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Mensajes - mg

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Hola,

Me piden que demuestre que, si \( Z \) es una variedad lineal proyectiva y \( Q \) una cuádrica, entonces \( Z\subseteq{}polar_Q(polar_Q(Z)) \)

No debe ser dificil pero lo cierto esque no caigo en como hacerlo. Agradecería si me dieran alguna pistilla.

Hasta ahora lo que he hecho ha sido escribir explicitamente el sistema \( polar_Q(Z) \), pero ya después no se como seguir. Porque digamos que \( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\forall{}P\in{}Z}\right\} \)(A es la matriz asociada a Q) entonces ¿\( RAP^t=0 \)? (con \( P\in{}Z, R\in{}polar_Q(Z) \)), no tiene por qué, ¿no?

Un saludo.

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Es el mismo argumento que se usa para probar que un conjunto con la topología cofinita es compacto. Dado un recubrimiento arbitrario por abiertos toma un abierto \[ U \] cualquiera del recubrimiento. Entonces \[ X \setminus U=\{x_0,x_1,x_2,\dots \} \] es numerable. Toma ahora para cada \[ x_i \] un \[ U_i \] del recubrimiento que lo contenga. Entonces \[ \{U,U_0,U_1,U_2,\dots\} \] es un subrecubrimiento numerable.

Me ha encantado geómetracat, es superelegante. Muchas gracias.

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Topología (general) / ¿Es la topología conumerable de Lindelof?
« en: 02 Febrero, 2021, 06:37 pm »
Hola,

La pregunta es la del título, ¿es la topología conumerable de Lindelof (en un conjunto no numerable)?. Sé la respuesta porque internet me ha chivado que es de Lindelof, pero me gustaría probarlo. Una vez tomo un recubrimiento de X por abiertos de la conumerable no se como trabajar con ellos. ¿Tal vez pueda trabajar con sus complementarios?. Agradecería que me echaran una mano para probar la proposición.

Un saludo.

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Okey, gracias.

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Hola,

Dada una topología en un conjunto X, ¿pueden existir subconjuntos de X que no sean ni cerrados ni abiertos en la topología dada?

Un saludo.

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Hola

El ejercicio es el siguiente.

"Clasifique, o justifique que no existen, las cuádricas no degeneradas en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \), tales que su cuádrica lugar corta a cualquier recta de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)  en a lo más dos puntos."


Sinceramente no se muy bien por donde tirar. Para empezar, descarto que sea cuádrica imaginaria pues en ese caso su lugar sería vacío y evidentemente no corta a ninguna recta. Por tanto, quedarían ver las cuádricas con rango 4 y signatura proyectiva 2, que son reales. He pensado que podía tomar una matriz representante de cada una, pero no se me ocurre la forma de probarlo.

Antes de nada eso de "cuádrica lugar". ¿A qué se refiere? ¿A lo qué toda mi vida llamé simplemente cuádrica?  :D ¿Es decir a una superficie de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \) definida por una ecuación polinómica homogénea de grado dos?.
Si efectivamente. Por hacerlo más explícito, si Q es una cuádrica entonces su cuádrica lugar se define como el conjunto \( \left\{{P\in{}\mathbb{P}^n/PAP^t=0}\right\} \), si A es la clase-matriz asociada a Q. Claro que podemos llamar x a P, y sale más bonito.

Citar
En ese caso una cuádrica imaginaria SI valdría; porque piden que cada recta corte como máximo en dos puntos. Eso incluye que no corte en ninguno. Valdría también las de signatura \( (+,+,+,-) \), que no contienen rectas. Y ya.

Nota que una recta que corte en más de dos puntos en la cuádrica necesariamente está contenida en ella. Así que preguntan por las cuádricas no regladas.

Saludos.

Okey, muchas gracias. Le daré una vuelta más y si dudo en algo lo comento por aquí.

Un saludo.

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Hola,

El ejercicio es el siguiente.

"Clasifique, o justifique que no existen, las cuádricas no degeneradas en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \), tales que su cuádrica lugar corta a cualquier recta de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)  en a lo más dos puntos."


Sinceramente no se muy bien por donde tirar. Para empezar, descarto que sea cuádrica imaginaria pues en ese caso su lugar sería vacío y evidentemente no corta a ninguna recta. Por tanto, quedarían ver las cuádricas con rango 4 y signatura proyectiva 2, que son reales. He pensado que podía tomar una matriz representante de cada una, pero no se me ocurre la forma de probarlo.


Un saludo.

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Hola

Hola,

Me gustaría conocer como se calcula la clausura proyectiva de una cuádrica afín. En mis apuntes se define como sigue, "Si f=0 es una ecuación de Q respecto a un sistema de referencia afín, entonces una ecuación de \( \overline{Q} \) respescto de un sistema de referencia proyectivo, se obtiene homogeneizando f, esto es, añadiendo la variable \( x_0 \)(eventualmente al cuadrado) a los sumandos que lo necesiten para conseguir una forma cuadrática."

Entonces me he dispuesto a, por ejemplo, intentar hacer la clausura de la cónica afín Q, que tiene por matriz:

\( \begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix} \),

pero no se como hacerlo, creo que en este caso pues simplemente \( Q \) y \( \overline{Q} \) coinciden. ¿Estoy en lo cierto?

Conste que tengo ciertas dudas en el convenio que usas de matriz asocicada.

1) Si entiendes que la matriz anterior se refiere a la cónica afín:

\( \begin{pmatrix}1&x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir: \( 2+2x_1+4x_1x_2=0 \) entonces el homogeneizado sería:

\( \begin{pmatrix}x_0&x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir \( 2x_0^2+2x_0x_1+4x_1x_2=0 \)

2) Si entiendes que la matriz anterior se refiere a la cónica afín:

\( \begin{pmatrix}x_1&x_2&1\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir: \( 2x_1^2+2x_1x_2+4x_2=0 \) entonces el homogeneizado sería:

\( \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_0\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_0\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir \( 2x_1^2+2x_1x_2+4x_0x_2=0 \)

Yo suelo usar el criterio dos pero con las letras \( (x,y) \) y la homogeneización con \( z \) o \( t. \)

Como usas \( x_0 \) para la tercera variable invita a ponerla en primera posición y quizá pensé que puedas usar el convenio \( 1 \), que aunque creo que es menos frecuente a veces se usa.

Saludos.

Ah claro. Muchísimas gracias. Y sí, nosotros usamos el primer convenio.

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Hola,

Me gustaría conocer como se calcula la clausura proyectiva de una cuádrica afín. En mis apuntes se define como sigue, "Si f=0 es una ecuación de Q respecto a un sistema de referencia afín, entonces una ecuación de \( \overline{Q} \) respescto de un sistema de referencia proyectivo, se obtiene homogeneizando f, esto es, añadiendo la variable \( x_0 \)(eventualmente al cuadrado) a los sumandos que lo necesiten para conseguir una forma cuadrática."

Entonces me he dispuesto a, por ejemplo, intentar hacer la clausura de la cónica afín Q, que tiene por matriz:

\( \begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix} \),

pero no se como hacerlo, creo que en este caso pues simplemente \( Q \) y \( \overline{Q} \) coinciden. ¿Estoy en lo cierto?

Un saludo

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Foro general / Re: Táctica de juego ajedrez contra ordenador
« en: 27 Enero, 2021, 01:30 pm »
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Pero no creo que "la cantidad de jugadas que prevé una máquina" (su profundidad de análisis) disminuya si hay menos piezas; de hecho aumenta, puesto que cuando hay pocas piezas la máquina suele profundizar hasta el mate.

Estoy de acuerdo con esto. Yo diría que con menos piezas el ordenador tiene ventaja, porque nunca vas a ganarle a prever jugadas. En el caso límite en que haya muy pocas piezas, el ordenador podría prever todas las combinaciones posibles (y tú no) y escoger una estrategia ganadora, de manera que gane hagas la combinación de movimientos que hagas.

También es cierto. De modo que lo veo bastante difícil. La conclusión sería que la única forma de ganar a un ordenador sería pudiendo hacer un analísis de mayor profundidad en cada jugada, lo cuál es imposible.

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Foro general / Re: Táctica de juego ajedrez contra ordenador
« en: 26 Enero, 2021, 11:41 pm »
Yo coincido. Es claro que cuando hay menos piezas hay menos movimientos posibles a los que anticiparte. Piensa por ejemplo, en que hay dos peones y los reyes en el tablero, si se come a uno de los peones o incluso a los dos los movimientos se reducen un montón, pues así pasa con todas las piezas. Esto de jugar contra el ordenador, pues sí, cuanto más piezas haya que controlar más difícil será ganar pues ninguna persona tiene tanta capacidad como el ordenador. Sin embargo, con las personas experimentadas en el ajedrez pasa justamente lo contrario. Si quisieras enfrentarte a un Grand Master cuantas más piezas en el tablero mejor, pues ellos controlarían mejor el tablero con muy pocas piezas, de hecho sería muy raro que cometieran siquiera una imprecisión.


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Cálculo 1 variable / Re: Despejar x
« en: 26 Enero, 2021, 03:54 pm »
Si haces las cuentas, que son un poco engorrosas, sale que la imagen esta entre (-1,6).

Hola, mg, también lo hice de la forma en que me dijiste pero no entiendo cómo puede ser posible que exista un mínimo cuando la función la mirás en el gráfico y no está ese mínimo, hay una asíntota en \( y=-1 \) incluso. Saludos!


Lo acabo de calcular, en el punto \( x=-7-5\sqrt[ ]{2} \) la función vale \( -1.0355 \) por lo tanto tiene un mínimo absoluto en tal punto. Fíjate que ese mínimo se ve aunque claro es prácticamente -1 luego no se aprecia tanto como si estuviéramos mirando  la gráfica de una parábola, pero hemos probado el resultado analíticamente y aplicado los criterios para determinar si es un máximo o un mínimo correctamente. Por tanto, no hay duda, de que en tal punto la función tiene un mínimo. De hecho si suponemos que ese no es el mínimo de la función sino que es -1, en  \( x=-7-5\sqrt[ ]{2} \) la función tiene un valor menor, luego la función no tiene el mínimo ni en más infinito ni en menos infinito.

Por cierto, en cuanto a las asíntotas horizontales al contrario con las verticales si puede pasar que la función la sobrepase en algunos puntos, como en nuestro caso la función la pasa, y cuando tiende al menos infinito, se acerca a la recta y=-1 por debajo. Sin embargo, en las asíntotas verticales no podría pasar esto pues en ese caso podríamos encontrar un punto con dos imágenes, y entonces f no sería función.

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Cálculo 1 variable / Re: Despejar x
« en: 25 Enero, 2021, 05:37 pm »
Buenas,

\( h'(x)=\displaystyle\frac{-x^2-14x+1}{(x^2+1)^2} \), por tanto la derivada se anula donde se anule el numerador pues el denominador es distinto de cero en los reales, y además es positivo.

Las raíces salen \( x=-7\pm{}5\sqrt[ ]{2} \). Se comprueba que \( x=-7+5\sqrt[ ]{2} \) es un máximo, y que \( x=-7-5\sqrt[ ]{2} \) es un mínimo. La imagen por tanto estará acotada entre el valor de la función en el máximo y el valor de la función en el mínimo o bien -1 si es un mínimo local y no absoluto. Lo de -1 es porque cuando la función tiende a más o menos infinito el valor de los límites en ambos casos es -1.
 
Si haces las cuentas, que son un poco engorrosas, sale que la imagen esta entre (-1,6).

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Topología (general) / Re: Conjunto derivado
« en: 24 Enero, 2021, 12:54 pm »
Okey, ya queda todo claro. Muchas gracias.

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Topología (general) / Re: Conjunto derivado
« en: 24 Enero, 2021, 11:51 am »
El problema es que en el enunciado no lo dice explícitamente, pero me figuro por el ejercicio anterior que se trabaja en \( X=\mathbb{R} \), y la topología inducida por la base, \( B=\left\{{B_x}\right\}_{x\in{}\mathbb{R}} \) tal que \( B_x=\left\{{y\in{}\mathbb{R}/x\leq{}y}\right\} \)

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Topología (general) / Conjunto derivado
« en: 24 Enero, 2021, 09:49 am »
Buenas,

Sea \( (X,\leq{}) \) un conjunto parcialmente ordenado. Calcular el derivado de \( A=\left\{{0}\right\} \). En la solución dice que \( A'=(-\infty,0) \). Pero no lo termino de entender, porque si \( \overline{A}=A\cup{}A' \) entonces \( \overline{A}=(-\infty,0] \), pero eso no es cerrado en esta topología no?


Lo que yo he hecho
Para calcular el derivado podemos usar que \( \overline{A}=A\cup{}A' \). Como una base de la topología dada es \( B_x=\left\{{y\in{}\mathbb{R}/x\leq{}y}\right\} \) entonces una familia de cerrados es \( F_x=\left\{{y\in{}\mathbb{R}/x>y}\right\} \). Por tanto en nuestro caso \( \overline{A}=(-\infty,0+\delta) \) con un \( \delta>0 \) lo más pequeño posible (no se muy bien como ponerlo, pues debe ser el menor cerrado que contiene a A). Por tanto como esta es la clausura de \( A \) solo habría que comprobar que \( \left\{{0}\right\}\in{}A' \), pues el resto de puntos de la clausura es seguro que están en \( A' \). Observamos que \( A-\left\{{0}\right\}=\emptyset \), y por tanto, ningún abierto corta a este conjunto, de modo que no pertence a \( A' \).

Un saludo.

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Muchas gracias por las respuestas, le dedicaré un rato a procesar la información.

Un saludo.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Derivada de una función
« en: 21 Enero, 2021, 05:44 pm »
Es cierto, ya lo veo claro. Esa función f auxiliar es la clave. Muchas gracias geómetracat.

Un saludo

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Cálculo de Varias Variables / Re: Derivada de una función
« en: 21 Enero, 2021, 05:10 pm »
Y ¿cómo has usado la regla de la cadena exactamente? Porque a pesar de que G es una función de una variable, g tiene dos.  No acabo de ver como se puede aplicar. De hecho me imaginé que sería así pero no veía una justificación.

100
Buenas,

Son ya unas pocas veces las que he visto lo que adjunto, y no me explico el por qué. Intuyo que tendrá que ver con que será válido para un número finito de repeticiones. Estoy a la espero de su iluminación.



Un saludo.

Mensaje corregido desde la administración. Mira aquí el procedimiento para insertar la imagen:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=3659.msg14457#msg14457



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