Autor Tema: Producto escalar.

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11 Mayo, 2021, 03:12 pm
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
¿Es cierto que si \( v \) es un vector no nulo entonces la igualdad \( 〈u,v〉=〈w,v〉 \) implica \( u=w \)? ¿Que puede decirse de \( u−w \)?

Para la primera parte es fácil dar un contra ejemplo:
\( u=(10,0,0) \)
\( w=(5,0,5) \)
\( v=(1,1,1) \)

\( 〈u,v〉= 〈w,v〉 = 10 \) sin embargo \( u≠w \).

No le encuentro sentido a la parte 2, no veo que tiene de especial \( u-w \), ¿Alguien me podría dar alguna idea?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

11 Mayo, 2021, 03:21 pm
Respuesta #1

mg

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Hola,

A menos que me equivoque y los compañeros del foro me corrijan, ocurre lo siguiente:

\( \left<{u,v}\right>=\left<{w,v}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u,v}\right>+\left<{-w,0}\right>=\left<{w,v}\right>+\left<{-w,0}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u-w,v}\right>=\left<{0,v}\right> \). Por tanto ocurre lo siguiente, o bien \( u-w=0 \) o bien \( (u-w)\perp{}v \).

11 Mayo, 2021, 05:07 pm
Respuesta #2

mathtruco

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Hola. La respuesta de mg es correcta, pero podría precisarse mejor notando que \( \langle0,v\rangle=0 \), con lo cual llega a

   \(  \langle u-w,v\rangle=0 \)

por lo que lo único que podemos afirmar es \( u-w\perp v \) (el vector nulo es ortogonal a todos los vectores, así que no es necesario mencionarlo).

El contraejemplo propuesto por franma está perfecto. Nota que tu contraejemplo cumple \( u-w\perp v \), como acabamos de probar sí o sí debía cumplirlo.

Una última observación, si la proposición original fuera un poco distinta:

       Si para todo \( v \) se cumple \( \langle u,v\rangle=\langle w,v\rangle \) entonces entonces \( u=w \)

es verdadera. La demostración es repetir los pasos de lo propuesto por mg.

    \( \langle u,v\rangle=\langle w,v\rangle\Leftrightarrow\langle u,v\rangle-\langle w,v\rangle=0\Leftrightarrow \langle u-w,v\rangle=0 \).

Como \( \langle u-w,v\rangle=0 \) para todo \( v \), entonces en particular para \( v=u-w \), de donde

    \( \langle u-w,u-w\rangle=0\Leftrightarrow \|u-w\|=0\Leftrightarrow u-w=0\Leftrightarrow u=w \).

11 Mayo, 2021, 06:02 pm
Respuesta #3

franma

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Buenas,

Muchas gracias a ambos! Me ha quedado claro.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

12 Mayo, 2021, 09:04 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

A menos que me equivoque y los compañeros del foro me corrijan, ocurre lo siguiente:

\( \left<{u,v}\right>=\left<{w,v}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u,v}\right>+\left<{-w,0}\right>=\left<{w,v}\right>+\left<{-w,0}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u-w,v}\right>=\left<{0,v}\right> \). Por tanto ocurre lo siguiente, o bien \( u-w=0 \) o bien \( (u-w)\perp{}v \).

Está bien. Pero reconozco que me llama la atención la forma de hacerlo. Me parece más natural simplemente:

\( <u,v>=<w,v>\quad \Rightarrow{}\quad <u,v>-<w,v>=0\quad \Rightarrow{}\quad <u-w,v>=0 \)

Saludos.