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Mensajes - mg

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Criptografía / Re: Ráfagas en códigos cíclicos
« en: 02 Abril, 2022, 01:12 pm »
Por cierto, corrijo el mensaje original por la observación de Luis.

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Criptografía / Re: Ráfagas en códigos cíclicos
« en: 02 Abril, 2022, 01:10 pm »
 
Hola

Decimos que un vector \( x\in\mathbb{F}_q^n \) es una rafaga si todas sus coordenadas no nulas son consecutivas. Las ráfagas son particularmente interesantes cuando representan errores en códigos binarios. Probar que un código cíclico \( C\subset{}\mathbb{F}_2^n \) de dimensión k no contiene ninguna ráfaga de peso \( l\leq{}n−k \).


Mi idea es plantear un reducción al absurdo pero no atino a por donde puedo avanzar. Lo que si que esta claro que si supongo que existe tal ráfaga entonces esta es de la forma \( (1,...,1,0,....,0) \), con \( n-l \) unos y \( l \) ceros porque el código es cíclico y estamos en \( \mathbb{F}_2 \).

 No se si estoy confundido con lo que significa cada cosa. ¡Creo que si!  :D

 ¿El peso no es el número de unos?
El peso es el número de coordenadas distintas de cero, por tanto en \( \mathbb{F}_2 \) es el número de unos, pero no en general.

Citar
¿una ráfaga de peso \( l \) no sería entonces con \( l \) unos?.
En este código cíclico sí, por lo dicho anteriormente, y además los unos han de ser consecutivos. (sea \( x=(x_0,...,x_{n-1}) \) que pertenece al código también consideramos que \( x_{n-1} \) y \( x_0 \) son consecutivas)

Citar
¿Un código de dimensión \( k \) no es un subespacio vectorial de dimensión \( k \) de \( F_2^n \)?¿No contienen entonces siempre una ráfaga de peso cero (al vector cero)?.

 Saludos.

Respecto a la primera pregunta sí cuando el código es lineal, como es nuestro caso (cíclico es más que lineal), pero no en general. Y a la segunda sí, precisamente porque es subespacio vectorial.

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Criptografía / Ráfagas en códigos cíclicos
« en: 01 Abril, 2022, 09:24 pm »
Hola,

Estoy atascado en el siguiente ejercicio.

Decimos que un vector \( x\in\mathbb{F}_q^n \) es una rafaga si todas sus coordenadas no nulas son consecutivas. Las ráfagas son particularmente interesantes cuando representan errores en códigos binarios. Probar que un código cíclico \( C\subset{}\mathbb{F}_2^n \) de dimensión k no contiene ninguna ráfaga de peso \( l\leq{}n−k \).


Mi idea es plantear un reducción al absurdo pero no atino a por donde puedo avanzar. Lo que si que esta claro que si supongo que existe tal ráfaga entonces esta es de la forma \( (1,...,1,0,....,0) \), con \( l \) unos y \( n-l \) ceros porque el código es cíclico y estamos en \( \mathbb{F}_2 \).

Una ayuda no me vendría mal, gracias.

Un saludo.


CORRREGIDO: el número de unos y de ceros

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Matemática de Escuelas / Re: Como calcular una variable
« en: 01 Abril, 2022, 06:49 pm »
Hola mg,

Muchas gracias.

Teniendo en cuenta lo del aumento la formula creo que quedaria como:

Costo = (100 PVP - 100 AUMENTO) / (100 + INTERES)

Si eliminas el aumento sería correcto. Es decir la respuesta es \( Costo = \displaystyle\frac{100 PVP }{100 + INTERES} \). Pero ¿Por qué haces lo del aumento?¿A qué te refieres con eso?

Un saludo.

Por cierto, siento mi despiste antes, se me olvidó lo que quería despejar :).

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Matemática de Escuelas / Re: Como calcular una variable
« en: 01 Abril, 2022, 06:01 pm »
Hola,

Me gustaria poder calcular el valor de costo sabiendo el del precio de venta. Sabemos que formula calcula el precio de venta a partir de costo y un interes. Ahora quiero saber cuando es el precio costo sabiendo precio venta e interes.
Para calcular el precio de venta(PVP) tengo esta formula:

PVP = Costo* ((Costo * Interes) / 100)

Lo que busco saber es como quedaria la formula para

Costo

Recordando algo de la EGB y mirando por internet he llegado hasta aqui.

100PVP = 100 * Costo + Costo * Interes

Pero no se como se pasa el Interes al lado del PVP. Cuando multiplica deberia pasar diviendo.

Hola,

En primer lugar la fórmula inicial ha de ser \( PVP=costo+\displaystyle\frac{(costo\cdot{interes})}{100} \) por tanto \( PVP-costo=\displaystyle\frac{(costo\cdot{interes})}{100} \).

En segundo cuando divide debe pasar multiplicando, por tanto \( 100(PVP-costo)=costo\cdot{interes} \)  entonces \( interes=\displaystyle\frac{100(PVP-costo)}{costo} \).



Por otro lado también podrías escribir \( PVP=costo(1+\displaystyle\frac{interes}{100}) \). Es equivalente.


Por último me gustaría mencionar que con esta expresión en la que tu y yo hemos trabajado el interés que normalmente se da en porcentaje (por ejemplo, 20%) aquí tendrías que escribir \( interes=20 \), porque  aquí \( PVP=costo+\displaystyle\frac{(costo\cdot{interes})}{100} \) estás ya diviendo por 100, y por tanto haciendo el porcentaje. Espero que se entienda. (Por profundizar un poco más si tuvieras un interés del 120%  en la fórmula escribirias 120)

Un saludo.


AÑDADO: detallito para los matemáticos, \( costo\neq 0 \)

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Ecuaciones diferenciales / Re: EDO de segundo orden
« en: 29 Marzo, 2022, 12:57 pm »
Vale, entiendo. Sin embargo, eso significa que \( C<0 \) no se puede dar, o que si se puede dar pero no se puede hallar una solución para ella, es decir que el caso \( C<0 \) es irresoluble (aunque sea un valor posible).

Si \( x_0 \) e \( y^{\prime}_0 \)  son las condiciones iniciales, entonces  \( C=\dfrac{1}{\left(y^{\prime}_0\right)^2}+x_0^2 \;\;\longrightarrow\;\; C > 0 \)

Vale, okey. Muchas gracias.

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Ecuaciones diferenciales / Re: EDO de segundo orden
« en: 28 Marzo, 2022, 03:46 pm »
Vale, entiendo. Sin embargo, eso significa que \( C<0 \) no se puede dar, o que si se puede dar pero no se puede hallar una solución para ella, es decir que el caso \( C<0 \) es irresoluble (aunque sea un valor posible).

Espero haberme explicado debidamente.

Un saludo.

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Hola,

La respuesta de antes la he borrado porque aunque era cierto lo que digo, creo que el problema no va por ahí. Pensandolo por segunda vez, la ecuación de desplazamiento es la integral de la ecuación de la velocidad, asi que basta integrar correctamente la expresión dada. Si esto no es así los compañeros del foro me corregirán.

Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Re: Integral racional dependiendo de n∈ℕ
« en: 27 Marzo, 2022, 08:11 pm »
Hola,

Puedes hacer la siguiente descomposición \( \displaystyle\frac{1}{x^{n+1}-x}=\displaystyle\frac{1}{x(x^{n}-1)}=\displaystyle\frac{-1}{x}+\displaystyle\frac{x^{n-1}}{x^n-1} \). Con eso la integral debería ser inmediata.

Un saludo.

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Ecuaciones diferenciales / EDO de segundo orden
« en: 27 Marzo, 2022, 06:58 pm »
Hola querido foro:

La edo es la siguiente \( y''=x(y')^3 \), haciendo un cambio de variable llegamos a que \( (y')^2=\displaystyle\frac{1}{C-x^2} \). El caso es el siguiente, si \( C\geq{}x^2 \) no tenemos ningún problema pero si \( C<x^2 \) ¿qué hacemos?

Un saludo.

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Hola a todos.

Estoy empezando a estudiar ecuaciones diferenciales, desde su resolución a los teoremas de existencia, unicidad y prolongación. Me he encontrado esta proposición y me preguntaba si alguien puede demostrármela. Con los conocimientos que he mencionado, no parece excesivamente complicada, aunque necesito alguna indicación/ayuda o resolución. Les dejo el enunciado. Muchas gracias por su atención.

Sean \(  o_1, o_2 : [a,b] \rightarrow{\mathbb{R^n}}  \) funciones derivables tal que \(  \left\|{o_1(a) - o_2(a)}\right\| < d \) y sea \(  \left\|{o_1^{\prime}(t) - f(t,o_1(t))}\right\| \leq{} \epsilon_1 \) y \(  \left\|{o_2^{\prime}(t) - f(t,o_2(t))}\right\| \leq{} \epsilon_2 \ \forall{t\in{[a,b]}} \) siendo \(  f : [a,b] \times{} \mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) una función K-lipschitziana con respecto a la variable y en \(  [a,b] \times{} \mathbb{R^n}  \)

Entonces \(  \forall{t\in{[a,b]}} \) se cumple: \(  \left\|{o_1(t) - o_2(t)}\right\| \leq{} de^{K(t-a)} +(\epsilon_1 + \epsilon_2) (e^{K(t-a)} - 1)/K \)

Sino me equivoco va a tener que ver con el teorema del valor intermedio.

En las condiciones del enunciado.

\( \left\|{o_1(t)-o_2(t)}\right\|=\left\|{(o_1'(c)-o_2'(c)+f(t,o_1(c))-f(t,o_1(c))+f(t,o_2(c))-f(t,o_2(c))(a-b)}\right\|\leq{}(\left\|{o_1'(c)-f(t,o_1(c))}\right\|+\left\|{o_2'(c)-f(t,o_2(c))}\right\|+\left\|{f(t,o_1(c))-f(t,o_2(c))}\right\|)\left |{b-a}\right | \)
Donde hemos aplicado el teorema del valor intermedio y \( c\in{}[a,b] \).

entonces
\( \left\|{o_1(t)-o_2(t)}\right\| \leq{}(\epsilon_1+\epsilon_2+\left\|{f(t,o_1(c))-f(t,o_2(c))}\right\|)\left |{b-a}\right |\leq{}(\epsilon_1+\epsilon_2+K\left\|{o_1(c)-o_2(c)}\right\|)\left |{b-a}\right | \)

Voy a dejar publicado este intento por si alguien sabe continuar pero le voy a dar otra vuelta a ver si puedo llegar a la solución.

Un saludo, espero que sea ayuda.

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Matemáticas Generales / Re: Logaritmo
« en: 03 Marzo, 2022, 04:36 pm »
Por las propiedades de los log tienes que \( log_2 x -log_2(x-3)=log_2\displaystyle\frac{x}{x-3}=2  \), ahora toma la exponencial de base 2.

Un saludo.

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Criptografía / Re: Complejidad de convertir entero a binario
« en: 02 Marzo, 2022, 05:54 pm »

Yo diría que la complejidad de dividir \[ n \] entre dos es del orden del número de cifras de \[ n \], que también es \[ O(\log_2n) \], con lo que el coste tal a mí me sale \[ O(\log_21+\log_22+...+\log_2n)=O(n\log_2n) \], si no me equivoco.. .


Coincido con tus cálculos

Hola.

¿Has visto recursividad de tipo "divide y vencerás"? No lo he analizado a fondo pero creo que el siguiente algoritmo podría funcionar.

Dado un natural \[ n \] busca el menor natural \[ k \] tal que \[ 2^{2k}>{n} \].

Expresa \[ n \] en base \[ 2^k \], esto es, halla \[ a, b<2^k \] tales que \[ a\cdot{2^k+b}=n \].

Llama recursivamente al algoritmo para obtener las representaciones binarias de \[ a \] y \[ b \] y concaténalas.

Como casos triviales basta que des las representaciones de \[ 1 \] y \[ 0 \].

Un saludo.

Creo que al principio quieres decir \( 2^k \).

Creo que podría funcionar, aunque claro habría que hallar el coste de la exponenciación.

Para ello se me ocurre suponer que k es impar, pues sería lo que mayor coste tendría entonces tenemos que \( k=2m+1 \) con m natural. Por tanto para hacer la exponenciación vamos a hacer primero \( 2^2 \) exactamente \( m/2 \) veces. entonces ahora si \( m/2 \) es distinto de 1 seguimos haciendo esto recursivamente, de modo que el coste de multiplicarlo se va a reducir. En gordo haríamos este proceso \( log 2m \) veces a lo que habría que sumarle la última multiplicación porque \( k=2m+1 \). Por tanto sería \( o(1+2+...+log 2m+log 2m)=o(nlog 2m)=o(log m) \)

Ahora no tengo más tiempo pero tiene pinta de dar lo que se espera.

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Criptografía / Re: Complejidad de convertir entero a binario
« en: 02 Marzo, 2022, 12:38 am »
Hola.

Hola,

Estoy intentando hacer el ejercicio del título. La respuesta ha de ser \( log^2 n \) donde \( n\in{\mathbb{Z}_+} \).

Para ello yo he escrito un algoritmo, que no es mas que el habitual

\( c \;vector\;\;\;\;, k=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;
while \;n\; distinto \;de \;1,0
\left\{{k=k+1\;\;\;\;\;\;\;\;
mod n/2=c[k]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
n=n/2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
}\right\}\;\;\;\;\;\;
c[k+1]=n \)

C es el vector que va a dar como resultado el número en binario. Sabemos que el while va a repetirse a sumo \( \left<{log_2n}\right> \) (parte entera del log). El problema es calcular la complejidad de \( mod n/2 \), que es tomar el resto de la división \( n/2 \). No sé si esta complejidad sería la misma que dividir \( n/2 \).

En cualquier caso no va a ser mayor, y como en una de las sentencias del bloque de instrucciones del bucle divides \[ n \] entre dos, pues esa va a ser la complejidad del bloque de instrucciones del bucle.

Yo diría que la complejidad de dividir \[ n \] entre dos es del orden del número de cifras de \[ n \], que también es \[ O(\log_2n) \], con lo que el coste total a mí me sale \[ O(\log_21+\log_22+...+\log_2n)=O(n\log_2n) \], si no me equivoco.. .

Un saludo.

Pues teniendo eso en cuenta mañana lo revisaré y veo si tengo el mismo resultado.


Es que la complejidad depende del algoritmo que uses, ¿cómo se demuestra que existe un algoritmo óptimo? ¿Se puede hacer eso? Quizá en algunos casos sí pero, por ejemplo, para multiplicar dos números, a día de hoy, se siguen sacando algoritmos nuevos cada vez más óptimos que los anteriores (al menos comentaban eso en este vídeo).

Claro, por eso tiene importancia el estudio de la complejidad. De hecho, como la respuesta al ejercicio es \( o(log^2n) \) te reto a que encuentres el algoritmo que da tal complejidad  >:D (no hay por qué aceptarlo).

Un saludo y gracias a ambos.


PD: Añado que en este contexto la base del logaritmo es 2.

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Criptografía / Complejidad de convertir entero a binario
« en: 28 Febrero, 2022, 06:50 pm »
Hola,

Estoy intentando hacer el ejercicio del título. La respuesta ha de ser \( log^2 n \) donde \( n\in{\mathbb{Z}_+} \).

Para ello yo he escrito un algoritmo, que no es mas que el habitual

\( c \;vector\;\;\;\;, k=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;
while \;n\; distinto \;de \;1,0
\left\{{k=k+1\;\;\;\;\;\;\;\;
mod n/2=c[k]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
n=n/2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
}\right\}\;\;\;\;\;\;
c[k+1]=n \)

C es el vector que va a dar como resultado el número en binario. Sabemos que el while va a repetirse a sumo \( \left<{log_2n}\right> \) (parte entera del log). El problema es calcular la complejidad de \( mod n/2 \), que es tomar el resto de la división \( n/2 \). No sé si esta complejidad sería la misma que dividir \( n/2 \). A lo mejor es \( o(dividir)+o(restar) \), por el teorema de la división entera.

Además, he demostrado que la complejidad de multiplicar dos números binarios de \( k \) y \( l \) cifras es \( o(k) \) si k es mayor que l. Pero no sé la complejidad de dividir. ¿Es la misma que multiplicar?

Un saludo.


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La aplicación principal que tiene, o al menos la que yo he visto en la carrera, es para probar que existe una órbita periódica.

Un saludo.

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Sí, repasaré teoría de grupos para tener mas soltura con estas cosas. Muchas gracias por tu respuesta. Todo claro.

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Matemáticas Generales / Re: Nivel de confianza
« en: 22 Febrero, 2022, 12:34 am »
Hola,

No se cuanta teoría has dado, pero a mi la única forma que se ocurre es construyendo explícitamente el intervalo de confianza al nivel \( 0.95 \). Para ello tienes que construir un estimador del parámetro \( \mu \). Todo esto corresponde al contexto de inferencia estadística.

¿Es un ejercicio de esa asignatura?¿Conoces algo al respecto?

Un saludo.

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Antes de todo quisiera preguntar si el elemento generador de un grupo cíclico es único.

1)Ahora me piden estudiar cuales de los anteriores son isomorfismos y le he estado dando vueltas pero no estoy cien por cien seguro de que mi solución sea buena.

En primer lugar intente hacerlo por la definición y primero estudiar  el núcleo, pero en el grupo multiplicativo de las unidades no hay cero luego no tiene sentido así.

Luego pensé en otra def de inyectividad, vease \( f(a)=f(b)\Rightarrow{}a=b \). Entonces para esto tengo que definir primero, lo siguiente. Sea \( \alpha\in{}G \) el elemento generador de G. Y definamos el homormorfismo, según lo comentando antes como \( f(\alpha^s)=\beta^s, \;\beta\in{}G \). Beta está fijado. Ahora podemos ver si verifica la inyectividad, como \( \alpha \)  es generador entonces existen \( s,q \) tales que \( a=\alpha^s\;b=\alpha^q \) luego por hipótesis \( \beta^s=\beta^q \) por tanto o bien \( s=p \) o bien s(o q) es \( s=n\cdot{}o(\beta)\cdot{}q \), en el primer caso estaría resuelto, y en el segundo pues habría que comprobar que el orden de \( \alpha \) y \( \beta \) son el mismo. Esto sucedería si y solo si el orden es \( p^n-1 \). (creo que esto implica que \( \beta
 \) tiene que ser generador)

Ahora habría que ver que es sobreyectiva. Entonces de acuerdo al párrafo anterior tenemos definido un endomorfismo inyectivo tal que \( f(\alpha^s)=\beta^s \) con \( \alpha \) y \( \beta \) generadores. Sea \( \gamma\in{}G \) entonces existe \( s\in{}\mathbb{N} \) tal que \( \gamma=\beta^s \) de modo que \( f(\alpha^s)=\beta^s=\gamma \), por tanto es sobreyectivo y es un isomorfismo.

2)Me piden decir ahora el número de isomorfismos.

Tal nº debe ser el nº de asignaciones que puedo hacer entre elementos generadores, pero no sé como verlo porque no se decir cuantos elementos generadores hay.


Finalmente dando que mi solución a la pregunta 1) sea buena, ¿existe otra forma de resolverlo tal vez con métodos más sofisticados?

Un saludo

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Estructuras algebraicas / Re: Criterio de la derivada
« en: 20 Febrero, 2022, 12:06 pm »
Vale, es lo que pensaba. La derivada de un polinomio es una herramienta esencial a la hora de estudiar la separabilidad en extensiones de cuerpos.
Tiene razón tu profesor en que hay que tener un cierto cuidado en cuerpos de característica \[ p \], pero hay muchos resultados que valen siempre.

En particular:
1.Una raíz \[ a \] de un polinomio \[ f \] es múltiple si y solo si \[ f'(a)=0 \]. Esto vale siempre.
2. Un polinomio es separable (no tiene raíces múltiples) si y solo si \[ (f,f')=1 \] (es coprimo con su derivada). Esto también vale siempre.
3. Todo polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo de característica 0 es separable (no tiene raíces múltiples). Esto se sigue del criterio anterior, pues la derivada de un polinomio irreducible de grado \[ n>0 \] es un polinomio de grado \[ n-1 \] (en particular no nulo) y como los únicos factores de un polinomio irreducible son él mismo y las unidades, deben ser coprimos.
Esto es lo que falla en característica \[ p \], porque la derivada de un polinomio no constante puede ser cero. Por ejemplo, si \[ f(x)=x^p+a \], su derivada es \[ 0 \].


De todas formas, en cuerpos finitos no hay ningún problema con esto último. Sigue siendo cierto que un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo finito es separable.

Vale muy claro todo como siempre.

Citar
Todos los subcuerpos de \[ \Bbb R \] son de característica \[ 0 \], por tanto no hay ningún problema con ellos.
Los cuerpos de congruencias en los enteros no serían subcuerpos de los reales porque las operaciones no se conservan por restricción ¿no? Es decir que por ejemplo en \( \mathbb{Z}/\mathbb{Z}2 \) tenemos que \( 1+1=0 \) pero en los reales \( 1+1=2 \).

Citar
Finalmente, sobre lo del límite en cuerpos finitos, aunque no pinta mucho en todo esto, para definir un límite primero deberías definir una topología. Si le das la topología discreta son todo puntos aislados y no tiene mucho interés.
Eso pensaba.

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