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Mensajes - mg

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41
Hola

Se me viene a la cabeza esta pregunta porque trato de demostrar lo siguiente. Si \( E_1, ...,E_n \) son conjuntos medibles en un espacio de medida entonces \( \mu(\displaystyle\bigcup_j^{n}E_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\mu(E_j)} \).

Supongo que te falta en las hipótesis decir que los conjuntos son disjuntos dos a dos; en otro caso el resultado es falso.

Citar
En mi definición de medida dice que dada una sucesión infinita numerable de conjuntos medibles disjuntos entonces la medida de su unión infinita es la suma infinita de las medidas. Por tanto, pensé en montar la sucesión de conjuntos \( E_1,...,E_n,E_{n+1},... \) donde \( E_m=\emptyset \) para todo \( m>n \), de modo que ya si que puedo usar la definición de medida.

Si. Es cierto que el vacío es disjunto con cualquier otro conjunto (también consigo mismo). Por definición dos conjuntos \( A,B \) son disjuntos si \( A\cap B=\emptyset. \) Pero \( \emptyset\cap B=\emptyset \) para cualquier conjunto \( B \), luego el vacío es disjunto con cualquier \( B \).

Saludos.

Si, conjuntos disjuntos. Gracias por la respuesta.

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Matemáticas Generales / ¿El vacío es disjunto consigo mismo?
« en: 15 Abril, 2021, 05:01 pm »
Se me viene a la cabeza esta pregunta porque trato de demostrar lo siguiente. Si \( E_1, ...,E_n \) son conjuntos medibles en un espacio de medida entonces \( \mu(\displaystyle\bigcup_j^{n}E_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\mu(E_j)} \). En mi definición de medida dice que dada una sucesión infinita numerable de conjuntos medibles disjuntos entonces la medida de su unión infinita es la suma infinita de las medidas. Por tanto, pensé en montar la sucesión de conjuntos \( E_1,...,E_n,E_{n+1},... \) donde \( E_m=\emptyset \) para todo \( m>n \), de modo que ya si que puedo usar la definición de medida.

Un saludo.

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Computación e Informática / Re: Funciones lógicas matlab
« en: 13 Abril, 2021, 10:19 pm »
Gracias a ambos. Diego, tal y como has dicho, declarando true y false en lugar de 1 y 0, ahora si me devuelve un valor lógico.

Un saludo.

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Computación e Informática / Funciones lógicas matlab
« en: 13 Abril, 2021, 05:37 pm »
¿Cómo hago para escribir una función que devuelva un valor lógico en matlab?

Hice la siguiente función para determinar si dos rectas son paralelas, me piden que devuelva un valor lógico.

function[boolean]=rectas(a,b,c,d)
if a==b;
    boolean=1;
else boolean=0;
end

Devuelve 1 o 0 pero creo que en su carácter númerico solo.

Un saludo.

45
Álgebra / Re: Sistemas dinámicos
« en: 12 Abril, 2021, 11:08 am »
Y si no convergiera para todos los valores iniciales, ¿como se haría? (por curiosidad)

Añadido: ¿Se puede estudiar solo para un valor inicial en concreto?

Un saludo.

46
Álgebra / Sistemas dinámicos
« en: 12 Abril, 2021, 10:45 am »
Sea \( A=\begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{4}{5}}&{\displaystyle\frac{1}{10}}\\{\displaystyle\frac{1}{5}}&{\displaystyle\frac{9}{10}}\end{pmatrix} \). Consideramos el sistema dinámico:
\( A\begin{pmatrix}{C_k}\\{A_k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{C_{k+1}}\\{A_{k+1}}\end{pmatrix} \).

Consideramos \( C_0=1, A_0=0 \).¿Se estabilizarán los valores de \( C_k,A_k \) cuando k tiende a infinito?

No se como demostrar que se estabilizan formalmente. Por ordenador se observa que iterando convergen aproximadamente  a \( C=\displaystyle\frac{1,666}{5},A=\displaystyle\frac{3,33}{5} \).

Además suponiendo que existen puntos de estabilidad, resolviendo el sistema \( A\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix} \), se ven que los puntos fijos o estables son los de la forma \( (\displaystyle\frac{k}{2},k) \), lo cual tiene sentido con lo anterior.

¿Cómo hago para probar que los valores se estabilizan?

Un saludo.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Factores integrantes
« en: 05 Abril, 2021, 02:37 pm »
He visto los ejemplos que has mandado. Ahora bien, por ejemplo para el primero en el que sale que \( z=x-y \), es algo que intuyes imagino ¿no?. ¿O estudias acaso, algo del tipo,  \( z=ax+by \) por ejemplo?

Lo intuyo relativamente. Copio mi mensaje:

La ecuación dada \( Pdx+Qdy=0 \) no corresponde a los métodos usuales de resolución. Ahora bien, suponiendo que \( \mu=\mu(z) \) sea un factor integrante de la ecuación (reservamos la elección de \( z=z(x,y) \) para el final), tenemos:

        \( \displaystyle\frac{\mu'(z)}{\mu(z)}=...=\displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{(1+xy^3)z_x+(1+x^3y)z_y} \). Eligiendo \( z=x-y \) obtenemos que: \( \displaystyle\frac{\mu'(z)}{\mu(z)}=...=\displaystyle\frac{-3}{y-x}=\displaystyle\frac{3}{z} \)

lo cual prueba que la ecuación dada tiene un factor integrante que depende de \( z=x-y \).

Fíjate que para \( z_x=1 \) y \( z_y=-1 \) queda

        \( \displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{(1+xy^3)z_x+(1+x^3y)z_y}=\displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{xy(y^2-x^2)}=\displaystyle\frac{3}{x-y} \)

con lo cual basta elegir \( z=x-y \).

Ah vale. Muchas gracias, me ha ayudado mucho de verdad.

Un saludo.

48
Ecuaciones diferenciales / Re: Factores integrantes
« en: 04 Abril, 2021, 04:38 pm »
h
Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

No existe ninguna regla fija. Un primer apartado de los problemas suele pedir demostrar que una ecuación dada tiene un factor integrante en donde se da la forma de \( \mu (x,y) \). Si no se da tal forma, puedes proceder como en

        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=33520.msg131971#msg131971
        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=85414.msg342776#msg342776

aunque como verás, insisto, no hay regla fija.

He visto los ejemplos que has mandado. Ahora bien, por ejemplo para el primero en el que sale que \( z=x-y \), es algo que intuyes imagino ¿no?. ¿O estudias acaso, algo del tipo,  \( z=ax+by \) por ejemplo?


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Ecuaciones diferenciales / Re: Factores integrantes
« en: 04 Abril, 2021, 04:32 pm »
Hola:
Hola,

Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

Un saludo.
Si no pones la edo no te puedo ayudar.

Saludos.

La EDO que estaba intentando cuando me vino la duda es la siguiente:
\( t(1-y)+(t^2+y)y'=0 \),
Conozco la solución porque sale en el solucionario, pero me gustaría ver como razonan para llegar a saber a qué equivale la función \( /mu(x,y) \) anteriormente mencionada.

50
Ecuaciones diferenciales / Factores integrantes
« en: 04 Abril, 2021, 12:21 am »
Hola,

Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

Un saludo.

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Teoría de la Medida - Fractales / Re: Medible por traslaciones
« en: 25 Marzo, 2021, 12:37 am »
Muchísimas gracias por detallarlo, Luis. Siempre eres de gran ayuda.

Un saludo.

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Teoría de la Medida - Fractales / Re: Medible por traslaciones
« en: 24 Marzo, 2021, 12:09 pm »
Hola,

Pues venga voy a ello.

Sean \( E \) y \( c \) los mencionados anteriormente. Sea \( m^* \) la medida exterior de Lebesgue, entonces para cada familia de intervalos \( I_n \) tal que \( E\subseteq{}\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}I_n \) se tiene que \( c+E\subseteq{}c+\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}I_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}c+I_n \). Ahora bien, como \( vol(I_n)=vol(c+I_n) \) se tiene que \( m^*(E)=m^*(c+E)=inf\displaystyle\sum_{i=1}^n{vol(I_n)}=inf\displaystyle\sum_{i=1}^n{vol(c+I_n)} \). Por tanto la medida exterior de Lebesgue es invariante por traslaciones.

Ahora aplicando la definción de Caratheodory es donde tengo más lio yo creo.

Como E es medible tenemos que \( m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c) \), para todo \( A\subseteq{}X \). ¿Podría decir que \( m^*(A\cap E)=m^*(A\cap (c+E)) \)?

Un saludo.

53
Teoría de la Medida - Fractales / Medible por traslaciones
« en: 22 Marzo, 2021, 06:30 pm »
Hola,

Se que debe ser un ejercicio sencillo, pero me hace falta vuestra ayuda.

Sea \( E\in{}\mathcal{L} \) y \( c\in{}\mathbb{R}^d \) prueba que \( c+E\in{}\mathcal{L} \), con la medida de Lebesgue definida en \( \mathbb{R}^d \).

PD: Estoy trabajando con la definición de Caratheodory.


Un saludo.

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Teoría de la Medida - Fractales / Re: Medible según Caratheodory
« en: 14 Marzo, 2021, 11:32 pm »
Ahora bien, justo después de esto dice lo siguiente
Observación: Sea \( \mu^* \) una medida exterior sobre un conjunto \( X\neq\emptyset \). Si \( E\subseteq X \) es tal que \(  \mu^*(A)\geq{}\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \) para todo \( A\subseteq X \), entonces \( E \) es medible en el sentido Caratheodory.

No sé de donde saca esa conclusión en la última afirmación. Si es de la demostración del teorema mencionado anteriormente, o bien un corolario de este, no se como hace. Espero que me puedan echar una mano.
Como \[ A = (A \cap E) \cup (A \cap E^c) \], de la definición de medida exterior se tiene siempre la desigualdad \[ \mu^*(A) \leq \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) \]. Por tanto para ver que \[ E \] es medible basta con probar la otra desigualdad.
 
Citar
Por cierto, ¿No se podría deducir por inducción del teorema A que M es un \( \sigma \)-álgebra?
El teorema demuestra que \[ M \] es una álgebra (es decir, \[ \emptyset \in M \], complementos de conjuntos en \[ M \] están en \[ M \], y uniones finitas de conjuntos de \[ M \] están en \[ M \]). Para probar que es una \[ \sigma \]-álgebra falta ver que uniones numerables de conjuntos en \[ M \] están en \[ M \], que necesita algún argumento extra (no se sigue por inducción del teorema).

Muchisímas gracias geómetracat, me has ayudado un montón.

Un saludo!

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Teoría de la Medida - Fractales / Medible según Caratheodory
« en: 13 Marzo, 2021, 07:41 pm »
Hola,

Dado \( X\neq\emptyset \) y una medida exterior \( \mu^* \) sobre \( X \), se dice que un conjunto \( E\subseteq{X} \) es medible según Caratheodory si para todo \( A\subseteq X \) verifica que:
\( \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \)

(Teorema). En mis apuntes demuestran que si \( \mathcal{M} \) es la familia de conjuntos medibles según Caratheodory en X, entonces \( \emptyset\in \mathcal{M} \), si \( E\in \mathcal{M} \) entonces \( E^c\in\mathcal{M} \), y por último si \( E,F\in\mathcal{M} \) entonces \( E\cup F \in \mathcal{M} \).

Ahora bien, justo después de esto dice lo siguiente
Observación: Sea \( \mu^* \) una medida exterior sobre un conjunto \( X\neq\emptyset \). Si \( E\subseteq X \) es tal que \(  \mu^*(A)\geq{}\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \) para todo \( A\subseteq X \), entonces \( E \) es medible en el sentido Caratheodory.



No sé de donde saca esa conclusión en la última afirmación. Si es de la demostración del teorema mencionado anteriormente, o bien un corolario de este, no se como hace. Espero que me puedan echar una mano.

Por cierto, ¿No se podría deducir por inducción del teorema A que M es un \( \sigma \)-álgebra?

Un saludo.

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Topología (general) / Re: ¿Es un espacio completo?
« en: 10 Marzo, 2021, 01:07 am »
Claro, porque \( \mathbb{R} \) con la usual es completo, entonces \( \left\{{x_n}\right\} \) ha de ser convergente.

Gracias.

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Topología (general) / Re: ¿Es un espacio completo?
« en: 10 Marzo, 2021, 12:22 am »
Hola. Nota que si \( f:([1,+\infty),d_1) \to ((0,1],d) \) es \( f(x) = 1/x \) y \( d_1 \) es la distancia usual en \( \mathbf R \), entonces \( f \) es una isometría. Como la completitud se preserva con isometrías, hay que probar que \( [1,+\infty) \) es completo. Ésto último se sigue por ejemplo de que \( [1,+\infty)\subset \mathbf R \) es cerrado y \( \mathbf R \) es completo.

Ciertamente es muy bonito. Gracias.

Ah, qué bonita la forma de resolverlo de Gustavo, no se me habría ocurrido. Aquí tienes otra forma, quizá más directa pero que esencialmente es lo mismo: supón que \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) es Cauchy, entonces dado un \( \epsilon >0 \) cualquiera sabes que existe un \( N_\epsilon \in \mathbb N  \) tal que \( |x_n-x_m|<\epsilon |x_nx_m| \) para todo \( n,m> N_\epsilon  \).

Como \( |x_nx_m|\leqslant 1 \) entonces tienes que \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) es Cauchy con la función de distancia usual en \( \mathbb{R} \) ya que \( |x_n-x_m|<\epsilon  \). Por tanto tienes un candidato a límite \( L\in [0,1] \). A partir de ahí es inmediato demostrar que si \( L\neq 0 \) entonces \( \lim_{n\to\infty}\left|\frac1{x_n}-\frac1L\right|=0 \). Entonces sólo te quedaría por demostrar que si \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) es Cauchy en tu espacio entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) no puede ser una sucesión nula (i.e., converger a cero) en el espacio métrico usual.

Aquí va todo bien hasta que dices que tengo un candidato a límite en \( [0,1] \). No sé de donde sale esa conclusión.

Gracias a ambos

58
Hola

No me convence, porque si P tuviese grado=3 entonces \( 2grad(P)=6 \), pero \( grad(P^2)=9 \).

Creo que no, porque si \( P(x)=x^3 \) tendrías que \( P^2(x)=(x^3)^2=x^{3\cdot2}=x^6 \) luego \( gr(P^2)=6 \) y \( 2\cdot gr(P)=2\cdot3=6 \).

Revisa lo nuevo que agregué en rojo. Voy despacito, como la canción. :laugh:

Tengo todo el tiempo del mundo para estas cosas  ;D

No me digas eso! Jajaja

Saludos

Uhh si sí, es cierto. Pues entonces queda todo aclarado. Muchas gracias manooooh.

59
Hola


 y \( grado (P^2)=2grado(P) \).

Perdona Luis, ¿de dónde se deduce esa igualdad?

Según entiendo, Luis dedujo que:

\( P^2=x^2(x^2+6)+9=x^4+6x^2+9 \)

es decir \( P^2=x^4+6x^2+9 \) y este polinomio tiene grado \( 4 \). Por ende \( grado (P^2)=4 \) y así \( 4=2grado(P) \) de donde \( grado(P)=2 \).

Ah, leyendo bien tu consulta supongo que preguntas por qué en general se tiene que para cualquier polinomio \( P \) se verifica \( gr(P^2)=2gr(P) \). Supongo que se puede demostrar así:

\( gr(P^2)=gr(P\cdot P)=gr(P)+gr(P)=2gr(P) \)

pero sugiero que esperes una mejor respuesta.


Saludos

Agregado

No me convence, porque si P tuviese grado=3 entonces \( 2grad(P)=6 \), pero \( grad(P^2)=9 \).

Revisa lo nuevo que agregué en rojo. Voy despacito, como la canción. :laugh:

Tengo todo el tiempo del mundo para estas cosas  ;D

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Hola


 y \( grado (P^2)=2grado(P) \).

Perdona Luis, ¿de dónde se deduce esa igualdad?

Según entiendo, Luis dedujo que:

\( P^2=x^2(x^2+6)+9=x^4+6x^2+9 \)

es decir \( P^2=x^4+6x^2+9 \) y este polinomio tiene grado \( 4 \). Por ende \( grado (P^2)=4 \) y así \( 4=2grado(P) \) de donde \( grado(P)=2 \).

Ah, leyendo bien tu consulta supongo que preguntas por qué en general se tiene que para cualquier polinomio \( P \) se verifica \( gr(P^2)=2gr(P) \).

Saludos

Agregado

Sí en efecto, preguntaba por si era algo más general. Aunque supongo que esto solo será en este caso particular. Por si las moscas pregunto de todas formas  ;).

Un saludo.

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