\phi,\theta_2) \).


Y bueno no se como seguir, puesto que este cálculo, de las invarianzas me interesa hacerlo antes de calcular el campo, para simplificar cálculos.

Un saludo.



Lo más fácil es usar el teorema de Gauss sobre el flujo de un campo vectorial.
https://chemamartin.files.wordpress.com/2015/02/flujo-de-un-campo-t-gauss.pdf

Si no quieres utilizarlo y supones que la esfera tiene una distribución de densidad que dependa solo del radio, entonces se puede demostrar el campo que existe en un punto del espacio, por ejemplo exterior a la esfera, en este las contribuciones al campo que tienen una componente en dirección No radial,  esta componente no radial se cancela con otra simétrica de sentido opuesto, quedando siempre el campo neto en dirección radial.

Fíjate en este enlace, para un punto P existen infinitas coronas donde las contribuciones no radiales se cancelan 2 a 2.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/gravedad/gravedad.htm

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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18 Mayo, 2021, 10:33 pm
Respuesta #2

robinlambada

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Se me acaba de ocurrir una idea intuitiva, que no es una demostración, para ver que el campo no puede depender de \( \theta \) y \( \phi \) , es decir \( g=g(r) \)

Basta con rotar la esfera cualquier ángulo con cualquier eje que pase por su centro, entonces la distribución de masa( densidad)  no varia, ya que esta depende solo de la distancia radial \( \rho=\rho(r) \),y cualquier punto que escojamos del espacio no se entera de que se haya girado la esfera, pues la distribución de masa es invariante frente a giros respecto al centro y el campo en un punto depende de esta distribución, además como siempre gracias a la simetría adicional de la esfera podemos agrupar las contribuciones de masa en anillos (con centro en el eje que va ddel centro de la esfera al punto P donde queremos calcular el campo) con igual densidad y en estos anillos la simetría (cancelación de pares opuestos de contribuciones de masa) hace que la dirección del campo también sea radial.

Saludos.
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19 Mayo, 2021, 01:54 am
Respuesta #3

Richard R Richard

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Hola, la aceleración de gravedad en un punto P del espacio, es la sumatoria de las contribuciones de cada elemento de masa \( dM \) distribuidos a su alrededor, si solo consideramos una esfera de Masa total \( M \)  cuyo centro se halla a una distancia \( r \) del punto \( P \), podemos trazar una recta que una el centro y el punto \( P \) , podemos tomar esta recta como el eje \( x \), y arbitrariamente, definir los ejes \( y \) y \( z \), perpendiculares a \( x \).


Pero que pasa si en vez de centrar las coordenadas en la masa \( M \), la centramos en el punto \( P \), que es el que "sentirá" el campo gravitacional como sumatoria de la contribuciones de los elementos de masa  \( dM \), ubicados  en \( (r,\theta ,\phi) \)




como se trata de una esfera única, tenemos que entender que en la posición \( -|r| \) del eje \( x \)  , no hay una masa \( M \) , que compense la gravedad producida por la Masa \( M \) en  \( +|r| \). No hay simetria


Pero , cualquier elemento de masa ubicado en \( (r,\theta,\phi) \) ubicado dentro de la esfera  crea un diferencial de  fuerza  cuya componentes en las direcciones perpendiculares al eje \( x \) son compensadas por la gravedad de otro elemento de masa , ubicado en la posición simétricamente en \( (r,-\theta, \phi) \), y mucho más para decir no hay.


Si consideramos la densidad como una variable de la posición \( (r,\theta,\phi) \), la simetría de la esfera  nos garantiza que será la densidad será  misma en la posición \( (R,-\theta, \phi) \)  y su contribución , en los ejes perpendiculares a la direccion \( x \) seguirá siendo nula.


\( \rho(r,\theta, \phi)=\rho(r,-\theta, \phi) \)


Que significa esto que \( r \) y \( \phi \) definen un anillo de masa diferencial , cuyos elementos diametralmente opuestos compensan las contribuciones en el eje \( y \) y en el eje \( z \), pero no en el \( x \).


Como el eje \( x \) pasa por el centro de masa de \( M \), que por simetría está en el centro de la esfera, tiene la direccion radial en un sistema de referencia centrado en la masa \( M \), cuya distancia al punto \( P \) es justamente  \( r \) , y la fuerza que provoca el campo generada por la propia masa, entonces solo tiene componente en esa direccion, sea cual fuere los ángulos espaciales definidos en ese nuevo sistema de referencia, siempre la fuerza provocada por el campo gravitatorio tendrá direccion radial, y su módulo solo depende de esa coordenada espacial radial.

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

19 Mayo, 2021, 12:33 pm
Respuesta #4

mg

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Muchas gracias a ambos, entre lo que ustedes me dijeron y más cosas que estuve investigando ya entendí todo el asunto.

Un saludo.

19 Mayo, 2021, 08:36 pm
Respuesta #5

robinlambada

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Si consideramos la densidad como una variable de la posición \( (r,\theta,\phi) \), la simetría de la esfera  nos garantiza que será la densidad será  misma en la posición \( (R,-\theta, \phi) \) y su contribución , en los ejes perpendiculares a la direccion \( x \) seguirá siendo nula.
No se exactamente a que te refieres con simetría de la esfera, si es solo a su  geometría, entonces la forma esférica no garantiza nada respecto a la densidad en cada punto de la esfera , esta densidad puede tener cualquier distribución en principio \( \rho=\rho(r,\theta,\phi) \), sólo en caso de que la distribución de densidad dependa solo del radio  \( \rho=\rho(r) \) y además este distribuida la masa formando una esfera, estas dos condiciones son necesarias para que el campo dependa solo de la distancia al centro de la esfera y tenga dirección radial.

Citar

\( \rho(r,\theta, \phi)=\rho(r,-\theta, \phi) \)
Esto es una condición necesaria además de la forma esférica, no una consecuencia de que la masa sea esférica.

Saludos.
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20 Mayo, 2021, 12:20 am
Respuesta #6

Richard R Richard

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No se exactamente a que te refieres con simetría de la esfera, si es solo a su  geometría, entonces la forma esférica no garantiza nada respecto a la densidad en cada punto de la esfera , esta densidad puede tener cualquier distribución en principio \( \rho=\rho(r,\theta,\phi) \), sólo en caso de que la distribución de densidad dependa solo del radio  \( \rho=\rho(r) \) y además este distribuida la masa formando una esfera, estas dos condiciones son necesarias para que el campo dependa solo de la distancia al centro de la esfera y tenga dirección radial.


Hola robinlambada creo que es fácil ponernos de acuerdo, lo que digo, es que tenemos una esfera de masa \( M \) ,  solo si la densidad es constante en cada capa esférica de radio r, es decir que es simétrica para las coordenadas angulares  \( \theta \) y \( \phi \) , podemos asegurar que el centro de masa este en el centro de la esfera y que el campo gravitatorio sea simétrico, también esas coordenadas y que dependa solo de la distancia al centro de masas,  esto es que visto desde un punto \( P \) externo a la masa M , las variaciones de \( \theta \) son similares a las de \( \Theta \) y las de \( \phi \) tiene una relación de proporcionalidad con las de \( \Phi \), pongo otros nombres de coordenadas para no confundir los ángulos respecto del punto \( P \), con los del centro de la esfera.

para poner fórmulas sencillas considero la densidad constante y tenemos que la aceleración de la  gravedad es



\( \left\{\begin{aligned}g(r)&=g_0\dfrac{r}{R_T}=\dfrac{GM r}{R_T^3}\quad &\to\quad 0&\leq r<R_T\\g(r)&=\dfrac{GM }{r^2}\quad &\to\quad R_T&\leq R<\infty\end{aligned}\right. \)



es decir no solo me refiero a la geometría , sino que entiendo que debe ser tambíen simétrica la distribución de densidad, para que el el centro de masas, este en el centro de la esfera y  además la gravedad sea solo una función de la coordenada radial y a la vez una constante o independiente para cualquier variación angular.


Citar
Esto es una condición necesaria además de la forma esférica, no una consecuencia de que la masa sea esférica.

Seguro estoy de acuerdo contigo, no me doy cuenta de donde podría desprenderse el texto, por el que hayas interpretado que sea una consecuencia. Dime lo busco y edito.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

20 Mayo, 2021, 08:24 am
Respuesta #7

robinlambada

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No se exactamente a que te refieres con simetría de la esfera, si es solo a su  geometría, entonces la forma esférica no garantiza nada respecto a la densidad en cada punto de la esfera , esta densidad puede tener cualquier distribución en principio \( \rho=\rho(r,\theta,\phi) \), sólo en caso de que la distribución de densidad dependa solo del radio  \( \rho=\rho(r) \) y además este distribuida la masa formando una esfera, estas dos condiciones son necesarias para que el campo dependa solo de la distancia al centro de la esfera y tenga dirección radial.


Hola robinlambada creo que es fácil ponernos de acuerdo, lo que digo, es que tenemos una esfera de masa \( M \) ,  solo si la densidad es constante en cada capa esférica de radio r, es decir que es simétrica para las coordenadas angulares  \( \theta \) y \( \phi \) , podemos asegurar que el centro de masa este en el centro de la esfera y que el campo gravitatorio sea simétrico, también esas coordenadas y que dependa solo de la distancia al centro de masas,  esto es que visto desde un punto \( P \) externo a la masa M , las variaciones de \( \theta \) son similares a las de \( \Theta \) y las de \( \phi \) tiene una relación de proporcionalidad con las de \( \Phi \), pongo otros nombres de coordenadas para no confundir los ángulos respecto del punto \( P \), con los del centro de la esfera.

para poner fórmulas sencillas considero la densidad constante y tenemos que la aceleración de la  gravedad es



\( \left\{\begin{aligned}g(r)&=g_0\dfrac{r}{R_T}=\dfrac{GM r}{R_T^3}\quad &\to\quad 0&\leq r<R_T\\g(r)&=\dfrac{GM }{r^2}\quad &\to\quad R_T&\leq R<\infty\end{aligned}\right. \)



es decir no solo me refiero a la geometría , sino que entiendo que debe ser tambíen simétrica la distribución de densidad, para que el el centro de masas, este en el centro de la esfera y  además la gravedad sea solo una función de la coordenada radial y a la vez una constante o independiente para cualquier variación angular.


Citar
Esto es una condición necesaria además de la forma esférica, no una consecuencia de que la masa sea esférica.

Seguro estoy de acuerdo contigo, no me doy cuenta de donde podría desprenderse el texto, por el que hayas interpretado que sea una consecuencia. Dime lo busco y edito.
Si, estamos totalmente de acuerdo. lo que ocurre es que no me quedo claro a que te referías con símetría de la esfera. ya que de por si toda esfera es simétrica, es decir la ecuación que la describe analíticamente en coordenadas esféricas es \( r\leq{}a \), su expresión analítica no varia por giros desde su centro ( si pasamos de x a x' de y a y'....) \( x^2+y^2+z^2\leq{}a^2\rightarrow{}x'^2+y'^2+z'^2\leq{}a^2 \)

Pero además su distribución de masa como coincidimos debe ser también simétrica respecto a giros, este aspecto es el que no me quedo claro de tu exposición.

Saludos.
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20 Mayo, 2021, 09:23 am
Respuesta #8

robinlambada

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De todas formas creo conveniente recalar que que la función de densidad no puede depender explícitamente de las coordenadas angulares.

Es decir \( \rho=\rho(r) \)

La expresión \( \rho(r,\theta, \phi)=\rho(r,-\theta, \phi) \) , aunque es cierta puede llevar a confusión, puesto que lo único que se entiende en esta expresión es que la función es par respecto de la variable \( \theta \) aunque pueda depender explicitamente del ángulo como por ejemplo  \( \rho=r\theta^2 \phi^2 \)

Saludos.
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21 Mayo, 2021, 04:22 am
Respuesta #9

Richard R Richard

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De todas formas creo conveniente recalar que que la función de densidad no puede depender explícitamente de las coordenadas angulares.

Es decir \( \rho=\rho(r) \)

La expresión \( \rho(r,\theta, \phi)=\rho(r,-\theta, \phi) \) , aunque es cierta puede llevar a confusión, puesto que lo único que se entiende en esta expresión es que la función es par respecto de la variable \( \theta \) aunque pueda depender explicitamente del ángulo como por ejemplo  \( \rho=r\theta^2 \phi^2 \)

Saludos.

Si tienes razón, esa expresión esta mal debí poner \( \rho(r,\theta, \phi)=\rho(r,\pi+\theta, \phi) \) donde \( \theta\in[0,2\pi] \) para expresar correctamente lo que quería decir. la expresión \( \rho=\rho(r) \) que es correcta claro ,no me dejaba explicar porque las componentes de la gravedad se compensan por simetría esférica.

Las componentes de gravedad se compensan en las direcciones perpendiculares a la direccion radial R que une el punto P con el centro de la esfera, por ejemplo la que genera el elemento diferencial de masa Q ,para el cual existe un elemento diferencial simétrico S , que aporta las mismas componentes con signo contrario, pero no en la direccion radial.
Es de hacer notar que siempre plantee el sistema con este sistema de referencia,   para el cual  desde mi punto de vista  \( \rho=r\theta^2 \phi^2 \) presentaría el inconveniente que \( g(R) \) tendría otro modulo para otros punto arbitrarios \( P_2 \) del espacio, ya que la direccion R depende del punto P  y otro punto P_2 arbitrario no ser solicitado con la misma componentes si \( \theta \) y \( \phi   \) ya que estan dependen de P y no de \( P_2 \), ala vez si \( \theta \) y \( \phi   \) fueran medidas desde el centro de la esfera, para no confundirlas las renombro con mayusculas ,y  \( \rho=Kr'\Theta^2 \Phi^2 \) entonces el CM no estaría en el centro de la esfera, (K es una constante de proporcionalidad para ajustar unidades).

quizá un dibujo aclare mejor que 1000 palabras

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)