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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: Conjuntos acotados
« en: 06 Julio, 2021, 06:39 pm »
Okey, queda claro. Muchas gracias. Un saludo.

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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Conjuntos acotados
« en: 06 Julio, 2021, 06:14 pm »
Hola,

Tengo dudas con respecto a la definición de un conjunto acotado. Según he leído, para poder estudiar la acotación, se necesita un espacio normado. De tal forma que un conjunto está acotado si y solo si existe un conjunto del espacio normado que lo mayora.

Entonces, el siguiente conjunto \( K=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty=1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \), donde \( C^0([0,1]) \) denota el conjunto de las funciones continuas en \( [0,1] \) y \( \left\|{.}\right\|_\infty \) la norma del máximo.

¿Podría decir que K es un conjunto acotado porque esta mayorado por \( K'=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty >1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \)?

Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Duda demostración
« en: 06 Julio, 2021, 04:03 pm »
Hola,

En esta demostración del lema de Gronwall, https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nwall%27s_inequality , en la sección Integral forms for continous functions, en la prueba para el b), ¿Por qué al integrar resultar ser \( -\alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?¿No sería \( \alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?

Un saludo.

4
Cálculo 1 variable / Re: Limite por Taylor.
« en: 30 Junio, 2021, 05:49 pm »
Buenas,

No veo como rematar... :banghead:.

¿El resto no se fue ya que la división fue entre \( (x-a)^{1/2} \) no? Luego no se como seguir.


Todavía no, porque no has hecho el límite, es cierto que luego se te va por lo que dices a continuación,
Citar
Agrego: Ahora que lo pienso de nuevo... Si el resto tiende a 0 mas rápido que \( (x-a)^n \) particularmente lo hace también para un \( m<n \) ¿no?
Citar
Entiendo que quedamos aquí:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a)^{1/2} + R_1(x) + 1}{(x+a)^{1/2}}} \)


Sí., con el detallito que se me ha pasado antes de que en realidad es \( \displaystyle\frac{R_1(x)}{(x-a)^{1/2}} \)
Citar
Luego del agregado:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\left(\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a)^{1/2}+ 1\right)(x+a)^{-1/2}} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\left(\dfrac{(x-a)}{2a^{1/2}}^{1/2}+ \dfrac{1}{(x+a)^{1/2}}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{a}} \)

¿Es correcto el procedimiento?

Saludos,
Franco.

Sí, eso es.

Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Re: Limite por Taylor.
« en: 30 Junio, 2021, 05:13 pm »
Citar

¿La propiedad del resto no es: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\dfrac{R_n(x)}{(x-a)^n}}=0 \) ?



Sí, si cierto. Lo corrijo ahora, gracias.


6
Cálculo 1 variable / Re: Limite por Taylor.
« en: 30 Junio, 2021, 05:12 pm »
Buenas mg,

Creo que te sigo, a ver:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a} + \sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}} \)

Ahora utilizo el polinomio de Taylor de orden 1.

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\cancel{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a) + R_1(x) -\cancel{\sqrt{a}} + \sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a) + R_1(x) + \sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}} \)

Ahora notando la factorización que tu dices en el denominador:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a) + R_1(x) + (x-a)^{1/2}}{(x-a)^{1/2}(x+a)^{1/2}}} \)

Ahora cancelando el termino \( (x-a)^{1/2} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{\dfrac{\dfrac{1}{2}a^{-1/2}(x-a)^{1/2} + R_1(x)}{(x+a)^{1/2}}} \)

Debo estar cometiendo algún error pero no lo veo...  :banghead:

Saludos,
Franco.

Se te olvida un +1 en el numerador.  ;D Ya casi está.

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Cálculo 1 variable / Re: Limite por Taylor.
« en: 30 Junio, 2021, 04:43 pm »
Hola,

Con ese desarrollo de Taylor, de orden 1, te vale. Ahora bien, una vez has sustituido eso en la expresión observa que \( \sqrt[ ]{x^2-a^2}=(x+a)^{1/2}(x-a)^{1/2} \), además en el numerador tienes que \( \sqrt[ ]{x-a}=(x-a)^{1/2} \). Ahora si divides en el numerador y el denominador por \( (x-a)^{1/2} \) ves que queda resuelto, pues además el resto de Taylor de orden uno alrededor de a verifica que \( \displaystyle\lim_{x \to a }{}\displaystyle\frac{r(x)}{x-a}=0 \). Trata de escribirlo y verlo, y si no pues lo escribo yo por aquí.


Un saludo.

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Criptografía / Re: ¿Es posible comunicarse con alienígenas?
« en: 27 Junio, 2021, 01:59 am »
-
Citar
De Sitter ... recibió un día a otro físico, también astrónomo como él, que quería que le revisara un trabajo; y cuando éste fue a recoger el trabajó y le preguntó que qué le había parecido, le contestó: no lo he leído, cuando veo un título en el que pone la palabra universal ya sé qué es una completa barbaridad”.

¡Qué traidorcillo! (Traidorcillo, del latín Cabroncetus, y éste del griego Kavronzeta) Entonces, esa "magnífica" atención que prestaba al prójimo y el efecto repulsivo que provocaba en el mismo, es el origen del popularísimo concepto "Anti De Sitter", ¿no? -¡mira!, otra duda que he aclarado- (perdón, Maldacena, es broma).
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Mi observación elemental de "por ahí atrás", sobre el "desajuste" de las 3D respecto a la dimensión temporal estaba mal expresada y además no debe de tener casi ningún fundamento sólido; simplemente la dimensión temporal es "de otro estilo" que las espaciales; y también simplemente, sigamos prestando atención al hecho de que el espacio sea inconmensurable para el ser humano, mientras que el tiempo desde el Big Bang es increíblemente breve.

En realidad yo me quedaba con la cuestión siguiente: ¿Cuán significativo es que "estemos colocados" en un tiempo tan breve (desde el presumible comienzo)? ¿No refuerza eso las tesis helioCéntrica, geoCéntrica, ya que es probable que seamos "la raza original"? (aunque provengamos del exterior).

Es como si nos hubiesen extendido (expandido) una gran tienda de campaña (el Universo), y nos hubiesen colocado allí. El despliegue espacial ha sido ultraUltraUltraUltrarrápido, y el Universo acaba de nacer -temporalmente-, tanto a escala humana como, por supuesto, a escala real, ya que la aparente cantidad de eones que puede durar este Universo es "no concebible" por un cerebro humano (e incluso en las etapas más tardías -si no me equivoco- podría haber perfectamente seres vivos).
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¡Toma lo quencontraú! Sssigo revolviendo libracos, estimado mg. https://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_extraterrestre
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Gracias enrique, un buen fragmentito. Vamos, como el debate que hay aquí. Un saludo.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matriz diagonalizable
« en: 27 Junio, 2021, 01:39 am »
Encontré mi error!!!  :banghead: :banghead: :banghead: Vamos de nuevo

Sea \( f:\mathbb{R}^3\longrightarrow{\mathbb{R}^3} \) la transformación lineal tal que \( M_{BE}=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{a}&{3}&{-2}\\{4}&{-1}&{0}\end{bmatrix} \) con \( B=\left\{{(1,0,-1); (0,0,1);(0,1,0)}\right\} \) ¿cual es el conjunto de los valores de \( a \in{\mathbb{R}} \) tal que \( f \) se diagonalizable?

Aclaración: \( E \) base canónica


Solución

La matriz \( A=M_{EE}=C_{BE}^{-1}M_{BE}(f) \) haciendo esta corrección tengo que \( C_{BE}=\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&0&1\\ -1&1&0\end{bmatrix} \) Que son los elementos de la base dada en columnas. Si calculo la inversa de esta matriz, cosa que no hice entonces tenemos: \( C_{BE}^{-1}=\begin{bmatrix}1 &0&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0\end{bmatrix} \)

Por su puesto todo cambia cuando planteo \( A=\begin{bmatrix}0&1&0\\4&0&0\\a&3&-2\end{bmatrix} \)

Busco los autovalores


\( P(\lambda)=-(\lambda -2) (\lambda +2)^2 \) por  lo que tenemos \( \lambda =2 \) raíz de multiplicidad algebraica 1   y \( \lambda =-2 \) raíz de multiplicidad algebraica 2

Busco los autovectores

AUTOVECTORES asociados a \( \lambda=2 \)

Resuelvo el sistema \( \begin{bmatrix}-2&1&0\\4&-2&0\\a&3&-4\end{bmatrix}\sim{}\begin{bmatrix}1&-1/2&0\\0&0&0\\0&3+\displaystyle\frac{a}{2}&-4\end{bmatrix}\sim{}\begin{bmatrix}1&-1/2&0\\0&\displaystyle\frac{6+a}{2}&-4\\0&0&0\end{bmatrix}\sim{}\begin{bmatrix}1&-1/2&0\\0&1&\displaystyle\frac{-8}{6+a}\\0&0&0\end{bmatrix} \)

\( \mathbb{S}_{\lambda 2}=\left<{\left(\displaystyle\frac{8}{12+2a};\displaystyle\frac{8}{6+a};1\right)}\right> \) esto es para todo \( a\neq -6 \) \( Dim(\mathbb{S}_{\lambda=2})=1 \)

Si \( a=-6 \) entonces \( S_{\lambda=2}=\left<{(1/2,1,0)}\right> \) y \( Dim(\mathbb{S})=1 \)

Entonces concluyo que \( \forall a \in \mathbb{R} Dim(\mathbb{S}_\lambda=2)=1 \)

AUTOVECTORES asociados a \( \lambda=-2 \) este subespacio asociado deberá tener dimensión 2 para que la suma de ambos de 3

Si \( \lambda=-2\Longrightarrow{\begin{bmatrix}2&1&0\\4&2&0\\a&3&0\end{bmatrix}}\sim{\begin{bmatrix}1&1/2&0\\0&0&0\\0&-\displaystyle\frac{a}{2}+3&0\end{bmatrix}}\sim{}\begin{bmatrix}1&1/2&0\\0&\displaystyle\frac{6-a}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix} \)

Pero veo que tengo dimensión 1 independientemente del valor de \( a \)  :banghead: :banghead: :banghead:

La respuesta de la profesora es que \( a=6 \)

Saludos
Esto si tiene más sentido, me extrañaba que el ejercicio resultara ser no diagonalizable para todo a. 

He de decir que me gusta mucho como presentas tus mensajes.

El ejercicio está perfecto. Solo te falta rematar. Te equivocas cuando dices que el sistema resultante del subespacio asociado al autovalor -2 tiene siempre dimensión 1. Fíjate que si a=6 entonces la segunda fila de la matriz también es nula, y por tanto al resolver el sistema te quedan dos vectores, concretamente \( (0,0,1),(1,-2,0) \)

Por tanto para a=6 la matriz es diagonalizable, porque la suma de las multiplicidades geométricas es 3.

Si \( a\neq6 \) entonces la multiplicidad algebraica del autovalor \( \lambda=-2 \) sería 1, y no se podría.
Un saludo.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matriz diagonalizable
« en: 26 Junio, 2021, 08:49 pm »
Hola,

Pues si la matriz es real y simétrica hay un teorema que dice que es diagonalizable. Si no tienes esa suerte entonces debes mirar los autovalores de la matriz, y comprobar que la suma de las multiplicidades geométricas (el nº de vectores que forman la base del espacio impropio asociado a un autovalor) es la suma de la dimensión de la matriz. Es decir, que para terminar el ejercicio debes estudiar el espacio impropio asociado a \( \lambda=-2 \) y comprobar que la solución son tres vectores. Si no es así entonces no es diagonalizable.

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Cálculo 1 variable / Re: Sumatorio "imposible"
« en: 26 Junio, 2021, 03:46 pm »
Muchas gracias a ambos, todo entendido.

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Cálculo 1 variable / Sumatorio "imposible"
« en: 26 Junio, 2021, 02:11 pm »
Hola,

Tengo el siguiente problema al querer calcular la esperanza de una variable aleatoria discreta X, que toma valores en los naturales con el 0, con \( P(X=x)=\displaystyle\frac{1}{2}p^xq(1+(x+1)q) \).

Por tanto \( E(X)=\displaystyle\sum_{x=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{2}xp^xq(1+(x+1)q) \). Por cierto \( p+q=1 \).

Y básicamente no sé cómo sumar eso, debe salir \( \displaystyle\frac{3p}{2q} \). He intendado dividir la suma en 2, pero \( \displaystyle\sum_{x=0}^{+\infty}xp^x \) no se como resolverlo tampoco. Aunque tal vez si podría hacerse esa suma, porque si llamo\( a_n=n \) y \( b_n=p^n \), entonces el sumatorio de antes lo podriamos poner como \( \displaystyle\sum_{x=0}^{+\infty}xp^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nb_n \) y no se muy bien como hacerlo pero creo que podría salir.


Un saludo.

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Probabilidad / Duda con integración
« en: 24 Junio, 2021, 08:03 pm »
Hola,

Dada la función de densidad conjunta \( f_{XY}(x,y)=3(x+y) \) en el conjunto \( \left\{{(x,y)\in{}\mathbb{R}^2/x,y\geq{}0, x+y\leq{}1}\right\} \), se pide calcular la función de distribución conjunta.

Tengo todas las integrales bien calculadas excepto por la región \( D=\left\{{(x,y)\in{}\mathbb{R}^2/x,y\leq{}1, x+y\geq{}1}\right\} \), que no entiendo porque no me da el resultado que debe ser. Para hacer el problema les recomiendo dibujar el recinto a integrar.

La integral que yo hago es \( \displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\int_{0}^{1-x}f(s,t)dtds+\displaystyle\int_{1-x}^{y}\displaystyle\int_{0}^{1-t}f(s,t)dsdt \), donde \( (x,y)\in{}D \) es un punto fijado de antemano.

El resultado debería ser \( \displaystyle\frac{3}{2}(x+y)-\displaystyle\frac{1}{2}(x^3-y^3)-1 \), que no da con la integral que yo planteo.

Un saludo.

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Criptografía / Re: ¿Es posible comunicarse con alienígenas?
« en: 21 Junio, 2021, 08:32 pm »
Algo me sonaba
Sistemas numéricos y extraterrestres.

Gracias por el link.

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8) Si la Física es la misma (cosa que no para de repetirse insistentemente por ahí, y además de manera exxxpresa), entonces no debería haber problemas de comunicación. ¿Que pensáis sobre este punto? ¿No parece claro?

9) ¿Es que no podemos dejar a una IA libre para que se desarrolle como "lapetezca", de lo cual surgirán distintas formas de evolución o comprensión de las que, de hecho, exxxtraeremos sus factores comunes?
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4) No, "yendo a algo más sencillo" no avanzamos porque ese ejemplo que pones está asumido por el ser humano (en lo que sería su investigación de "sistemas distintos de organización y comunicación"). Yo seguiría con eso de las dimensiones extra y las posibles nociones o entes distintos.
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10) Pero esto está en la sección de Criptografía: ¿hasta qué punto deseas que el tratamiento de este hilo responda a esa faceta?

11) Veo dos enfoques. Si ell@s hacen criptografía entonces es altísimamente IMPOSIBLE (aunque, de todas formas, esto no deja de ser relativo) que comprendamos sus mensajes. Y si ellos no hacen criptografía, entonces podemos continuar con el hilo.

12) ¿Cómo podríamos relacionar "un mensaje criptográfico" (desarrollado con intenciones criptográficas) con "un mensaje de una civilización alienígena cualquiera"?  Es decir ¿un mensaje de una civilización alienígena cualquiera, aleatoriamente elegida, y por lo tanto muy diferente a la nuestra, PUEDE SER considerado como un mensaje de características criptográficas cuando es observado por nuestros ojos?
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Mi curiosidad viene motivada por saber si la humanidad podría llegar a entender esos mensajes. Y ya puestos a como se hace tal cosa, es decir, el proceso de desencriptarlo. En mi opinión, a espera de aprender un poco sobre criptografía, creo que podría ser muy complicado, ya sea por la simbología o en el lenguaje alienígena en sí. No me imagino que incluso queriendonos entender por ambas partes se consiguiera. O al menos tardariamos bastantes años.

Un saludos

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Criptografía / Re: ¿Es posible comunicarse con alienígenas?
« en: 21 Junio, 2021, 07:26 pm »
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1) Interesante. ¿No sería bueno comenzar por "intentar" imaginar "cómo ell@s NO podrían entender" nuestro mensaje del Voyager?

2) Además yo primero pensaría en la posibilidad de que tu amigo sea alienígena (opción muy propuesta y estudiada en la literatura pschéCientífica), porque eso hace rePlantear todo el problema.

3) Hablando de mensajes, el de sugata es realmente enigmático. Si te paras a pensar y meditar sobre ese texto dán escalofrescos. ¿Somos conscientes de la profundidad física de este foro?

4) ¿Puedes sugerir, hacernos vislumbrar, tú o alguien, un concepto que no pueda ser comprendido por el ser humano?

5) Como dice Abdulai, si una transmisión determinada va-llena de código, podemos tener esperanzas ... ó tal vez no.

6) ¿Hasta qué punto hay que "tener disposición" para comprender un mensaje complejo? Es decir, sé positivamente que el cerebro es capaz de cegarnos, de manera absoluta, aunque cierta realidad esté delante de nuestras narices. ¿Ese aspecto también contribuiría a dificultarnos o imposibilitarnos una lectura comprensiva de un mensaje alienígena?

7) ¿El foro tiene alguna partida libre de presupuesto para contratar a Jodie Foster?
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Hola,

1) Eso es cierto estarían en la misma tesitura. Aunque lo mismo, si fuera una especie excepionalmetne inteligente podría ser que descifraran nuestra lengua en muy poco tiempo. Eso solucionaría todo. Pero mi enfoque es más bien, si nosotros por nuestra cuenta podríamos descifrarlo.

4) imaginate que estos seres existieran en mas dimensiones que las humanas. Los humanos nos movemos en las tres dimensiones del espacio y en el tiempo, imagina que pudieran percibir o vivir también en otra distinta adicional a las otras. Entonces habría nociones que no comprenderiamos. Pero yendo a algo más sencillo, si los aliens tienen una cultura totalmente distinta a la nuestra sería muy complicado entenderlo, pues imaginate que no se saludan o no tienen nombres, que son cosa comunes en la humanidad, y normalmente, un buen punto de partida para empezar a traducir o aprender otro idioma.

6) se requería desde luego de una mente totalmente abierta, por lo dicho en el punto 4)


Si fuese un número grande de mensajes de alienígenas orientados a que nos entendamos, seguramente si.

Pero si se trata de mensajes aislados... Va a ser peor que descifrar el canto de las ballenas.

Claro podría ser extremedamente complicado.

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Criptografía / ¿Es posible comunicarse con alienígenas?
« en: 21 Junio, 2021, 12:30 pm »
Hola,

El otro día hablando con un amigo nos surgió una duda. El caso es que, desencriptar códigos humanos es posible, pues tenemos la misma noción de la realidad y compartimos conceptos, de modo que sería posible encontrar esas relaciones. Ahora bien, si encontramos un código o un mensaje alienígena, ¿Sería posible descifrarlo? Al fin y al cabo no tendríamos porque tener nada en común en realidad, de modo que su lenguaje podría no sé, representar cosas muy distintas o de las que nosotros no tenemos noción.

¿Que opinan?

Un saludo.

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Matemáticas Generales / Re: Paridad de esta función
« en: 11 Junio, 2021, 12:54 pm »
Para que una función sea par o impar, debe serlo en todo su dominio. Eso no quita que puedan existir subintervalos en los que la función sea par o impar.

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Matemáticas Generales / Re: Paridad de esta función
« en: 11 Junio, 2021, 12:36 pm »
Tiene razón Luis, no tiene sentido estudiar la paridad en esos valores, porque \( I=[-2\pi,0] \) no está en el dominio de la función. Ahora bien si suponemos que el intervalo \( I \) está en el dominio, entonces lo que te he dicho es válido.

Hola,

Por definición una función es par si \( f(x)=f(-x),\forall{}x \). En nuestro caso si \( x\in{}[0, \pi] \) entonces \( f(x)=2senx \) esta función no es par. Porque, por ejemplo, \( f(\pi/2)=1\neq -1=f(\pi/2) \). Comprueba que en \( [\pi,2\pi] \) la función si es par.

Por otro lado, una función es impar si \( f(-x)=-f(x),\forall{}x \). Puedes comprobar de nuevo que la función es impar en \( [\pi,2\pi] \). Si \( x\in[0, \pi] \) entonces \( f(-x)=2sen(-x)=-2senx=-f(x) \), luego f es impar.

entonces tenemos que 0 cumple con con par i impar. 2sen(x) solo cumple con la imparidad. entonces la funcion en general es par i impar?

Suponiendo que \( I \) también forma parte del dominio, la función f es par e impar en \( [-2\pi,-\pi]\cup{}[\pi,2\pi] \), y además es impar en \( [-\pi,0]\cup{}[0, \pi] \).

La función en general definida en \( [-2\pi,2\pi] \) es impar, pero no es par.

De la función en general definida en \( [0,2\pi] \) no se puede decir nada sobre su paridad. Al no contradecir la definición, ni lo es, ni deja de serlo.

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Matemáticas Generales / Re: paridad de esta funcion
« en: 11 Junio, 2021, 12:19 pm »
Hola,

Por definición una función es par si \( f(x)=f(-x),\forall{}x \). En nuestro caso si \( x\in{}[0, \pi] \) entonces \( f(x)=2senx \) esta función no es par. Porque, por ejemplo, \( f(\pi/2)=1\neq -1=f(\pi/2) \). Comprueba que en \( [\pi,2\pi] \) la función si es par.

Por otro lado, una función es impar si \( f(-x)=-f(x),\forall{}x \). Puedes comprobar de nuevo que la función es impar en \( [\pi,2\pi] \). Si \( x\in[0, \pi] \) entonces \( f(-x)=2sen(-x)=-2senx=-f(x) \), luego f es impar.

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Probabilidad / Re: Probar que es un espacio de probabilidad
« en: 04 Junio, 2021, 02:30 pm »
Respecto al 1) estaría listo si pudiera decir que \( \underline{X}^{-1}(\emptyset)=\emptyset \), pero no tiene por qué ¿no?

Se define \( f^{-1}(A):=\{x\in \operatorname{dom}(f): f(x)\in A\} \), por tanto \( f^{-1}(\emptyset )=\emptyset  \) para cualquier función.

Perfecto. Muchas gracias.

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