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Mensajes - mg

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Probabilidad / Re: Probar que es un espacio de probabilidad
« en: 04 Junio, 2021, 02:21 pm »
Acabo de caer en como hacer el 2).

Sean \( B_1,..,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) entonces tenemos que:
\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(B_1\cup{}...\cup{}B_n)=\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B_1\cup{}...\cup{}B_n))=\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B_1)\cup{}...\cup{}\underline{X}^{-1}(B_n)))=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\mathbb{P}_{\underline{X}}(B_i)} \). Donde uso que como \( (\omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \) un espacio de probabilidad entonces \( \mathbb{P} \) es una medida, luego como los \( B_i \) son disjuntos, se puede hacer lo anterior.

Respecto al 1) estaría listo si pudiera decir que \( \underline{X}^{-1}(\emptyset)=\emptyset \), pero no tiene por qué ¿no?

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Probabilidad / Probar que es un espacio de probabilidad
« en: 04 Junio, 2021, 01:54 pm »
Hola,

Partiendo de que, \( \underline{X}:(\omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\longrightarrow{}(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \) es un vector aleatorio (y \( (\omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \) un espacio de probabilidad) n-dimensional. Definimos la función de conjuntos \( \mathbb{P}_{\underline{X}}:(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))\longrightarrow{}[0,1] \)
como:

\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(B)=\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B)),\forall{}B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \)


Quiero probar que la terna \( (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}_{\underline{X}}) \) es un espacio de probabilidad.

Es claro que \( (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \) es un espacio de medida pues \( \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) es una sigma-álgebra sobre \( \mathbb{R}^n \).

Faltaría por tanto probar que \( \mathbb{P}_{\underline{X}} \) es una medida de probabilidad. Por definición \( 0\leq{}\mathbb{P}_{\underline{X}}\leq{}1 \), por tanto verifica la primera propiedad. Queda probar que:
1)\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(\emptyset)=0 \)
2)Si \( A_1,A_2,...,A_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) son conjuntos disjuntos entonces
\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(A_1\cup{}...\cup{}A_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\mathbb{P}_{\underline{X}}(A_i)} \)

Y me temo que no encuentro la forma probar ni 1) ni 2).

Un saludo.

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Probabilidad / Re: Caracterización vector aleatorio
« en: 03 Junio, 2021, 07:29 pm »
Es decir, que cada boreliano en realidad es conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \), así como cada conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \) es un boreliano de \( \mathbb{R}^n \) ¿no?

Claro, de eso es lo que se parte, es decir, te dicen que \( \sigma (\mathcal{C})=B(\mathbb{R}^n) \) (entiendo que la notación \( B(\mathbb{R}^n) \) se refiere al \( \sigma  \)-álgebra de Borel de la topología estándar en \( \mathbb{R}^n \)).

Si si, en efecto. Eso era lo que no veía que esos conjuntos fueran exactamente iguales. Entonces en realidad la primera parte es inmediata claro.  Ahora ya todo claro. Gracias Masacroso.

Un saludo.


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Probabilidad / Re: Caracterización vector aleatorio
« en: 03 Junio, 2021, 05:47 pm »
Hasta aquí debe estar bien, he seguido los pasos que ha marcado el profesor. Pero ahora concluye que eso implica que \( \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F}, \forall{}C\in{}\mathcal{C} \), lo cual no se de donde se sigue.

Se sigue de que si \( \mathcal{C} \) genera la \( \sigma  \)-álgebra de Borel entonces necesariamente \( \mathcal{C}\subset B(\mathbb{R}^n) \).

A ver, según tengo entendido lo que denota \( \sigma(\mathcal{C}) \), es la mínima \( \sigma \)-álgebra que contiene a \( \mathcal{C} \). Por tanto se ahí se deduce lo que tu has dicho. Entonces lo que justifica que \( \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F}, \forall{}C\in{}\mathcal{C} \), ¿es que cada conjunto de borel de \( \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) es una clase de \( \mathcal{C} \) ? Es decir, que cada boreliano en realidad es conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \), así como cada conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \) es un boreliano de \( \mathbb{R}^n \) ¿no?
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Segunda parte:
Aquí dice que \( \underline{X}^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))=\sigma(\underline{X}^{-1}(\mathcal{C})) \), y no se como hace eso. Indica que es por las propiedades de la función inversa, pero no encuentro nada parecido.

La igualdad entre dos conjuntos se muestra primero mostrando que un conjunto está contenido en el otro, y luego al revés. Las propiedades de la función inversa a las que se refiere son las siguientes

\( \displaystyle{
f^{-1}\left(\bigcup_{x\in I}A_x\right)=\bigcup_{x\in I}f^{-1}(A_x),\quad f^{-1}\left(\bigcap_{x\in I}A_x\right)=\bigcap_{x\in I}f^{-1}(A_x),\quad f^{-1}(A^\complement )=(f^{-1}(A))^\complement
} \)

Puedes verificar esas propiedades tú mismo para convencerte. Con lo dicho quizá ya sepas resolver esa parte del ejercicio, inténtalo y nos cuentas.
Esta parte queda clara.

Un saludo.

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Probabilidad / Caracterización vector aleatorio
« en: 03 Junio, 2021, 02:08 pm »
Hola,

El teorema es el siguiente.

Sea \( \mathcal{C} \) una familia de subconjutnos de \( \mathbb{R}^n \)  tal que \( B(\mathbb{R}^n)=\sigma(\mathcal{C}) \). Entonces \( \underline{X}:(\omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\longrightarrow{}(\mathbb{R},B(\mathbb{R}^n)) \) un vector aleatorio si y solo si

\( \forall{}C\in\mathcal{C}, \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F} \).

Demostración:

Primera parte: Supongamos  que \( \underline{X} \) es vector aleatorio. Entonces tenemos que \( \underline{X}^{-1}(B)\in\mathcal{F}, \forall{}B\in{}B(\mathbb{R}^n) \). Ahora bien, por la caracterización de las sigmas álgebras borel en \( \mathbb{R}^n \) entonces \( \underline{X}^{-1}((-\infty,x_1]\times{}(-\infty,x_2]\times{}...\times{}(-\infty,x_n])\in\mathcal{F}, \forall{}\underline{x}\in{}\mathbb{R}^n \), donde \( \underline{x}=(x_1,x_2,...,x_n)) \).

Hasta aquí debe estar bien, he seguido los pasos que ha marcado el profesor. Pero ahora concluye que eso implica que \( \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F}, \forall{}C\in{}\mathcal{C} \), lo cual no se de donde se sigue.

Segunda parte:
Aquí dice que \( \underline{X}^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))=\sigma(\underline{X}^{-1}(\mathcal{C})) \), y no se como hace eso. Indica que es por las propiedades de la función inversa, pero no encuentro nada parecido.

Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Integral exp(x^2)
« en: 01 Junio, 2021, 12:06 am »
Hola,

Quiero ver como calcular la siguiente integral definida. Sea \( [a,b] \).

La integral es \( \displaystyle\int_{a}^{b}e^{x^2}dx \).

Por lo que he visto, se puede hacer usando que la exponencial es una función analítica de modo que, a menos que ustedes me corrijan, la integral sería:

 \( \displaystyle\int_{a}^{b}e^{x^2}dx=x+\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{x^5}{10}+....|_{a}^b=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}|_{a}^b=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(b-a)^{2n+1}}{n!(2n+1)}} \)


En mi ejercicio el intervalo de integración es [0,4], por tanto tendría que:

\( \displaystyle\int_{0}^{4}e^{x^2}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(4)^{2n+1}}{n!(2n+1)}} \)

He visto que por el criterio del cociente, el límite da 0, por tanto la serie es convergente. ¿Se puede hallar la suma exacta de esa serie?

Un saludo.

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Temas de Física / Re: Simetría en una esfera
« en: 19 Mayo, 2021, 12:33 pm »
Muchas gracias a ambos, entre lo que ustedes me dijeron y más cosas que estuve investigando ya entendí todo el asunto.

Un saludo.

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Temas de Física / Simetría en una esfera
« en: 18 Mayo, 2021, 08:18 pm »
Hola,

Me gustaría estudiar la simetría de una esfera analíticamente, para hallar su campo gravitatorio en el interior de la esfera fácilmente.  Gráficamente, trabajando en esféricas se ve que la función \( \overrightarrow{g} \) del campo gravitatorio no depende de \( \phi \) ni de \( \theta \).

Agradecería que me ayudaran a verlo. Digamos que \( \overrightarrow{g(\overrightarrow{r})}=g_r+g_\phi+g_\theta \).

Tratemos de ver la invarianza de \( \theta \).
 
Fijamos \( r,\phi \) y tomemos \( \theta_1,\theta_2 \). Quiero ver que se verifica que \( g(r,\phi,\theta_1)=g(r,\phi,\theta_2) \).


Y bueno no se como seguir, puesto que este cálculo, de las invarianzas me interesa hacerlo antes de calcular el campo, para simplificar cálculos.

Un saludo.


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Cálculo de Varias Variables / Re: Integral en una región
« en: 16 Mayo, 2021, 04:58 pm »
Cierto ahora mismo lo corrijo muchas gracias.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Integral en una región
« en: 14 Mayo, 2021, 08:56 pm »
Es cierto. A ver que tal. Pasando a trabajar en coordenadas cilíndricas tenemos que el conjunto es \( E=\left\{{(\rho,\phi,z)/2\rho^2\leq{}z^2\leq{}\rho^2+1,z\geq{}0}\right\} \), de aquí podemos deducir que \( 0\leq{}\rho\leq{}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{z^2}{2}} \), si \( 0\leq{}z\leq{}1 \).

Por encima de z=1 sucede que   \( \sqrt[ ]{z^2-1}\leq{}\rho\leq{}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{z^2}{2}} \).

Esta última desigualdad debe ser donde \( f(\rho,z)=2\rho^2-z^2 \) sea igual a \( g(\rho,z)=\rho^2+1-z^2 \) se corten. Esto pasa en \( (\rho,z)=(1,\sqrt[ ]{2}) \). Luego \( \sqrt[ ]{z^2-1}\leq{}\rho\leq{}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{z^2}{2}} \) si \( 1\leq{}z\leq{}\sqrt[ ]{2} \)

 . \( 0\leq{}z\leq{}1 \) y que  en toda la región \( 0\leq{}\phi\leq{}2\pi \).

Por lo tanto es la suma de dos integrales, teniendo en cuenta z.

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Cálculo de Varias Variables / Integral en una región
« en: 14 Mayo, 2021, 07:35 pm »
Hola,

Debo hallar la integral de una función en la región \( E=\left\{{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/2(x^2+y^2)\leq{}z^2\leq{}x^2+y^2+1,z\geq{}0}\right\} \). Estoy tratando de hallar los limites de la integral de cada variable. Al dibujar la región queda claro que debe ser \( z\geq{}1 \), pero luego no consigo despejar x,y de forma que luego pueda operar la integral. Me quedo en que \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2y^2-z^2}{2}}\leq{}x\leq{}\sqrt[ ]{y^2+1-z^2} \) y que \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2x^2-z^2}{2}}\leq{}y\leq{}\sqrt[ ]{x^2+1-z^2} \).

Un saludo.

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Ecuaciones diferenciales / Lipchitzianidad de una función
« en: 13 Mayo, 2021, 02:26 am »
Hola,

Acabo de empezar a estudiar los SDO con las matrices.  Y en una demostración aparece lo siguiente:

"Sea \( A:I\longrightarrow{L(\mathbb{R}^N}) \) y \( b:I\longrightarrow{}\mathbb{R}^N \) dos funciones continuas y \( (t_0,y_0)\in I\times{}\mathbb{R}^N \).

Supongamos que, \( f(t,y)=A(t)y+b(t),\;\;\;\forall{I\times{}\mathbb{R}^N} \).

\( f:I\times{}\mathbb{R}^N\longrightarrow{}\mathbb{R}^N \) es continua y localmente lipchitziana respecto de la variable y."

Me gustaría ver rigurosamente que es localmente lipchitziana, pasando por alto que es globlamente lipchitziana en I.

Entonces, para ello tomo un \( I'\times{}\omega=K\subseteq{}I\times{}\mathbb{R}^N \) compacto. Sean \( (t,y_1),(t,y_2)\in{}I\times{}\mathbb{R}^N \) entonces:

\( \left |{f(t,y_1)-f(t,y_2)}\right |=\left |{A(t)(y_1-y_2)}\right |\leq{}\left\|{A(t)}\right\|_s\left |{y_1-y_2}\right | \) donde la norma es la norma espectral y está tomada en el compacto K, es decir con \( t\in{}I' \).

Entonces tomando \( L_k=\left\|{A(t)}\right\|_s\geq{}0 \), probamos que f es localmente lipchitziana.

¿Añadirían algo?

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Producto escalar.
« en: 11 Mayo, 2021, 03:21 pm »
Hola,

A menos que me equivoque y los compañeros del foro me corrijan, ocurre lo siguiente:

\( \left<{u,v}\right>=\left<{w,v}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u,v}\right>+\left<{-w,0}\right>=\left<{w,v}\right>+\left<{-w,0}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u-w,v}\right>=\left<{0,v}\right> \). Por tanto ocurre lo siguiente, o bien \( u-w=0 \) o bien \( (u-w)\perp{}v \).

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Ecuaciones diferenciales / Duda en demostración
« en: 07 Mayo, 2021, 09:19 pm »
Hola,

Tengo una duda en la siguiente demostración.

Enunciado: (Lema de Gronwall)
Supongamos que:

\( u(t)\leq{}M+\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \),

donde \( M\in{\mathbb{R}} \), \( a\geq{}0 \), \( a,u\in{}C^0([t_0,t_1]) \). Entonces
\( u(t)\leq{}Mexp(\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds \).

Demostración:
Pongamos \( v(t)=\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \), \( \forall{t}\in{}[t_0,t_1] \),
Entonces \( v\in{C^1([t_0,t_1])} \) y, por hipótesis, \( u\leq{}M+v \), de donde \(  v'=au\leq{}aM+av \), esto es:

\( v'(t)-a(t)v(t)\leq{}a(t)M \)

Multiplicando la desigualdad por \( exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \), obtenemos:
 \( \displaystyle\frac{d}{dt}v(t)exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)=(v'(t)-a(t)v(t))exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)\leq{}a(t)Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \).

Integrando con respecto a t, y teniendo en cuenta que \( v(t_0)=0  \) tenemos que:

\( v(t)\leq{}M\displaystyle\int_{t_0}^{t}(a(s)exp(-\displaystyle\int_{s}^{t}a(z)dz)ds)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz)-M \),  (*)

de donde,

\( u(t)\leq{}M+v(t)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz) \)

Esa es la demostración.

Cómo pasa a (*) es mi duda.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Función cuadrática
« en: 06 Mayo, 2021, 01:09 am »
Hola,
Es cierta, piensa en una parábola. Entonces la parábola cortará al eje x en uno o dos puntos, si lo hace en dos no puede ser el vértice, y si lo hace en uno tiene que ser el vértice. En el ejemplo que pones ni (1,0) ni (2,0) es el vértice, tu vértice esta en \( x=\displaystyle\frac{-3}{2} \).

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Cálculo 1 variable / Re: Límite Exponencial
« en: 30 Abril, 2021, 12:20 pm »
Hola, puedes poner el limite como sigue:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x^2+x+1}-x}}})^{f(x) \displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\displaystyle\frac{1}{f(x)}} \)

, siendo \( f(x)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x^2+x+1}-x} \).

Con lo que el límite es \( e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\displaystyle\frac{1}{f(x)}}} \), sabiendo que te tiene que dar \( e^2 \), intentalo.

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Cálculo 1 variable / Re: Un ejercicio extraño
« en: 16 Abril, 2021, 11:39 am »
Me lo ha mandado un amigo de otra carrera para que le eche un vistazo. Le he pedido, a ver si podía enviar algo má,s la página entera o lo que sea, pero no tiene nada más.

Le he dicho que está mal planteado.

Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Un ejercicio extraño
« en: 15 Abril, 2021, 11:32 pm »
Hola,

El ejercicio es el siguiente:

"Dada la serie \( \left\{{x_t}\right\}_{-10}^{10} \) donde \( x_t=20\displaystyle\frac{sen(t)}{t} \), obtener los números enteros de las siguientes aproximaciones:

a) tendiendo a 0
b) tendiendo a \( -\infty \)
c) tendiendo a \( +\infty \)
d) tendiendo al entero más cercano"

No entiendo el enunciado, pues según entiendo, la serie dada, es finita, y por tanto ya está determinada. Digamos que la serie que se da es un número.

Por tanto no entiendo lo de las aproximaciones. Deduzco, que si esto tuviera sentido, evidentemente sería hacer tender la variable t. En fin, ¿qué opinan? ¿Está mal planteado? ¿o que estoy entendiendo mal?


Un saludo.

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Ah si, es cierto lo acabo de ver, porque \( C=F\cap{}E^c \).

En cuanto al 2) se me ocurre que \( ((E\cap F)^c)^c=E\cap F \), usando leyes de morgan eso equivale a \( (E^c\cup F^c)^c \), y pues ya estaría. En el momento no lo veía.

Gracias, y un saludo.

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Teoría de la Medida - Fractales / Ejercicios teoría de la medida
« en: 15 Abril, 2021, 07:42 pm »
Hola,

Estoy haciendo unos ejercicios básicos de teoría de la medida y tengo unas preguntas.

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida

1) Si \( E,F\in{}M \) tal que \( E\subseteq{}F \) entonces \( \mu(E)\leq{}\mu(F) \).

Para este voy a suponer directamente que \( E\subset{}F \), pues si son iguales es trivial. Para ello escribo \( F=E\cup{}C \) donde \( C \) es tal que \( F\setminus E=C \). Ahora bien como F es unión de conjuntos disjuntos tenemos que \( \mu(F)=\mu(E)+\mu(C) \) y esto lo prueba pues la medida es por definición positiva.

¿Debería comprobar que C es medible?

2) Si  \( E,F\in{}M \), entonces \( \mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)-\mu(E\cap F) \).

Aquí la idea es la misma. \( E\cup F=E\setminus E\cap F+F\setminus E\cap F+E\cap F \), se que la unión \( E\cup F  \) es medible pues E y F lo son, pero ¿y la intersección lo es? Si lo fuera ya estaría resuelto el ejercicio.

Un saludo.

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