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1
Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Conjuntos acotados
« en: 06 Julio, 2021, 06:14 pm »
Hola,

Tengo dudas con respecto a la definición de un conjunto acotado. Según he leído, para poder estudiar la acotación, se necesita un espacio normado. De tal forma que un conjunto está acotado si y solo si existe un conjunto del espacio normado que lo mayora.

Entonces, el siguiente conjunto \( K=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty=1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \), donde \( C^0([0,1]) \) denota el conjunto de las funciones continuas en \( [0,1] \) y \( \left\|{.}\right\|_\infty \) la norma del máximo.

¿Podría decir que K es un conjunto acotado porque esta mayorado por \( K'=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty >1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \)?

Un saludo.

2
Cálculo 1 variable / Duda demostración
« en: 06 Julio, 2021, 04:03 pm »
Hola,

En esta demostración del lema de Gronwall, https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nwall%27s_inequality , en la sección Integral forms for continous functions, en la prueba para el b), ¿Por qué al integrar resultar ser \( -\alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?¿No sería \( \alpha(t)exp(\displaystyle\int_{s}^{t}\beta(r)dr) \)?

Un saludo.

3
Cálculo 1 variable / Sumatorio "imposible"
« en: 26 Junio, 2021, 02:11 pm »
Hola,

Tengo el siguiente problema al querer calcular la esperanza de una variable aleatoria discreta X, que toma valores en los naturales con el 0, con \( P(X=x)=\displaystyle\frac{1}{2}p^xq(1+(x+1)q) \).

Por tanto \( E(X)=\displaystyle\sum_{x=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{2}xp^xq(1+(x+1)q) \). Por cierto \( p+q=1 \).

Y básicamente no sé cómo sumar eso, debe salir \( \displaystyle\frac{3p}{2q} \). He intendado dividir la suma en 2, pero \( \displaystyle\sum_{x=0}^{+\infty}xp^x \) no se como resolverlo tampoco. Aunque tal vez si podría hacerse esa suma, porque si llamo\( a_n=n \) y \( b_n=p^n \), entonces el sumatorio de antes lo podriamos poner como \( \displaystyle\sum_{x=0}^{+\infty}xp^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nb_n \) y no se muy bien como hacerlo pero creo que podría salir.


Un saludo.

4
Probabilidad / Duda con integración
« en: 24 Junio, 2021, 08:03 pm »
Hola,

Dada la función de densidad conjunta \( f_{XY}(x,y)=3(x+y) \) en el conjunto \( \left\{{(x,y)\in{}\mathbb{R}^2/x,y\geq{}0, x+y\leq{}1}\right\} \), se pide calcular la función de distribución conjunta.

Tengo todas las integrales bien calculadas excepto por la región \( D=\left\{{(x,y)\in{}\mathbb{R}^2/x,y\leq{}1, x+y\geq{}1}\right\} \), que no entiendo porque no me da el resultado que debe ser. Para hacer el problema les recomiendo dibujar el recinto a integrar.

La integral que yo hago es \( \displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\int_{0}^{1-x}f(s,t)dtds+\displaystyle\int_{1-x}^{y}\displaystyle\int_{0}^{1-t}f(s,t)dsdt \), donde \( (x,y)\in{}D \) es un punto fijado de antemano.

El resultado debería ser \( \displaystyle\frac{3}{2}(x+y)-\displaystyle\frac{1}{2}(x^3-y^3)-1 \), que no da con la integral que yo planteo.

Un saludo.

5
Criptografía / ¿Es posible comunicarse con alienígenas?
« en: 21 Junio, 2021, 12:30 pm »
Hola,

El otro día hablando con un amigo nos surgió una duda. El caso es que, desencriptar códigos humanos es posible, pues tenemos la misma noción de la realidad y compartimos conceptos, de modo que sería posible encontrar esas relaciones. Ahora bien, si encontramos un código o un mensaje alienígena, ¿Sería posible descifrarlo? Al fin y al cabo no tendríamos porque tener nada en común en realidad, de modo que su lenguaje podría no sé, representar cosas muy distintas o de las que nosotros no tenemos noción.

¿Que opinan?

Un saludo.

6
Probabilidad / Probar que es un espacio de probabilidad
« en: 04 Junio, 2021, 01:54 pm »
Hola,

Partiendo de que, \( \underline{X}:(\omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\longrightarrow{}(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \) es un vector aleatorio (y \( (\omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \) un espacio de probabilidad) n-dimensional. Definimos la función de conjuntos \( \mathbb{P}_{\underline{X}}:(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))\longrightarrow{}[0,1] \)
como:

\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(B)=\mathbb{P}(\underline{X}^{-1}(B)),\forall{}B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \)


Quiero probar que la terna \( (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}_{\underline{X}}) \) es un espacio de probabilidad.

Es claro que \( (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \) es un espacio de medida pues \( \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) es una sigma-álgebra sobre \( \mathbb{R}^n \).

Faltaría por tanto probar que \( \mathbb{P}_{\underline{X}} \) es una medida de probabilidad. Por definición \( 0\leq{}\mathbb{P}_{\underline{X}}\leq{}1 \), por tanto verifica la primera propiedad. Queda probar que:
1)\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(\emptyset)=0 \)
2)Si \( A_1,A_2,...,A_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) son conjuntos disjuntos entonces
\( \mathbb{P}_{\underline{X}}(A_1\cup{}...\cup{}A_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\mathbb{P}_{\underline{X}}(A_i)} \)

Y me temo que no encuentro la forma probar ni 1) ni 2).

Un saludo.

7
Probabilidad / Caracterización vector aleatorio
« en: 03 Junio, 2021, 02:08 pm »
Hola,

El teorema es el siguiente.

Sea \( \mathcal{C} \) una familia de subconjutnos de \( \mathbb{R}^n \)  tal que \( B(\mathbb{R}^n)=\sigma(\mathcal{C}) \). Entonces \( \underline{X}:(\omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\longrightarrow{}(\mathbb{R},B(\mathbb{R}^n)) \) un vector aleatorio si y solo si

\( \forall{}C\in\mathcal{C}, \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F} \).

Demostración:

Primera parte: Supongamos  que \( \underline{X} \) es vector aleatorio. Entonces tenemos que \( \underline{X}^{-1}(B)\in\mathcal{F}, \forall{}B\in{}B(\mathbb{R}^n) \). Ahora bien, por la caracterización de las sigmas álgebras borel en \( \mathbb{R}^n \) entonces \( \underline{X}^{-1}((-\infty,x_1]\times{}(-\infty,x_2]\times{}...\times{}(-\infty,x_n])\in\mathcal{F}, \forall{}\underline{x}\in{}\mathbb{R}^n \), donde \( \underline{x}=(x_1,x_2,...,x_n)) \).

Hasta aquí debe estar bien, he seguido los pasos que ha marcado el profesor. Pero ahora concluye que eso implica que \( \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F}, \forall{}C\in{}\mathcal{C} \), lo cual no se de donde se sigue.

Segunda parte:
Aquí dice que \( \underline{X}^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))=\sigma(\underline{X}^{-1}(\mathcal{C})) \), y no se como hace eso. Indica que es por las propiedades de la función inversa, pero no encuentro nada parecido.

Un saludo.

8
Cálculo 1 variable / Integral exp(x^2)
« en: 01 Junio, 2021, 12:06 am »
Hola,

Quiero ver como calcular la siguiente integral definida. Sea \( [a,b] \).

La integral es \( \displaystyle\int_{a}^{b}e^{x^2}dx \).

Por lo que he visto, se puede hacer usando que la exponencial es una función analítica de modo que, a menos que ustedes me corrijan, la integral sería:

 \( \displaystyle\int_{a}^{b}e^{x^2}dx=x+\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{x^5}{10}+....|_{a}^b=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}|_{a}^b=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(b-a)^{2n+1}}{n!(2n+1)}} \)


En mi ejercicio el intervalo de integración es [0,4], por tanto tendría que:

\( \displaystyle\int_{0}^{4}e^{x^2}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(4)^{2n+1}}{n!(2n+1)}} \)

He visto que por el criterio del cociente, el límite da 0, por tanto la serie es convergente. ¿Se puede hallar la suma exacta de esa serie?

Un saludo.

9
Temas de Física / Simetría en una esfera
« en: 18 Mayo, 2021, 08:18 pm »
Hola,

Me gustaría estudiar la simetría de una esfera analíticamente, para hallar su campo gravitatorio en el interior de la esfera fácilmente.  Gráficamente, trabajando en esféricas se ve que la función \( \overrightarrow{g} \) del campo gravitatorio no depende de \( \phi \) ni de \( \theta \).

Agradecería que me ayudaran a verlo. Digamos que \( \overrightarrow{g(\overrightarrow{r})}=g_r+g_\phi+g_\theta \).

Tratemos de ver la invarianza de \( \theta \).
 
Fijamos \( r,\phi \) y tomemos \( \theta_1,\theta_2 \). Quiero ver que se verifica que \( g(r,\phi,\theta_1)=g(r,\phi,\theta_2) \).


Y bueno no se como seguir, puesto que este cálculo, de las invarianzas me interesa hacerlo antes de calcular el campo, para simplificar cálculos.

Un saludo.


10
Cálculo de Varias Variables / Integral en una región
« en: 14 Mayo, 2021, 07:35 pm »
Hola,

Debo hallar la integral de una función en la región \( E=\left\{{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/2(x^2+y^2)\leq{}z^2\leq{}x^2+y^2+1,z\geq{}0}\right\} \). Estoy tratando de hallar los limites de la integral de cada variable. Al dibujar la región queda claro que debe ser \( z\geq{}1 \), pero luego no consigo despejar x,y de forma que luego pueda operar la integral. Me quedo en que \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2y^2-z^2}{2}}\leq{}x\leq{}\sqrt[ ]{y^2+1-z^2} \) y que \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2x^2-z^2}{2}}\leq{}y\leq{}\sqrt[ ]{x^2+1-z^2} \).

Un saludo.

11
Ecuaciones diferenciales / Lipchitzianidad de una función
« en: 13 Mayo, 2021, 02:26 am »
Hola,

Acabo de empezar a estudiar los SDO con las matrices.  Y en una demostración aparece lo siguiente:

"Sea \( A:I\longrightarrow{L(\mathbb{R}^N}) \) y \( b:I\longrightarrow{}\mathbb{R}^N \) dos funciones continuas y \( (t_0,y_0)\in I\times{}\mathbb{R}^N \).

Supongamos que, \( f(t,y)=A(t)y+b(t),\;\;\;\forall{I\times{}\mathbb{R}^N} \).

\( f:I\times{}\mathbb{R}^N\longrightarrow{}\mathbb{R}^N \) es continua y localmente lipchitziana respecto de la variable y."

Me gustaría ver rigurosamente que es localmente lipchitziana, pasando por alto que es globlamente lipchitziana en I.

Entonces, para ello tomo un \( I'\times{}\omega=K\subseteq{}I\times{}\mathbb{R}^N \) compacto. Sean \( (t,y_1),(t,y_2)\in{}I\times{}\mathbb{R}^N \) entonces:

\( \left |{f(t,y_1)-f(t,y_2)}\right |=\left |{A(t)(y_1-y_2)}\right |\leq{}\left\|{A(t)}\right\|_s\left |{y_1-y_2}\right | \) donde la norma es la norma espectral y está tomada en el compacto K, es decir con \( t\in{}I' \).

Entonces tomando \( L_k=\left\|{A(t)}\right\|_s\geq{}0 \), probamos que f es localmente lipchitziana.

¿Añadirían algo?

12
Ecuaciones diferenciales / Duda en demostración
« en: 07 Mayo, 2021, 09:19 pm »
Hola,

Tengo una duda en la siguiente demostración.

Enunciado: (Lema de Gronwall)
Supongamos que:

\( u(t)\leq{}M+\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \),

donde \( M\in{\mathbb{R}} \), \( a\geq{}0 \), \( a,u\in{}C^0([t_0,t_1]) \). Entonces
\( u(t)\leq{}Mexp(\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds \).

Demostración:
Pongamos \( v(t)=\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \), \( \forall{t}\in{}[t_0,t_1] \),
Entonces \( v\in{C^1([t_0,t_1])} \) y, por hipótesis, \( u\leq{}M+v \), de donde \(  v'=au\leq{}aM+av \), esto es:

\( v'(t)-a(t)v(t)\leq{}a(t)M \)

Multiplicando la desigualdad por \( exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \), obtenemos:
 \( \displaystyle\frac{d}{dt}v(t)exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)=(v'(t)-a(t)v(t))exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)\leq{}a(t)Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \).

Integrando con respecto a t, y teniendo en cuenta que \( v(t_0)=0  \) tenemos que:

\( v(t)\leq{}M\displaystyle\int_{t_0}^{t}(a(s)exp(-\displaystyle\int_{s}^{t}a(z)dz)ds)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz)-M \),  (*)

de donde,

\( u(t)\leq{}M+v(t)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz) \)

Esa es la demostración.

Cómo pasa a (*) es mi duda.

13
Cálculo 1 variable / Un ejercicio extraño
« en: 15 Abril, 2021, 11:32 pm »
Hola,

El ejercicio es el siguiente:

"Dada la serie \( \left\{{x_t}\right\}_{-10}^{10} \) donde \( x_t=20\displaystyle\frac{sen(t)}{t} \), obtener los números enteros de las siguientes aproximaciones:

a) tendiendo a 0
b) tendiendo a \( -\infty \)
c) tendiendo a \( +\infty \)
d) tendiendo al entero más cercano"

No entiendo el enunciado, pues según entiendo, la serie dada, es finita, y por tanto ya está determinada. Digamos que la serie que se da es un número.

Por tanto no entiendo lo de las aproximaciones. Deduzco, que si esto tuviera sentido, evidentemente sería hacer tender la variable t. En fin, ¿qué opinan? ¿Está mal planteado? ¿o que estoy entendiendo mal?


Un saludo.

14
Teoría de la Medida - Fractales / Ejercicios teoría de la medida
« en: 15 Abril, 2021, 07:42 pm »
Hola,

Estoy haciendo unos ejercicios básicos de teoría de la medida y tengo unas preguntas.

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida

1) Si \( E,F\in{}M \) tal que \( E\subseteq{}F \) entonces \( \mu(E)\leq{}\mu(F) \).

Para este voy a suponer directamente que \( E\subset{}F \), pues si son iguales es trivial. Para ello escribo \( F=E\cup{}C \) donde \( C \) es tal que \( F\setminus E=C \). Ahora bien como F es unión de conjuntos disjuntos tenemos que \( \mu(F)=\mu(E)+\mu(C) \) y esto lo prueba pues la medida es por definición positiva.

¿Debería comprobar que C es medible?

2) Si  \( E,F\in{}M \), entonces \( \mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)-\mu(E\cap F) \).

Aquí la idea es la misma. \( E\cup F=E\setminus E\cap F+F\setminus E\cap F+E\cap F \), se que la unión \( E\cup F  \) es medible pues E y F lo son, pero ¿y la intersección lo es? Si lo fuera ya estaría resuelto el ejercicio.

Un saludo.

15
Matemáticas Generales / ¿El vacío es disjunto consigo mismo?
« en: 15 Abril, 2021, 05:01 pm »
Se me viene a la cabeza esta pregunta porque trato de demostrar lo siguiente. Si \( E_1, ...,E_n \) son conjuntos medibles en un espacio de medida entonces \( \mu(\displaystyle\bigcup_j^{n}E_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\mu(E_j)} \). En mi definición de medida dice que dada una sucesión infinita numerable de conjuntos medibles disjuntos entonces la medida de su unión infinita es la suma infinita de las medidas. Por tanto, pensé en montar la sucesión de conjuntos \( E_1,...,E_n,E_{n+1},... \) donde \( E_m=\emptyset \) para todo \( m>n \), de modo que ya si que puedo usar la definición de medida.

Un saludo.

16
Computación e Informática / Funciones lógicas matlab
« en: 13 Abril, 2021, 05:37 pm »
¿Cómo hago para escribir una función que devuelva un valor lógico en matlab?

Hice la siguiente función para determinar si dos rectas son paralelas, me piden que devuelva un valor lógico.

function[boolean]=rectas(a,b,c,d)
if a==b;
    boolean=1;
else boolean=0;
end

Devuelve 1 o 0 pero creo que en su carácter númerico solo.

Un saludo.

17
Álgebra / Sistemas dinámicos
« en: 12 Abril, 2021, 10:45 am »
Sea \( A=\begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{4}{5}}&{\displaystyle\frac{1}{10}}\\{\displaystyle\frac{1}{5}}&{\displaystyle\frac{9}{10}}\end{pmatrix} \). Consideramos el sistema dinámico:
\( A\begin{pmatrix}{C_k}\\{A_k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{C_{k+1}}\\{A_{k+1}}\end{pmatrix} \).

Consideramos \( C_0=1, A_0=0 \).¿Se estabilizarán los valores de \( C_k,A_k \) cuando k tiende a infinito?

No se como demostrar que se estabilizan formalmente. Por ordenador se observa que iterando convergen aproximadamente  a \( C=\displaystyle\frac{1,666}{5},A=\displaystyle\frac{3,33}{5} \).

Además suponiendo que existen puntos de estabilidad, resolviendo el sistema \( A\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix} \), se ven que los puntos fijos o estables son los de la forma \( (\displaystyle\frac{k}{2},k) \), lo cual tiene sentido con lo anterior.

¿Cómo hago para probar que los valores se estabilizan?

Un saludo.

18
Ecuaciones diferenciales / Factores integrantes
« en: 04 Abril, 2021, 12:21 am »
Hola,

Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

Un saludo.

19
Teoría de la Medida - Fractales / Medible por traslaciones
« en: 22 Marzo, 2021, 06:30 pm »
Hola,

Se que debe ser un ejercicio sencillo, pero me hace falta vuestra ayuda.

Sea \( E\in{}\mathcal{L} \) y \( c\in{}\mathbb{R}^d \) prueba que \( c+E\in{}\mathcal{L} \), con la medida de Lebesgue definida en \( \mathbb{R}^d \).

PD: Estoy trabajando con la definición de Caratheodory.


Un saludo.

20
Teoría de la Medida - Fractales / Medible según Caratheodory
« en: 13 Marzo, 2021, 07:41 pm »
Hola,

Dado \( X\neq\emptyset \) y una medida exterior \( \mu^* \) sobre \( X \), se dice que un conjunto \( E\subseteq{X} \) es medible según Caratheodory si para todo \( A\subseteq X \) verifica que:
\( \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \)

(Teorema). En mis apuntes demuestran que si \( \mathcal{M} \) es la familia de conjuntos medibles según Caratheodory en X, entonces \( \emptyset\in \mathcal{M} \), si \( E\in \mathcal{M} \) entonces \( E^c\in\mathcal{M} \), y por último si \( E,F\in\mathcal{M} \) entonces \( E\cup F \in \mathcal{M} \).

Ahora bien, justo después de esto dice lo siguiente
Observación: Sea \( \mu^* \) una medida exterior sobre un conjunto \( X\neq\emptyset \). Si \( E\subseteq X \) es tal que \(  \mu^*(A)\geq{}\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \) para todo \( A\subseteq X \), entonces \( E \) es medible en el sentido Caratheodory.



No sé de donde saca esa conclusión en la última afirmación. Si es de la demostración del teorema mencionado anteriormente, o bien un corolario de este, no se como hace. Espero que me puedan echar una mano.

Por cierto, ¿No se podría deducir por inducción del teorema A que M es un \( \sigma \)-álgebra?

Un saludo.

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