Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - mg

Páginas: [1] 2 3 4 ... 15
1
Matemáticas Generales / Re: Ejercicio programación lineal
« en: 15 Septiembre, 2021, 11:58 pm »
Está perfectamente planteado, supongo que los problemas son que no sabes como hallar el máximo de la función. Pues bien si no conoces teoría de varias variables, puedes asumir que una relación entre las variables x e y es  \( x+y=350 \), porque el máximo no se va a dar si \( x,y \) suman cualquier cantidad inferior a 350.

Un saludo.

2
Cálculo 1 variable / Re: Duda demostración con suma de matrices
« en: 14 Septiembre, 2021, 03:18 pm »
okey, muchisimas gracias a ambos.

3
Cálculo 1 variable / Re: Duda demostración con suma de matrices
« en: 14 Septiembre, 2021, 02:38 am »
Claro, es cierto. Ya lo veo perfectamente. Por cierto, un detallito, en


para unos determinados coeficientes \( r_{i,j,k} \), ya que una expresión como la de (2) abarca cualquier tipo de resultado que uno pueda obtener de expresiones de la forma \( a\cdot b+c \) o similares (si utilizamos potencias como \( a^3\cdot c\cdot b^2+2c \) entonces la forma general sería \( \sum_{i,j,k\geqslant 0} r_{i,j,k}x^i y^j z^k \), y ahí sólo habría un número finito de coeficientes distintos de cero).



La suma a la que te refieres aquí, igual que las anteriores son de forma que \( i+j+z=1 \), no?

Un saludo.

4
Cálculo 1 variable / Duda demostración con suma de matrices
« en: 13 Septiembre, 2021, 07:30 pm »
Hola,

Lo que voy a escribir es un fragmento de una demostración, dice así:

\( A,B\in{L(\mathbb{R}^N)} \), es decir pertenecen al espacio vectorial de las matrices de orden N. Entonces sea

\( m_k=(\displaystyle\sum_{n=0}^k{\displaystyle\frac{1}{n!}\left\|{A}\right\|_S^n})(\displaystyle\sum_{n=0}^k{\displaystyle\frac{1}{n!}\left\|{B}\right\|_S^n})-(\displaystyle\sum_{n=0}^k{\displaystyle\frac{1}{n!}(\left\|{A}\right\|_S+\left\|{B}\right\|_S)^n}) \). para cada k, con \( \left\|{.}\right\|_S \), la norma espectral.

Pero \( m_k \) puede escribirse como una suma finita de potencias \( \left\|{A}\right\|_S^i\left\|{B}\right\|_S^j \) con \( 0\leq{i},j\leq{k} \), donde todos los coeficientes son no negativos:

\( m_k=\displaystyle\sum_{i,j=0}^k{m_{i,j}^k\left\|{A}\right\|_S^i\left\|{B}\right\|_S^j} \)

Bien, entonces no entiendo como llega a la igualdad, supongo que en gran medida por que no se a qué se refiere con \( m_{i,j}^k \) ¿es acaso \( m_i^k\cdot{}m_j^k \)? No lo sé.

Agradecería que me lo explicaran con más detalle.

Un saludo.

5
Probabilidad / Re: Probabilidad de acertar esta pregunta
« en: 08 Septiembre, 2021, 11:49 am »
Perfecto, muchas gracias.

6
Probabilidad / Probabilidad de acertar esta pregunta
« en: 08 Septiembre, 2021, 11:34 am »
Hola,

Si eligieras una respuesta al azar para esta pregunta, ¿Cuál sería la probabilidad de acertar?:
a)25%
b)50%
c)25%
d)0%


Le he estado dando vueltas y mi conclusión es la siguiente:

Spoiler
Las respuestas a y c no pueden ser solución pues entonces la probabilidad sería del 50%.
Si b es la respuesta correcta entonces no puede ser con un 50%, puesto que la probabilidad sería del 25%
Si d es correcta entonces la probabilidad de acertar es del 0%, es decir, ninguna respuesta es correcta, en concreto d no es correcta.
Por tanto creo que no hay solución a este problema, y sospecho que es una paradoja de tipo autoreferencial.
[cerrar]

Me gustaría saber sus opiniones y conclusiones.

Un saludo.

7
Probabilidad / Distribución normal multivariante
« en: 04 Septiembre, 2021, 01:44 pm »
Hola,

Para un vector aleatorio \( Z=(Z_1,Z_2,...,Z_n) \) donde cada componente sigue una distribución normal en \( (0,1) \) y además son independientes entre sí que la función de densidad
\( f_Z(z)=\displaystyle\frac{1}{(\sqrt[ ]{2\pi})^n}exp(-\displaystyle\frac{1}{2}z'z) \).Donde \( z\in{\mathbb{R}^n} \).

Ahora bien, consideramos el vector aleatorio \( X=\mu+AZ \) donde \( \mu\in{\mathbb{R}^n} \) y \( A \) una matriz de \( n\times{n} \) constantes. El problema es que quiero hallar la función de densidad de X. Para ello primero observo que \( Z=A^{-1}(X-\mu) \). Entonces sustituyendo en la expresión de la función en la variable Z tengo que :

\( f_X(x)=\displaystyle\frac{1}{(\sqrt[ ]{2\pi})^n}exp(-\displaystyle\frac{1}{2}(x-\mu)A^{-1}A(x-\mu) \). Sin embargo en los apuntes aparece esto mismo pero multiplicado por \( \displaystyle\frac{1}{\left |{A}\right |} \). No sé exactamente a que se debe, sospecho que es por el teorema del cambio de variable, pero en tal caso la función a la que lo aplica debe ser (a menos que esté muy equivocado) \( g(Z)=A^{-1}(X-\mu) \), y no me salen las  cuentas, además que no se como tratar las componentes de la función g.

En resumen agradecería que me explicaran de donde sale ese \( \displaystyle\frac{1}{\left |{A}\right |} \).

Un saludo.


8
Probabilidad / Re: Duda en demostración con sumatorio
« en: 18 Agosto, 2021, 06:32 pm »
Te he cambiado ligeramente el código \( \LaTeX \) porque como estaba antes se salía fuera de la pantalla. La notación del final que es de la forma

\( \displaystyle{
\sum_{k\in I}a_k \times \left\{ \sum_{j\in J}b_j\right\}
} \)

es muy poco ortodoxa, ¿no será más bien esta otra?

\( \displaystyle{
\sum_{k\in I}a_k \left(\sum_{j\in J}b_j\right)
} \)

Añado: si todos los sumandos son positivos y los conjuntos \( I \) y \( J \) son contables se tiene que

\( \displaystyle{
\sum_{(i,j)\in I\times J}a_ib_j=\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_i b_j=\sum_{i\in I}a_i \left(\sum_{j\in J}b_j\right)
} \)

o también

\( \displaystyle{
\sum_{(i,j)\in I\times J}a_ib_j=\sum_{j\in J}\sum_{i\in I}a_i b_j=\sum_{j\in J}b_j \left(\sum_{i\in I}a_i\right)
} \)

La demostración no es trivial exceptuando el caso donde \( I \) y \( J \) son conjuntos finitos, entonces lo anterior se puede demostrar fácilmente por inducción.

Muchas gracias, ya me parece todo mas intuitivo. Por cierto, si tienes algún enlace donde pueda ver esa demostración dejalo por aquí y le hecho un vistazo.

Un saludo.

9
Probabilidad / Re: Duda en demostración con sumatoria
« en: 18 Agosto, 2021, 06:22 pm »
En las notas del profesor está así escrito, porque lo ha hecho a mano. Ciertamente la notación en ese punto también me confunde un poco. Pero entiendo que la forma en la que tu lo pones es totalmente equivalente.

10
Probabilidad / Duda en demostración con sumatorio
« en: 18 Agosto, 2021, 06:07 pm »
Sea N un subconjunto numerable de \( \mathbb{R}^n \) tal que un vector aleatorio discreto \( X'=(X_1,X_2,...,X_n) \) toma valores en N.

Probar que si \( \forall{(x_1^{(k)},...,x_n^{(k)})\in{}\mathbb{R}^n} \) se tiene que \( P(X_1=x_1^{(k)},...,X_n=x_n^{(k)})=P(X_1=x_1^{(k)})\cdot{}...\cdot{}P(X_n=x_n^{(k)}) \) entonces \( X_1,X_2,...,X_n \) son variables aleatorias independientes.

Para ello se usa una caracterización de la independencia. Las variables \( X_1,...,X_n \) serán independientes si la función de distribución conjunta es igual al producto de las funciones de distribuciones marginales. Por esto partimos de la función de distribución conjunta.


\( \begin{align*}F(x_1,x_2,...,x_n)&=P(X_1\leq{}x_1,...,X_n\leq{}x_n)\\[1em]
&=\displaystyle\sum_{\left\{ \underline{x}^{(k)}\in{}N/ x_1^{(k)}\leq{x_1},...,x_n^{(k)}\leq{x_n} \right\} }{P(X_1=x_1^{(k)},...,X_n=x_n^{(k)})}\\
&=\displaystyle\sum_{\left\{ \underline{x}^{(k)}\in{}N/ x_1^{(k)}\leq{x_1},...,x_n^{(k)}\leq{x_n} \right\} }{P(X_1=x_1^{(k)})\cdot{}...\cdot{}P(X_n=x_n^{(k)})}
\end{align*} \)

Hasta aquí en la demostración lo tengo todo claro pero ahora, da el siguiente paso y es que lo anterior lo iguala a:
\( \displaystyle\sum_{\left\{ \underline{x}^{(k)}\in{}N/ x_1^{(k)}\leq{x_1},...,x_{n-1}^{(k)}\leq{x_{n-1}} \right\} }{P(X_1=x_1^{(k)})\cdot{}...\cdot{}P(X_{n-1}=x_{n-1}^{(k)})\times{\left\{\displaystyle\sum_{x_n^{(k)}\leq{x_n}}{P(X_n=x_n^{(k)})}\right\}}} \)


No entiendo por qué puede hacer eso en el sumatorio, agradecería que me lo explicaran. El resto de la demostración tampoco me deja dudas, es solo ese paso.

Un saludo.

Moderación: corregido \( \LaTeX \) para mejorar la visibilidad.

11
Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: Conjuntos acotados
« en: 06 Julio, 2021, 06:39 pm »
Okey, queda claro. Muchas gracias. Un saludo.

12
Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Conjuntos acotados
« en: 06 Julio, 2021, 06:14 pm »
Hola,

Tengo dudas con respecto a la definición de un conjunto acotado. Según he leído, para poder estudiar la acotación, se necesita un espacio normado. De tal forma que un conjunto está acotado si y solo si existe un conjunto del espacio normado que lo mayora.

Entonces, el siguiente conjunto \( K=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty=1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \), donde \( C^0([0,1]) \) denota el conjunto de las funciones continuas en \( [0,1] \) y \( \left\|{.}\right\|_\infty \) la norma del máximo.

¿Podría decir que K es un conjunto acotado porque esta mayorado por \( K'=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty >1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \)?

Un saludo.

13
Cálculo 1 variable / Duda demostración
« en: 06 Julio, 2021, 04:03 pm »
Hola,

En esta demostración del lema de Gronwall, https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nwall%27s_inequality , en la sección Integral forms for continous functions, en la prueba para el b), ¿Por qué al integrar resultar ser \( -\alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?¿No sería \( \alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?

Un saludo.

14
Cálculo 1 variable / Re: Limite por Taylor.
« en: 30 Junio, 2021, 05:49 pm »
Buenas,

No veo como rematar... :banghead:.

¿El resto no se fue ya que la división fue entre \( (x-a)^{1/2} \) no? Luego no se como seguir.


Todavía no, porque no has hecho el límite, es cierto que luego se te va por lo que dices a continuación,
Citar
Agrego: Ahora que lo pienso de nuevo... Si el resto tiende a 0 mas rápido que \( (x-a)^n \) particularmente lo hace también para un \( m<n \) ¿no?
Citar
Entiendo que quedamos aquí:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a)^{1/2} + R_1(x) + 1}{(x+a)^{1/2}}} \)


Sí., con el detallito que se me ha pasado antes de que en realidad es \( \displaystyle\frac{R_1(x)}{(x-a)^{1/2}} \)
Citar
Luego del agregado:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\left(\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a)^{1/2}+ 1\right)(x+a)^{-1/2}} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\left(\dfrac{(x-a)}{2a^{1/2}}^{1/2}+ \dfrac{1}{(x+a)^{1/2}}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{a}} \)

¿Es correcto el procedimiento?

Saludos,
Franco.

Sí, eso es.

Un saludo.

15
Cálculo 1 variable / Re: Limite por Taylor.
« en: 30 Junio, 2021, 05:13 pm »
Citar

¿La propiedad del resto no es: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\dfrac{R_n(x)}{(x-a)^n}}=0 \) ?



Sí, si cierto. Lo corrijo ahora, gracias.


16
Cálculo 1 variable / Re: Limite por Taylor.
« en: 30 Junio, 2021, 05:12 pm »
Buenas mg,

Creo que te sigo, a ver:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a} + \sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}} \)

Ahora utilizo el polinomio de Taylor de orden 1.

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\cancel{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a) + R_1(x) -\cancel{\sqrt{a}} + \sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a) + R_1(x) + \sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}} \)

Ahora notando la factorización que tu dices en el denominador:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a) + R_1(x) + (x-a)^{1/2}}{(x-a)^{1/2}(x+a)^{1/2}}} \)

Ahora cancelando el termino \( (x-a)^{1/2} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a)^{1/2} + R_1(x)}{(x+a)^{1/2}}} \)

Debo estar cometiendo algún error pero no lo veo...  :banghead:

Saludos,
Franco.

Se te olvida un +1 en el numerador.  ;D Ya casi está.

17
Cálculo 1 variable / Re: Limite por Taylor.
« en: 30 Junio, 2021, 04:43 pm »
Hola,

Con ese desarrollo de Taylor, de orden 1, te vale. Ahora bien, una vez has sustituido eso en la expresión observa que \( \sqrt[ ]{x^2-a^2}=(x+a)^{1/2}(x-a)^{1/2} \), además en el numerador tienes que \( \sqrt[ ]{x-a}=(x-a)^{1/2} \). Ahora si divides en el numerador y el denominador por \( (x-a)^{1/2} \) ves que queda resuelto, pues además el resto de Taylor de orden uno alrededor de a verifica que \( \displaystyle\lim_{x \to a }{}\displaystyle\frac{r(x)}{x-a}=0 \). Trata de escribirlo y verlo, y si no pues lo escribo yo por aquí.


Un saludo.

18
Criptografía / Re: ¿Es posible comunicarse con alienígenas?
« en: 27 Junio, 2021, 01:59 am »
-
Citar
De Sitter ... recibió un día a otro físico, también astrónomo como él, que quería que le revisara un trabajo; y cuando éste fue a recoger el trabajó y le preguntó que qué le había parecido, le contestó: no lo he leído, cuando veo un título en el que pone la palabra universal ya sé qué es una completa barbaridad”.

¡Qué traidorcillo! (Traidorcillo, del latín Cabroncetus, y éste del griego Kavronzeta) Entonces, esa "magnífica" atención que prestaba al prójimo y el efecto repulsivo que provocaba en el mismo, es el origen del popularísimo concepto "Anti De Sitter", ¿no? -¡mira!, otra duda que he aclarado- (perdón, Maldacena, es broma).
____________________


Mi observación elemental de "por ahí atrás", sobre el "desajuste" de las 3D respecto a la dimensión temporal estaba mal expresada y además no debe de tener casi ningún fundamento sólido; simplemente la dimensión temporal es "de otro estilo" que las espaciales; y también simplemente, sigamos prestando atención al hecho de que el espacio sea inconmensurable para el ser humano, mientras que el tiempo desde el Big Bang es increíblemente breve.

En realidad yo me quedaba con la cuestión siguiente: ¿Cuán significativo es que "estemos colocados" en un tiempo tan breve (desde el presumible comienzo)? ¿No refuerza eso las tesis helioCéntrica, geoCéntrica, ya que es probable que seamos "la raza original"? (aunque provengamos del exterior).

Es como si nos hubiesen extendido (expandido) una gran tienda de campaña (el Universo), y nos hubiesen colocado allí. El despliegue espacial ha sido ultraUltraUltraUltrarrápido, y el Universo acaba de nacer -temporalmente-, tanto a escala humana como, por supuesto, a escala real, ya que la aparente cantidad de eones que puede durar este Universo es "no concebible" por un cerebro humano (e incluso en las etapas más tardías -si no me equivoco- podría haber perfectamente seres vivos).
____________________


¡Toma lo quencontraú! Sssigo revolviendo libracos, estimado mg. https://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_extraterrestre
-

Gracias enrique, un buen fragmentito. Vamos, como el debate que hay aquí. Un saludo.

19
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matriz diagonalizable
« en: 27 Junio, 2021, 01:39 am »
Encontré mi error!!!  :banghead: :banghead: :banghead: Vamos de nuevo

Sea \( f:\mathbb{R}^3\longrightarrow{\mathbb{R}^3} \) la transformación lineal tal que \( M_{BE}=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{a}&{3}&{-2}\\{4}&{-1}&{0}\end{bmatrix} \) con \( B=\left\{{(1,0,-1); (0,0,1);(0,1,0)}\right\} \) ¿cual es el conjunto de los valores de \( a \in{\mathbb{R}} \) tal que \( f \) se diagonalizable?

Aclaración: \( E \) base canónica


Solución

La matriz \( A=M_{EE}=C_{BE}^{-1}M_{BE}(f) \) haciendo esta corrección tengo que \( C_{BE}=\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&0&1\\ -1&1&0\end{bmatrix} \) Que son los elementos de la base dada en columnas. Si calculo la inversa de esta matriz, cosa que no hice entonces tenemos: \( C_{BE}^{-1}=\begin{bmatrix}1 &0&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0\end{bmatrix} \)

Por su puesto todo cambia cuando planteo \( A=\begin{bmatrix}0&1&0\\4&0&0\\a&3&-2\end{bmatrix} \)

Busco los autovalores


\( P(\lambda)=-(\lambda -2) (\lambda +2)^2 \) por  lo que tenemos \( \lambda =2 \) raíz de multiplicidad algebraica 1   y \( \lambda =-2 \) raíz de multiplicidad algebraica 2

Busco los autovectores

AUTOVECTORES asociados a \( \lambda=2 \)

Resuelvo el sistema \( \begin{bmatrix}-2&1&0\\4&-2&0\\a&3&-4\end{bmatrix}\sim{}\begin{bmatrix}1&-1/2&0\\0&0&0\\0&3+\displaystyle\frac{a}{2}&-4\end{bmatrix}\sim{}\begin{bmatrix}1&-1/2&0\\0&\displaystyle\frac{6+a}{2}&-4\\0&0&0\end{bmatrix}\sim{}\begin{bmatrix}1&-1/2&0\\0&1&\displaystyle\frac{-8}{6+a}\\0&0&0\end{bmatrix} \)

\( \mathbb{S}_{\lambda 2}=\left<{\left(\displaystyle\frac{8}{12+2a};\displaystyle\frac{8}{6+a};1\right)}\right> \) esto es para todo \( a\neq -6 \) \( Dim(\mathbb{S}_{\lambda=2})=1 \)

Si \( a=-6 \) entonces \( S_{\lambda=2}=\left<{(1/2,1,0)}\right> \) y \( Dim(\mathbb{S})=1 \)

Entonces concluyo que \( \forall a \in \mathbb{R} Dim(\mathbb{S}_\lambda=2)=1 \)

AUTOVECTORES asociados a \( \lambda=-2 \) este subespacio asociado deberá tener dimensión 2 para que la suma de ambos de 3

Si \( \lambda=-2\Longrightarrow{\begin{bmatrix}2&1&0\\4&2&0\\a&3&0\end{bmatrix}}\sim{\begin{bmatrix}1&1/2&0\\0&0&0\\0&-\displaystyle\frac{a}{2}+3&0\end{bmatrix}}\sim{}\begin{bmatrix}1&1/2&0\\0&\displaystyle\frac{6-a}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix} \)

Pero veo que tengo dimensión 1 independientemente del valor de \( a \)  :banghead: :banghead: :banghead:

La respuesta de la profesora es que \( a=6 \)

Saludos
Esto si tiene más sentido, me extrañaba que el ejercicio resultara ser no diagonalizable para todo a. 

He de decir que me gusta mucho como presentas tus mensajes.

El ejercicio está perfecto. Solo te falta rematar. Te equivocas cuando dices que el sistema resultante del subespacio asociado al autovalor -2 tiene siempre dimensión 1. Fíjate que si a=6 entonces la segunda fila de la matriz también es nula, y por tanto al resolver el sistema te quedan dos vectores, concretamente \( (0,0,1),(1,-2,0) \)

Por tanto para a=6 la matriz es diagonalizable, porque la suma de las multiplicidades geométricas es 3.

Si \( a\neq6 \) entonces la multiplicidad algebraica del autovalor \( \lambda=-2 \) sería 1, y no se podría.
Un saludo.

20
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matriz diagonalizable
« en: 26 Junio, 2021, 08:49 pm »
Hola,

Pues si la matriz es real y simétrica hay un teorema que dice que es diagonalizable. Si no tienes esa suerte entonces debes mirar los autovalores de la matriz, y comprobar que la suma de las multiplicidades geométricas (el nº de vectores que forman la base del espacio impropio asociado a un autovalor) es la suma de la dimensión de la matriz. Es decir, que para terminar el ejercicio debes estudiar el espacio impropio asociado a \( \lambda=-2 \) y comprobar que la solución son tres vectores. Si no es así entonces no es diagonalizable.

Páginas: [1] 2 3 4 ... 15