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1
Hola,

Tengo la siguiente duda sobre los elementos de torsión (el enlace tiene la definición)(https://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_(%C3%A1lgebra)#:~:text=Un%20elemento%20m%20de%20un,es%20decir%20r%20m%20%3D%200.).
En el contexto de los anillos \( \displaystyle\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} \) todo elemento es de torsión. ¿Esto es porque dado \( a\in{}\displaystyle\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} \) no nulo se tiene que \( n\cdot{a}=0 \)? Puede parecer tonto, pero como \( n=0 \) en \( \displaystyle\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} \), ¿no sería \( n \) un elemento nulo, y por tanto no valdría?

Un saludo. 

2
Hola,

Me he encontrado con el siguiente ejercicio.

En un anillo con característica $$p$$ primo, si $$a$$ es nilpotente entonces $$1+a$$ es unipotente (lo cual quiere decir que existe una potencia tal que $$(1+a)^k=1$$)

Para probarlo he hecho lo siguiente.

$$(1+a)^p=1+\displaystyle\sum_{i=1}^p{ {p \choose i}  a^i}=1$$ porque $${p \choose i}=0$$ si $$i\neq0$$ porque el anillo tiene característica $$p$$.

¿Ven algún fallo?

En caso de que no, entonces no sería necesario que $$a$$ fuera nilpotente pues simplemente con la característica del anillo vale.

Un saludo.

3
Hola,

Adjunto las imágenes de los apuntes.






Mi pregunta es  ¿Por qué poner $$a_i=\bar{e_i}$$? ¿Es porque elige como base precisamente a $$\left\{{a_1,a_2,a_3}\right\}$$ y entonces las coordenadas de $$a_i$$ respecto de esa base es precisamente $$\bar{e_i}$$ (en el cociente) ?

4
Estadística / Duda demostración con estimadores
« en: 10 Agosto, 2022, 12:48 pm »
Hola,

He estado leyendo una demostración de la siguiente proposición:

La clase de estimadores no tiene relación de orden. Es decir \( \nexists T^* \) tal que \( ECM_\theta(T^*)\leq{}ECM_\theta(T),\,\forall{}T,\,\forall{}\theta \)

Donde \( ECM_\theta(T)=E((T-h(\theta))^2) \) con h la función paramétrica de interés.

Entonces por reducción al absurdo al final de la demostración llega a que \( P(T^*=h(\theta))=1 \) \( \forall{}T,\,\forall{}\theta \) y dice entre  paréntesis "hemos definido un estimador puntual que no depende de parámetros desconocidos".

La duda es, si la cosa fuera tal como dice el entrecomillado no habría ninguna contradicción pues los estimadores no dependen del parámetro luego ¿No querrá decir que el estimador SI depende del parámetro desconocido y por tanto no puede ser un estimador suyo por definición?

Un saludo.

5
Hola,

Estoy leyendo unos apuntes, y se enuncia la siguiente proposición.

Dado un sistema diferencial ordinario lineal homogéneo \( y'=A(t)y \) (1). Si \( F\in{}C^1(I;\mathcal{L}(\mathbb{R}^N)) \) , \( F'(t)=A(t)F(t),\,\forall{t\in{I}} \) y existe \( t_0\in{I} \) tal que \( det F(t_0)\neq 0 \) entonces F es matriz fundamental de (1).

La demostración dice:
En efecto, en la situación considerada, las columnas de F constituyen N soluciones de (1), que denotaremos \( \phi^1, . . . , \phi^N  \). Si una combinación lineal \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N \)se anulara en un punto \(  t_1\in{}I \), entonces \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N \) sería solución del problema de Cauchy

\( PC=\begin{cases}y'=A(t)y\\y(t_1)=0\end{cases} \)

de donde tendríamos \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N\equiv{}0 \).

Después concluye, pero mi duda es ¿Por qué \( \alpha_1\phi^1+...+\alpha_N\phi^N \) ha de ser la función nula como consecuencia de ser solución de PC? ¿Es por la unicidad de solución del PC?

Un saludo.

6
Off-topic / División en continentes
« en: 14 Abril, 2022, 07:34 pm »
Hola,

Hoy he estado pensando en los continentes tal y como me lo enseñaron en el colegio. Estos son Europa, Asia, África, América, Antártida y Oceanía. No se como lo entienden ustedes pero yo naturalmente identifico continente con un terreno de tierra continuo suficientemente grande. Entonces a opinión personal, y reflexionando me parece más natural considerar Europa y Asia como un solo continente y Groenlandia también como un continente debido a su tamaño. Y evidentemente África es un continente a parte por el canal de Suez y América se divide en dos por el canal de Panamá. Total de 7.

No se si alguna vez habrán pensado sobre esto, pero ¿Qué continentes consideráis como los naturales?

PD: Haciendo un poco de investigación parece ser que no hay una sola respuesta correcta.

Un saludo.

7
Criptografía / Ráfagas en códigos cíclicos
« en: 01 Abril, 2022, 09:24 pm »
Hola,

Estoy atascado en el siguiente ejercicio.

Decimos que un vector \( x\in\mathbb{F}_q^n \) es una rafaga si todas sus coordenadas no nulas son consecutivas. Las ráfagas son particularmente interesantes cuando representan errores en códigos binarios. Probar que un código cíclico \( C\subset{}\mathbb{F}_2^n \) de dimensión k no contiene ninguna ráfaga de peso \( l\leq{}n−k \).


Mi idea es plantear un reducción al absurdo pero no atino a por donde puedo avanzar. Lo que si que esta claro que si supongo que existe tal ráfaga entonces esta es de la forma \( (1,...,1,0,....,0) \), con \( l \) unos y \( n-l \) ceros porque el código es cíclico y estamos en \( \mathbb{F}_2 \).

Una ayuda no me vendría mal, gracias.

Un saludo.


CORRREGIDO: el número de unos y de ceros

8
Ecuaciones diferenciales / EDO de segundo orden
« en: 27 Marzo, 2022, 06:58 pm »
Hola querido foro:

La edo es la siguiente \( y''=x(y')^3 \), haciendo un cambio de variable llegamos a que \( (y')^2=\displaystyle\frac{1}{C-x^2} \). El caso es el siguiente, si \( C\geq{}x^2 \) no tenemos ningún problema pero si \( C<x^2 \) ¿qué hacemos?

Un saludo.

9
Criptografía / Complejidad de convertir entero a binario
« en: 28 Febrero, 2022, 06:50 pm »
Hola,

Estoy intentando hacer el ejercicio del título. La respuesta ha de ser \( log^2 n \) donde \( n\in{\mathbb{Z}_+} \).

Para ello yo he escrito un algoritmo, que no es mas que el habitual

\( c \;vector\;\;\;\;, k=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;
while \;n\; distinto \;de \;1,0
\left\{{k=k+1\;\;\;\;\;\;\;\;
mod n/2=c[k]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
n=n/2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
}\right\}\;\;\;\;\;\;
c[k+1]=n \)

C es el vector que va a dar como resultado el número en binario. Sabemos que el while va a repetirse a sumo \( \left<{log_2n}\right> \) (parte entera del log). El problema es calcular la complejidad de \( mod n/2 \), que es tomar el resto de la división \( n/2 \). No sé si esta complejidad sería la misma que dividir \( n/2 \). A lo mejor es \( o(dividir)+o(restar) \), por el teorema de la división entera.

Además, he demostrado que la complejidad de multiplicar dos números binarios de \( k \) y \( l \) cifras es \( o(k) \) si k es mayor que l. Pero no sé la complejidad de dividir. ¿Es la misma que multiplicar?

Un saludo.


10
Hola,

Tengo problemas con el siguiente enunciado:

Describir todos los endomorfismo de \( G=\mathbb{F}_{p^n}^* \), donde la estrella denota que son las unidades del cuerpo.

Lo primero que observo es que \( G=C_{p^n-1} \) es cíclico por la estructura que tiene el grupo de las unidades. Denotemos a partir de ahora \( q=p[n-1 \)Ahora bien me planteo de cuantas formas se puede definir \( f:G\longrightarrow{G} \) tal que sea endomorfismo. Como pequeño paréntesis también observo que el grupo al ser cíclico esta generado por un solo elemento, sea \( a\in{G}/\left<{a}\right>=G \) esto significa que \( \forall{b}\in{}G,\exists{}s\in{\mathbb{N}} \) tal que \( b=a^s \).

Se tiene que \( f(a)=af(1)=a \) por ser homomorfismo, luego el endomorfismo ha de ser \( f([a]_q)=[a]_q \). Es decir la identidad.


Sin embargo creo que haber encontrado que solo existe un endomorfismo parece indicar que me he equivocado por lo que me piden en el siguiente apartado.

Agradecería que me guiaran por el ejercicio.

Un saludo.

11
Estructuras algebraicas / Criterio de la derivada
« en: 17 Febrero, 2022, 03:35 pm »
Hola,

En una demostración, de nuevo en el ámbito de cuerpos finitos el profesor ha comentado en clase que el criterio de la derivada puede tener problemas según el cuerpo que estemos tratando. Entonces querría profundizar en esto, en particular en subcuerpos de \( \mathbb{R} \). ¿Hay problemas en aplicar el criterio de la derivada en los cuerpos \( \mathbb{F}_p \) (p primo)?


Un saludo.

12
Hola,

En una demostración con \( F \) cuerpo dicen lo que menciono en el enunciado. Y me gustaría probarlo. He intentado reducción al absurdo pero no puedo concluir.

Veamos, supongamos que no se verifica que tiene característica p, digamos que tiene característica q. Es claro que no puede ser \( q=0 \) puesto que \( F \) es finito. Entonces tenemos que \( F \) es isomorfo a \( F_q^t \) para cierto t natural. Además sabemos que este ultimo cuerpo tiene exactamente \( q^t \) elementos, debe ser \( p^r=q^t \).
Aquí es donde tengo dudas:
Supongamos que \( q>p \) entonces la única solución posible se da si \( p=q^n \) con n natural y \( r=tn \). Luego sería de característica p. Contradicción.
Si fuera \( p>q \) no llego a contradicción y no se como resolverlo.

PD: Siento lo del título, ¿Cómo hago para que se aplique el latex en el título?

Un saludo.

13
Matemática Aplicada / Inferencia en la realidad
« en: 20 Enero, 2022, 01:24 am »
Hola,

Estoy justo estudiando para un examen de inferencia que tengo en los proximos días y me ha surgido la siguiente pregunta. ¿En la realidad cómo se sabe en qué distribución trabajar? Es decir, como puedes distinguir si estas antes una poison, una binomial....

Espero respuestas.

Un saludo

14
Foro general / Concepto de continuidad
« en: 18 Enero, 2022, 12:33 am »
Hola,

Hoy traigo un tema que me ha llamado la atención. En uno de los vídeos, el profesor de unicoos estudiando la continuidad de la función \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{x} \) dice que es discontinua, y esto ha creado polémica con otros divulgadores de matemáticas. Dejo aquí uno de los videos respuesta.


Puesto que tengo mucho respeto por las personas que forman esta comunidad matemática, quería preguntaros por vuestra posición en este tema. (que debería ser única). Si a mi me preguntaran, diría que la función que se propone es continua, porque en cada punto del dominio lo es, y ciertamente no se puede estudiar la continuidad en puntos que no son del dominio. Sin embargo, es cierto que presenta una discontinuidad en 0, pues es punto de acumulación. Por lo tanto lo que pienso es que simplemente continuidad y discontinuidad no son excluyentes. Es decir una función puede ser continua y dsicontinua a la vez, en vista de este caso (claro que un punto en concreto de la función solo puede ser una de las dos).

Un saludo.

15
Hola,

En una demostración de variable compleja, en particular en la del teorema global de Cauchy hay una parte que no consigo concretar. Sea \( f\in{}H(\Omega) \) y sea \( g:\Omega\times{ }\Omega\longrightarrow{}\mathbb{C};g(z,w)=\begin{cases}{f'(z)}&\text{si}& w=z\\\displaystyle\frac{f(w)-f(z)}{w-z} & \text{si}& w\neq z\end{cases} \). Hemos probado en un lema anterior que es una función continua. Entonces dice en una parte de la demostración: fijado \( w\in{\Omega} \) se considera la función \( h:\Omega\longrightarrow{}\mathbb{C};h(z)\longrightarrow{}g(z,w) \), que es holomorfa.

Y ese es el problema que no encuentro la forma de probar que esa función es holomorfa, a pesar de que en un paréntesis indica que "se puede probar análogamente, como cuando en el teorema de unicidad se quitan los ceros".

Añado: Teorema de unicidad.

Dado \( \Omega\subseteq{\mathbb{C}} \) abierto convexo y \( f\in{}(\Omega) \) y se denota \( Z(f)=\left\{{a\in{\Omega}:f(a)=0}\right\} \). Entonces:
- o bien \( Z(f)=\Omega \)
-o bien \( Z(f) \) no tiene puntos de acumulación en \( \Omega \) y es a lo más numerable.

En el último caso a cada \( a\in{}Z(f) \) se le asocia un único \( m\in\mathbb{N} \), llamado orden de \( a \) como cero de \( f \) tal que \( f(z)=(z-a)^mg(z) \), con \( g\in{}H(\Omega) \) y \( g(a)\neq0 \).

Como consecuencia si dos funciones \( f,g\in{}H(\Omega) \)coinciden en un conjunto que tenga puntos de acumulación de \( \Omega \) entonces \( f=g \)


Un saludo.

16
Análisis Matemático / Solución de un EDP
« en: 22 Diciembre, 2021, 09:46 pm »
Hola,

Acabo de comenzar con un tema introductorio a las EDPs y me dicen lo siguiente:

"Sea la EDP:

\( \partial_1u+\partial_2u=0 \)

Se comprueba fácilmente que  la función dada por \( u(x_1,x_2)=\phi(x_1-x_2) \) es solución da la EDP"

Sin embargo no soy capaz de comprobarlo. No lo veo. Es decir \( \partial_1 (\phi(x_1-x_2)) =\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_1}\cdot{\displaystyle\frac{\partial (x_1-x_2)}{\partial x_1}}=\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_1}\cdot{}1=\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_1} \) y de la misma forma \( \displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_2}=-\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_2} \)...
Entonces se cumpliría la ecuación si y solo si \( \displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_1}=\displaystyle \frac{\partial \phi(x_1-x_2)}{\partial x_2} \) que no tiene por qué, ¿no?

Un saludo.

17
Estadística / Varianza muestral
« en: 16 Diciembre, 2021, 09:58 pm »
Hola,

Dada una muestra aleatoria \( X_1,...,X_n \) de la variable \( X \), me gustaría ver que \( E(S^2)=\displaystyle\frac{n-1}{n}\sigma^2 \)

Primero de todo, \( S^2=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i-\overline{X})^2} \) denota la varianza muestral además \( \mu=E(X) \) y \( var(x)=\sigma^2 \).

Entonces mi intento es el siguiente:
Para cierto \( i\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \) tenemos que \( E(X_i^2)=var(x_i)+E^2(X_i)=var(x)+E^2(X)=\sigma^2+\mu^2 \).

Entonces \( E(S^2)=E(\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i-\overline{X})^2})=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{E(X_i^2)+E(\overline{X}^2)-2E(X_i\overline{X})}=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{\sigma^2+\mu^2+\mu^2-2\mu^2}=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{\sigma^2}=\sigma^2 \)

Se que está mal, puesto que no llego al resultado que debo llegar, pero ¿Dónde me he equivocado? No veo en que paso meto la pata.

Un saludo
\(  \)

18
Estructuras algebraicas / Estudiar los ideales maximales
« en: 29 Noviembre, 2021, 10:04 pm »
Hola,

El ejercicio pide estudiar los ideales maximales del anillo cociente \( \displaystyle\frac{\mathbb{R}[x]}{(x^2)}=S \). El denominador denota el anillo de polinomios.

El ejercicio está resuelto y dice así
Por tanto usando el teorema de correspondencia tenemos que \( \left\{{\textrm{ideales maximales de } S }\right\}=\left\{{\textrm{ideales maximales de } \mathbb{R}[x] \textrm{ que contienen a } (x^2)}\right\}=\left\{{p(x)\in{\mathbb{R}[x]}/(x^2)\subseteq{}(p(x))}\right\} \)

De aquí se deduce que \( p(x)\textrm{ divide a } x^2 \). Ahora viene la duda, porque dice que esto último es si y solo si \( p(x)=\alpha x \) y pues no se como ha dado ese paso porque si \( p(x)\textrm{ divide a } x^2\Rightarrow{}c\cdot{}p(x)=x^2, c\in{}\mathbb{R}[x] \). No doy con el por qué.

Un saludo.

19
Hola,

Estoy tratando de demostrar la caracterización del enunciado pero no soy capaz.


La segunda implicación es trivial. Pues si R/I es dominio, entonces dados \( ab\in{}I \), en particular \( ab\in{}R/I \), y como no tiene divisores de cero entonces o bien a o bien b es 0, pero \( 0\in{}I \), para cualquier ideal, por tanto I es primo.

Intentemos la primera implicación.

Suponemos I primo, y R un anillo. Lo que se debe probar es que R/I no tiene divisores de cero. Sean \( a,b\in{}R/I \) tales que \( ab=0 \). Entonces se reduce a probar que o bien \( a=0 \) o bien \( b=0 \).

Para ello comenzamos suponiendo que \( a\neq 0 \) y tenemos que ver que b debe ser forzosamente 0. Bien como \( ab=0 \) se tiene que \( ab\in{}I \), por tanto como I es primo se tiene que o bien \( a\in{}I \) o bien \( b\in{}I \).

Supongamos que \( 0\neq a\in{}I \) y además  también tenemos que \( ab=0 \).

A partir de ahí no se como concluir. Tengo dudas.

¿Podría decir que b=0? Está claro que si lo fuera se verifica, pero como justifico que ¿no podría ser un divisor de 0?

Y si por otro lado fuera \( b\in{}I \), pues no sabría tampoco como concluir.

Un saludo.

20
Estructuras algebraicas / Primos y congruencias
« en: 12 Noviembre, 2021, 11:01 am »
Hola,

En una demostración quieren probar que si \( p\in\mathbb{Z} \) primo entonces es una de las tres:
-\( p\equiv{}1mod 4 \)
-\( p\equiv{}3 mod 4 \)
-\( p=\pm{}2 \)

Entonces, en la demostración dice que:

Si \( p\equiv{}2 mod 4\Longrightarrow{}p=2+4k=2(1+2k) \) para cierto \( k\in\mathbb{Z} \), que solo es primo si \( 1+2k \) es invertible, es decir si y solo si \( p=\pm{}2 \)





No entiendo la propiedad de ser primo si \( 1+2k \) es invertible, y no se porque eso implica que \( p=\pm{}2 \).

Estaría muy agradecido si me lo explican.

Un saludo.

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