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Mensajes - mg

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Topología (general) / ¿Es un espacio completo?
« en: 09 Marzo, 2021, 12:06 am »
Hola,

El ejercicio es el siguiente.

Sea \( X=(0,1] \) y \( d \) una distancia tal que \( d(x,y)=\left |{\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{y}}\right | \). Probar que \( X \) con la métrica inducida por \( d \) es un espacio completo.

Le he dado varias vueltas. Parto de una sucesión de Cauchy contenida en X, pero por más vueltas que le doy no consigo ver la forma de probar que es convergente. Se me ocurre probar que la sucesión debe ser monótona pero tampoco encuentro la forma. En fin, si quieren me pueden dar pistas y voy intentandolo con la ayuda a ver si sale.

Un saludo

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 y \( grado (P^2)=2grado(P) \).

Perdona Luis, ¿de dónde se deduce esa igualdad?

Un saludo.

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Cálculo de Varias Variables / Funciones vectoriales
« en: 25 Febrero, 2021, 12:38 am »
Hola,

Me ha surgido una de concepto. Yo siempre que pienso en una función vectorial, pienso en las imágenes como un punto. Y creo que he estado pensando en ello de forma errónea. A menos que ustedes me corrijan, ahora después de detenerme un poco en el tema, las imágenes de una función vectorial, son vectores, tal cual, con módulo, dirección y sentido, y en los que podemos considerar el punto donde termina el vector para representarlo. Es decir, creo que mi error ha sido pensar en las gráficas de estas funciones, pues si por ejemplo, una función vectorial tiene por imagen una superficie, entonces su gráfica es tal superficie que yo entiendo como un conjunto de puntos y no vectores. Pero en realidad lo que representa esa superficie es el conjunto de puntos donde acaban dichos vectores.


Siguiendo con esto un poco, (todo esto viene de una clase de física,) me han puesto el siguiente ejemplo. Sea f la función identidad en \( \mathbb{R}^3 \). Entonces la profesora para graficarlo, ha dibujado los ejes y a continuación un vector cualquiera, llamemoslo \( \vec{v} \). Después ha dibujado su imagen, y lo curioso y lo que me ha dejado un poco fuera de juego, es que lo ha dibujado a partir del punto donde \( \overrightarrow{v} \) acababa. Y sinceramente esto no me encaja, porque si la imagen del vector es el propio vector, ¿por qué lo dibuja a continuación del mismo (donde este vector acaba)?


Un saludo.

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Uy, que torpeza. Me esta dando vergüenza y todo.  :-[ Esta es la buena. El punto pertenece, nada se anula, no hay signos de más.

Un saludo.

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Hola

Arreglada la ecuación de la cuádrica. Y claro, cuando usted pueda, sin presión.

No, no está arreglada todavía:

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2\color{red}-2x_0x_1+2x_0x_1\color{black}+2x_1x_2-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

Si fuera así los términos marcados en rojo se anularían. Quiero contestarte ilustrando la cuestión con este ejemplo concreto. Pero no puedo hasta que no escribas correctamente la ecuación de la cuádrica. Revísala con cuidado.

Saludos.

Es cierto, ahora ya si que sí.  :laugh:

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Hola,

Hola

 Cuando tenga un rato (ahora estoy muy apurado) redacto una respuesta. Pero mientras, ¿puedes corregir la ecuación de la cuádrica?. Tienes alguna errata. Revísala.

Saludos.
Arreglada la ecuación de la cuádrica. Y claro, cuando usted pueda, sin presión.

Un saludo.

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Hola

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2+-2x_0x_1+2x_0x_1+2x_1x_2-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

Comprobé que efectivamente el punto dado pertenece a la cuádrica y que el plano polar de P es \( H\equiv{}x_1-2x_2+2x_3=0 \) la matriz de la cuádrica \( Q_{|H} \) queda así:

\( \begin{pmatrix} 1&0&-1&2\\0&0&0&0\\-1&0&-1&2\\2&0&2&-4\end{pmatrix} \)

En realidad lo que haces es despejar \( x_1 \) en el plano y sustituir en la cuádrica. Entonces lo que te queda es una cónica con coordenadas \( (x_0,x_2,x_4) \). Es decir ya no deberías de haber escrito esa matriz con esa fila y columna de ceros; si no está otra.

\( \begin{pmatrix} 1&-1&2\\-1&-1&2\\2&2&-4\end{pmatrix} \)

Técnicamente es la cónica proyección de \( Q|_H \) desde \( (0:1:0:0) \) sobre el plano \( x_1=0 \). Dado que trabajas proyectivamente el tipo de cónica es el mismo, ya que la proyección desde un punto es una homografía, y por tanto te vale para clasificar (afinmente habría que tener un poco más de cuidado).

Vale bien, en esto:

"Técnicamente es la cónica proyección de \( Q|_H \) desde \( (0:1:0:0) \) sobre el plano \( x_1=0 \). Dado que trabajas proyectivamente el tipo de cónica es el mismo, ya que la proyección desde un punto es una homografía, y por tanto te vale para clasificar (afinmente habría que tener un poco más de cuidado)."

es donde yo quiero profundizar un poquito, porque en la teoría no se han parado en esto. Que sea la proyección desde el \( (0:1:0:0) \), ¿Qué significa exactamente? ¿Que la variable en la que se está despejando en función de las otras dos es \( x_1 \)? Voy a ver que encuentro por internet sobre las proyecciones. Si sabes de algún lado donde pueda verlo más detenidamente dejámelo saber.

Un saludo.


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Hola,

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2-2x_0x_1+2x_0x_2+2x_1x_3-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

Comprobé que efectivamente el punto dado pertenece a la cuádrica y que el plano polar de P es \( H\equiv{}x_1-2x_2+2x_3=0 \) la matriz de la cuádrica \( Q_{|H} \) queda así:

\( \begin{pmatrix} 1&0&-1&2\\0&0&0&0\\-1&0&-1&2\\2&0&2&-4\end{pmatrix} \)

Ahora la cosa es que si yo "me olvido" de la columna y fila correspondientes a \( x_1 \) pues tendría la matriz de una cónica. Esto cuando se restringe la matriz de una cuádrica a un plano tipo \( x_0=0 \), lo veo claro pero con el plano de este ejercicio no. ¿Es decir, yo puedo ahora trabajar con la matriz
\( \begin{pmatrix} 1&-1&2\\-1&-1&2\\2&2&-4\end{pmatrix} \) ? Supongo que si pues al haber restringido a la cuádrica a un plano, estoy trabajando en un espacio que sería isomorfo a \( \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \).

Por otro lado, en \( \mathbb{P}^3 \), el espacio inicial, a mi se me da el punto \( (0:2:2:1) \), ¿cuales son las coordenadas de ese punto en H?

Por si alguien tiene curiosidad, la cónica serían dos rectas reales secantes en un punto.

Un saludo.

CORREGIDO

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Hola

¿La matriz A no debería trasponerse también?

Es simétrica.

Saludos.

Ah claro, ese era el detalle que se me escapaba. Muchisimas gracias. Un saludo.

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Hola

Me piden que demuestre que, si \( Z \) es una variedad lineal proyectiva y \( Q \) una cuádrica, entonces \( Z\subseteq{}polar_Q(polar_Q(Z)) \)

No debe ser dificil pero lo cierto esque no caigo en como hacerlo. Agradecería si me dieran alguna pistilla.

Hasta ahora lo que he hecho ha sido escribir explicitamente el sistema \( polar_Q(Z) \), pero ya después no se como seguir. Porque digamos que \( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;P\in{}Z}\right\} \)(A es la matriz asociada a Q)

Quizá deberías de poner:

\( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\color{red}\forall P\color{black}\in{}Z}\right\} \)

Citar
entonces ¿\( RAP^t=0 \)? (con \( P\in{}Z, R\in{}polar_Q(Z) \)), no tiene por qué, ¿no?

Si; eso es la idea.

Ten en cuenta que:

\( polar_q(Z)(polar_Q(Z))=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\forall P\in{}polar_Q(Z))}\right\} \)

Dado \( z\in Z \) tienes que comprobar que para cualquier \( P\in polar_Q(Z) \), \( PAz^t=0 \).

Pero si \( P\in polar_Q(Z) \), como \( z\in Z \), entonces \( zAP^t=0 \) y \( trasponiendo, PAz^t=0 \).

Saludos.

Hola Luis,

¿La matriz A no debería trasponerse también?

Un saludo.

71
Hola,

Me piden que demuestre que, si \( Z \) es una variedad lineal proyectiva y \( Q \) una cuádrica, entonces \( Z\subseteq{}polar_Q(polar_Q(Z)) \)

No debe ser dificil pero lo cierto esque no caigo en como hacerlo. Agradecería si me dieran alguna pistilla.

Hasta ahora lo que he hecho ha sido escribir explicitamente el sistema \( polar_Q(Z) \), pero ya después no se como seguir. Porque digamos que \( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\forall{}P\in{}Z}\right\} \)(A es la matriz asociada a Q) entonces ¿\( RAP^t=0 \)? (con \( P\in{}Z, R\in{}polar_Q(Z) \)), no tiene por qué, ¿no?

Un saludo.

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Es el mismo argumento que se usa para probar que un conjunto con la topología cofinita es compacto. Dado un recubrimiento arbitrario por abiertos toma un abierto \[ U \] cualquiera del recubrimiento. Entonces \[ X \setminus U=\{x_0,x_1,x_2,\dots \} \] es numerable. Toma ahora para cada \[ x_i \] un \[ U_i \] del recubrimiento que lo contenga. Entonces \[ \{U,U_0,U_1,U_2,\dots\} \] es un subrecubrimiento numerable.

Me ha encantado geómetracat, es superelegante. Muchas gracias.

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Topología (general) / ¿Es la topología conumerable de Lindelof?
« en: 02 Febrero, 2021, 06:37 pm »
Hola,

La pregunta es la del título, ¿es la topología conumerable de Lindelof (en un conjunto no numerable)?. Sé la respuesta porque internet me ha chivado que es de Lindelof, pero me gustaría probarlo. Una vez tomo un recubrimiento de X por abiertos de la conumerable no se como trabajar con ellos. ¿Tal vez pueda trabajar con sus complementarios?. Agradecería que me echaran una mano para probar la proposición.

Un saludo.

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Okey, gracias.

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Hola,

Dada una topología en un conjunto X, ¿pueden existir subconjuntos de X que no sean ni cerrados ni abiertos en la topología dada?

Un saludo.

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Hola

El ejercicio es el siguiente.

"Clasifique, o justifique que no existen, las cuádricas no degeneradas en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \), tales que su cuádrica lugar corta a cualquier recta de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)  en a lo más dos puntos."


Sinceramente no se muy bien por donde tirar. Para empezar, descarto que sea cuádrica imaginaria pues en ese caso su lugar sería vacío y evidentemente no corta a ninguna recta. Por tanto, quedarían ver las cuádricas con rango 4 y signatura proyectiva 2, que son reales. He pensado que podía tomar una matriz representante de cada una, pero no se me ocurre la forma de probarlo.

Antes de nada eso de "cuádrica lugar". ¿A qué se refiere? ¿A lo qué toda mi vida llamé simplemente cuádrica?  :D ¿Es decir a una superficie de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \) definida por una ecuación polinómica homogénea de grado dos?.
Si efectivamente. Por hacerlo más explícito, si Q es una cuádrica entonces su cuádrica lugar se define como el conjunto \( \left\{{P\in{}\mathbb{P}^n/PAP^t=0}\right\} \), si A es la clase-matriz asociada a Q. Claro que podemos llamar x a P, y sale más bonito.

Citar
En ese caso una cuádrica imaginaria SI valdría; porque piden que cada recta corte como máximo en dos puntos. Eso incluye que no corte en ninguno. Valdría también las de signatura \( (+,+,+,-) \), que no contienen rectas. Y ya.

Nota que una recta que corte en más de dos puntos en la cuádrica necesariamente está contenida en ella. Así que preguntan por las cuádricas no regladas.

Saludos.

Okey, muchas gracias. Le daré una vuelta más y si dudo en algo lo comento por aquí.

Un saludo.

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Hola,

El ejercicio es el siguiente.

"Clasifique, o justifique que no existen, las cuádricas no degeneradas en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \), tales que su cuádrica lugar corta a cualquier recta de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)  en a lo más dos puntos."


Sinceramente no se muy bien por donde tirar. Para empezar, descarto que sea cuádrica imaginaria pues en ese caso su lugar sería vacío y evidentemente no corta a ninguna recta. Por tanto, quedarían ver las cuádricas con rango 4 y signatura proyectiva 2, que son reales. He pensado que podía tomar una matriz representante de cada una, pero no se me ocurre la forma de probarlo.


Un saludo.

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Hola

Hola,

Me gustaría conocer como se calcula la clausura proyectiva de una cuádrica afín. En mis apuntes se define como sigue, "Si f=0 es una ecuación de Q respecto a un sistema de referencia afín, entonces una ecuación de \( \overline{Q} \) respescto de un sistema de referencia proyectivo, se obtiene homogeneizando f, esto es, añadiendo la variable \( x_0 \)(eventualmente al cuadrado) a los sumandos que lo necesiten para conseguir una forma cuadrática."

Entonces me he dispuesto a, por ejemplo, intentar hacer la clausura de la cónica afín Q, que tiene por matriz:

\( \begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix} \),

pero no se como hacerlo, creo que en este caso pues simplemente \( Q \) y \( \overline{Q} \) coinciden. ¿Estoy en lo cierto?

Conste que tengo ciertas dudas en el convenio que usas de matriz asocicada.

1) Si entiendes que la matriz anterior se refiere a la cónica afín:

\( \begin{pmatrix}1&x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir: \( 2+2x_1+4x_1x_2=0 \) entonces el homogeneizado sería:

\( \begin{pmatrix}x_0&x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir \( 2x_0^2+2x_0x_1+4x_1x_2=0 \)

2) Si entiendes que la matriz anterior se refiere a la cónica afín:

\( \begin{pmatrix}x_1&x_2&1\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir: \( 2x_1^2+2x_1x_2+4x_2=0 \) entonces el homogeneizado sería:

\( \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_0\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_0\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir \( 2x_1^2+2x_1x_2+4x_0x_2=0 \)

Yo suelo usar el criterio dos pero con las letras \( (x,y) \) y la homogeneización con \( z \) o \( t. \)

Como usas \( x_0 \) para la tercera variable invita a ponerla en primera posición y quizá pensé que puedas usar el convenio \( 1 \), que aunque creo que es menos frecuente a veces se usa.

Saludos.

Ah claro. Muchísimas gracias. Y sí, nosotros usamos el primer convenio.

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Hola,

Me gustaría conocer como se calcula la clausura proyectiva de una cuádrica afín. En mis apuntes se define como sigue, "Si f=0 es una ecuación de Q respecto a un sistema de referencia afín, entonces una ecuación de \( \overline{Q} \) respescto de un sistema de referencia proyectivo, se obtiene homogeneizando f, esto es, añadiendo la variable \( x_0 \)(eventualmente al cuadrado) a los sumandos que lo necesiten para conseguir una forma cuadrática."

Entonces me he dispuesto a, por ejemplo, intentar hacer la clausura de la cónica afín Q, que tiene por matriz:

\( \begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix} \),

pero no se como hacerlo, creo que en este caso pues simplemente \( Q \) y \( \overline{Q} \) coinciden. ¿Estoy en lo cierto?

Un saludo

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Foro general / Re: Táctica de juego ajedrez contra ordenador
« en: 27 Enero, 2021, 01:30 pm »
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Pero no creo que "la cantidad de jugadas que prevé una máquina" (su profundidad de análisis) disminuya si hay menos piezas; de hecho aumenta, puesto que cuando hay pocas piezas la máquina suele profundizar hasta el mate.

Estoy de acuerdo con esto. Yo diría que con menos piezas el ordenador tiene ventaja, porque nunca vas a ganarle a prever jugadas. En el caso límite en que haya muy pocas piezas, el ordenador podría prever todas las combinaciones posibles (y tú no) y escoger una estrategia ganadora, de manera que gane hagas la combinación de movimientos que hagas.

También es cierto. De modo que lo veo bastante difícil. La conclusión sería que la única forma de ganar a un ordenador sería pudiendo hacer un analísis de mayor profundidad en cada jugada, lo cuál es imposible.

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