Autor Tema: Duda en demostración

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Mayo, 2021, 09:19 pm
Leído 120 veces

mg

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 285
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,

Tengo una duda en la siguiente demostración.

Enunciado: (Lema de Gronwall)
Supongamos que:

\( u(t)\leq{}M+\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \),

donde \( M\in{\mathbb{R}} \), \( a\geq{}0 \), \( a,u\in{}C^0([t_0,t_1]) \). Entonces
\( u(t)\leq{}Mexp(\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds \).

Demostración:
Pongamos \( v(t)=\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \), \( \forall{t}\in{}[t_0,t_1] \),
Entonces \( v\in{C^1([t_0,t_1])} \) y, por hipótesis, \( u\leq{}M+v \), de donde \(  v'=au\leq{}aM+av \), esto es:

\( v'(t)-a(t)v(t)\leq{}a(t)M \)

Multiplicando la desigualdad por \( exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \), obtenemos:
 \( \displaystyle\frac{d}{dt}v(t)exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)=(v'(t)-a(t)v(t))exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)\leq{}a(t)Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \).

Integrando con respecto a t, y teniendo en cuenta que \( v(t_0)=0  \) tenemos que:

\( v(t)\leq{}M\displaystyle\int_{t_0}^{t}(a(s)exp(-\displaystyle\int_{s}^{t}a(z)dz)ds)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz)-M \),  (*)

de donde,

\( u(t)\leq{}M+v(t)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz) \)

Esa es la demostración.

Cómo pasa a (*) es mi duda.