[manooooh]

Hola!

Quería consultar por la cuestión de cómo se interpreta formalmente una proposición con cuantificadores.

Si tenemos alguna de estas proposiciones:

\( \forall x\,p(x) \), \( \exists x\,q(x) \)

y queremos negarlas, simplemente lo hacemos como sabemos hacer:

\( \exists x\,\neg p(x) \), \( \forall x\,\neg q(x) \)

Ahora bien, en algún lado creo recordar haber visto que \( \exists x\,p(x) \) es una abreviatura de \( \exists x\land p(x) \) donde \( \land \) es la conjunción habitual. Quería saber si esto es así.

Porque si fuera así, encuentro varios problemas:

1) La conjunción es un operador binario entre proposiciones. Pero ni \( \exists x \) es proposición y menos lo es \( p(x) \).

2) Al negar la nueva forma, deja de tener sentido lo que conocíamos de siempre. Por ejemplo si negamos \( \exists x\,p(x) \) que "sabemos" que es equivalente a \( \exists x\land p(x) \), nos queda \( \forall x\lor\neg p(x) \), y no sé cómo interpretar eso.

3) Cuando hay cuantificadores seguidos. Por ejemplo \( \forall x\,\exists y\,p(x,y) \) se puede reescribir como \( \forall x\land\exists y\land p(x,y) \) y como la conjunción es conmutativa, podemos decir \( \exists y\land\forall x\land p(x,y) \) luego \( \exists y\,\forall x\,p(x,y) \), cuando en general no es equivalente intercambiar los cuantificadores.

Entonces, ¿cuán de cierto hay al definir/interpretar/formalizar proposiciones del estilo \( \forall x\,p(x) \) como \( \forall x\land p(x) \)? ¿Cuál sería la definición correcta de "\( \forall \)" y "\( \exists \)"? Supongo que debe haber un cierto formalismo en los libros de lógica.

Gracias!!
Saludos

[feriva]

Una pregunta, manooooh, para saberlo yo, que no lo sé.

¿Esto \( \exists x\land p(x)
  \)es lo mismo que decir esto \[ \exists(x\land p(x)) \]
 ?

Buenos días, saludos. .

[geómetracat]

Ahora bien, en algún lado creo recordar haber visto que \( \exists x\,p(x) \) es una abreviatura de \( \exists x\land p(x) \) donde \( \land \) es la conjunción habitual. Quería saber si esto es así.

Seguro que recuerdas mal. \[ \exists x \wedge p(x) \] no tiene ningún sentido, no es una fórmula bien formada. Siempre tiene que ser \[ \exists x\, \alpha \], donde \[ \alpha \] es una fórmula. No puede haber conectores en medio.

Quizás lo que pasa es que te estás confundiendo con notación de teoría de conjuntos, donde se usa \[ \exists x \in A \, \phi(x) \] para abreviar la fórmula \[ \exists x\, (x \in A \wedge \phi(x)) \].

[manooooh]

Hola a ambos, muchas gracias por las respuestas y disculpen la ausencia en el foro

Una pregunta, manooooh, para saberlo yo, que no lo sé.

¿Esto \( \exists x\land p(x)
  \)es lo mismo que decir esto \[ \exists(x\land p(x)) \]
 ?

No, al menos no conozco que se escriba así. Piensa que el \( \exists \) por sí solo como que no tiene mucho sentido, siempre debe venir acompañado de una variable. Igual lo que yo escribí también estaba mal como lo hacen notar aquí:

Seguro que recuerdas mal. \[ \exists x \wedge p(x) \] no tiene ningún sentido, no es una fórmula bien formada. Siempre tiene que ser \[ \exists x\, \alpha \], donde \[ \alpha \] es una fórmula. No puede haber conectores en medio.

Quizás lo que pasa es que te estás confundiendo con notación de teoría de conjuntos, donde se usa \[ \exists x \in A \, \phi(x) \] para abreviar la fórmula \[ \exists x\, (x \in A \wedge \phi(x)) \].

Gracias. ¿Y \( \forall x\in A\,\phi(x) \) es una abreviatura de (equivalente a) \( \forall x\,x\in A\to\phi(x) \)? Lo pongo con un condicional porque entiendo que si no hay ningún \( x \) que cumpla \( x\in A \), trivialmente la forma abreviada es cierta, y también lo es la expandida, pues con antecedente falso se concluye que el condicional es verdadero. ¿Es así?

Saludos

[geómetracat]

Gracias. ¿Y \( \forall x\in A\,\phi(x) \) es una abreviatura de (equivalente a) \( \forall x\,x\in A\to\phi(x) \)? Lo pongo con un condicional porque entiendo que si no hay ningún \( x \) que cumpla \( x\in A \), trivialmente la forma abreviada es cierta, y también lo es la expandida, pues con antecedente falso se concluye que el condicional es verdadero. ¿Es así?

Sí, eso es.

[feriva]

Hola a ambos, muchas gracias por las respuestas y disculpen la ausencia en el foro

Una pregunta, manooooh, para saberlo yo, que no lo sé.

¿Esto \( \exists x\land p(x)
  \)es lo mismo que decir esto \[ \exists(x\land p(x)) \]
 ?

No, al menos no conozco que se escriba así. Piensa que el \( \exists \) por sí solo como que no tiene mucho sentido, siempre debe venir acompañado de una variable. Igual lo que yo escribí también estaba mal como lo hacen notar aquí:

Seguro que recuerdas mal. \[ \exists x \wedge p(x) \] no tiene ningún sentido, no es una fórmula bien formada. Siempre tiene que ser \[ \exists x\, \alpha \], donde \[ \alpha \] es una fórmula. No puede haber conectores en medio.

Quizás lo que pasa es que te estás confundiendo con notación de teoría de conjuntos, donde se usa \[ \exists x \in A \, \phi(x) \] para abreviar la fórmula \[ \exists x\, (x \in A \wedge \phi(x)) \].

Gracias. ¿Y \( \forall x\in A\,\phi(x) \) es una abreviatura de (equivalente a) \( \forall x\,x\in A\to\phi(x) \)? Lo pongo con un condicional porque entiendo que si no hay ningún \( x \) que cumpla \( x\in A \), trivialmente la forma abreviada es cierta, y también lo es la expandida, pues con antecedente falso se concluye que el condicional es verdadero. ¿Es así?

Saludos

Gracias, manooooh.

Saludos.