Hola, estimado RM
En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.
Allí, igual que en RM, dan pistas: revisar el concepto de continuidad en un punto, diferenciabilidad, implicación de la continuidad de una función en un punto a partir de la derivabilidad...
Hay un teorema que dice que un límite funcional existe si y solo si el mismo límite existe utilizando sucesiones. Es decir que
\( \displaystyle{
\lim_{x\to c}g(x)=L\iff \lim_{n\to\infty}g(x_n)=L\text{ para toda sucesión }\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\text{ tal que }\lim_{n\to\infty }x_n=c
} \)
Entonces, utilizando lo anterior, te basta con ver si el límite que define la derivada en un punto es el mismo y existe para cual sucesión de números racionales o de números irracionales \( \{h_n\}_{n\in \mathbb N} \) que converjan a cero, es decir, si el límite
\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty }\frac{f(9+h_n)-f(9)}{h_n}
} \)
existe y es el mismo para toda sucesión nula de números racionales, y toda sucesión nula de números irracionales.
Eso es debido a que si tienes una sucesión arbitraria \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) que contenga infinitos números racionales e infinitos números irracionales entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) puede descomponerse en dos subsucesiones: una solamente de números racionales y otra solamente de números irracionales, y observar que la convergencia en ambas subsucesiones al mismo valor implica la convergencia en la sucesión original.
La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.
El motivo es que el inglés no es mi lengua nativa, y he llegado a un punto en el que me he dado cuenta mis lagunas. Además, el hilo ha entrado en un terreno desconocido para mí: el de las sucesiones. Google, Wikipedia, la red,... lo he intentado, pero no me aportan pistas, ni en inglés ni en castellano.
¡Un saludo!
El problema es que para demostrar eso siguiendo ese camino, efectivamente, tendrías que tener un conocimiento teórico suficiente sobre sucesiones y los teoremas que se mencionen, de otro modo el hilo se haría demasiado extenso si tuviese que demostrarse cada teorema que se utiliza a cada paso.
Un buen libro para conocer y practicar todo esto es el de Understanding Analysis de Robert Abbott, del cual puedes encontrar una copia digital en PDF en internet sin mucho esfuerzo. El problema quizá es que el libro está en inglés, pero es que no puedo recomendarte algo en castellano porque no conozco casi nada de bibliografía en castellano.
Hay un teorema que dice que un límite funcional existe si y solo si el mismo límite existe utilizando sucesiones. Es decir que
\( \displaystyle{
\lim_{x\to c}g(x)=L\iff \lim_{n\to\infty}g(x_n)=L\text{ para toda sucesión }\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\text{ tal que }\lim_{n\to\infty }x_n=c
} \)
Entonces, utilizando lo anterior, te basta con ver si el límite que define la derivada en un punto es el mismo y existe para cual sucesión de números racionales o de números irracionales \( \{h_n\}_{n\in \mathbb N} \) que converjan a cero, es decir, si el límite
\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty }\frac{f(9+h_n)-f(9)}{h_n}
} \)
existe y es el mismo para toda sucesión nula de números racionales, y toda sucesión nula de números irracionales.
Eso es debido a que si tienes una sucesión arbitraria \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) que contenga infinitos números racionales e infinitos números irracionales entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) puede descomponerse en dos subsucesiones: una solamente de números racionales y otra solamente de números irracionales, y observar que la convergencia en ambas subsucesiones implica la convergencia en la sucesión original.
Este teorema, creo, está en el centro de la resolución que plantea PF. Y no lo tengo en el libro de texto "Cálculo", de Robert A. Adams. El libro de texto sólo afirma que "Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \) converge, entonces \( \lim_{n \to \infty}{a_n}=0 \)". La demostración es un cuerpo de texto pequeño (dos líneas).
El problema es que para demostrar eso siguiendo ese camino, efectivamente, tendrías que tener un conocimiento teórico suficiente sobre sucesiones y los teoremas que se mencionen, de otro modo el hilo se haría demasiado extenso si tuviese que demostrarse cada teorema que se utiliza a cada paso.
Efectivamente.
Un buen libro para conocer y practicar todo esto es el de Understanding Analysis de Robert Abbott, del cual puedes encontrar una copia digital en PDF en internet sin mucho esfuerzo. El problema quizá es que el libro está en inglés, pero es que no puedo recomendarte algo en castellano porque no conozco casi nada de bibliografía en castellano.
Voy a publicar este fin de semana. Mi objetivo inicial es exploratorio, es decir, desconozco el desenlace, pero se ha despertado mi curiosidad.
¡Un saludo, y gracias, RM!
1) Qué definición de continuidad manejas y que caracterizaciones equivalentes conoces.
Definición. Se dice que una función \( f \) es continua en un punto \( a \) cuando
\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=f(a) \)
Con la terminología épsilon-delta la definición de continuidad es de la siguiente forma:
Definición. Una función \( f \) es continua en un punto \( a \) cuando para cada \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \), tal que \( |f(x)-f(a)|<\epsilon \) siempre que \( |x-a|<\delta \)
Continuidad por la derecha, por la izquierda, continuidad en un intervalo abierto, en un intervalo cerrado, operaciones con funciones continuas (suma, resta, multiplicación, división y composición)
Teoremas fundamentales sobre las funciones continuas en intervalos
Teorema. Sean \( I \) un intervalo y \( f:I\rightarrow{\mathbb R} \) una función continua. Entonces el conjunto \( f(I)=\{f(x):x\in \mathbb R\} \) es bien un intervalo o bien un punto.
Teoremas de los valores intermedios, Teorema de Bolzano, Teorema de Weierstrass, continuidad de la función inversa
2) Qué definición de derivabilidad y caracterizaciones conoces.
Funciones derivables
Tasa de variación media de una función
Tasa de variación instantánea
Derivada de una función en un punto. Relación entre derivabilidad y continuidad.
Interpretación geométrica de la derivada
Función derivada. Derivadas sucesivas
Derivadas de las operaciones con funciones
Derivadas de las funciones elementales
Interpretación física de la derivada
Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites: L'Hopital, indeterminaciones...
Teoremas de Rolle y del Valor Medio
3) Que resultados sobre límites conoces. ¿Alguno relacionado con funciones definidas a trozos?.
Sí. Las funciones definidas a trozos me resultan familiares: determinación de la continuidad en los puntos donde la función cambia de expresión.
Fíjate que pocas veces uno demuestra cosas basándose únicamente en la definición; casi siempre se usan resultados auxiliares que una vez demostrados en general, aligeran el trabajo. Por ejemplo en el cálculo de límites uno se apoya siempre en los límites de las funciones elementales, que son conocidos, y en propiedades tipo "límite de la suma es la suma de los límites" (y otras análogas).
Entendido.
Yo tengo ganas de resolver la duda del primer mensaje de este hilo: ¿por qué \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) es derivable sólo en el punto \( x=3 \)?. Pero esto no es una función definida a trozos; no sé ni cómo llamarla.
En el foro Physics Forums me recomiendan plantear al tutor qué camino seguir en el último post
Os dejo un enlace al hilo
https://www.physicsforums.com/threads/thoughts-on-the-derivative-of-a-function.1001549/page-2#post-6483992
¡Un saludo!
Hola, estimado RM.
No sé si he hecho bien el razonamiento. Estoy bastante seguro de los primeros pasos, pero no de la segunda parte. He dividido en dos el mensaje: (1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \); y (2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)?. Gracias de antemano, RM. Ahí va:
¿Por qué \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) tiene derivada sólo en \( x=3 \)?
(1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \)?
\( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)
Este límite se convierte en dos:
(a)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)
(b)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb I, x \to{3}}{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}}=6 \)
Prueba de (a)
Para \( x\in \mathbb Q\;\forall{\epsilon_1>0}\;\exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{|g(x)-9|=|x^2-9|<\epsilon_1} \):
\( \delta_1=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3}}\right ) \)
Prueba de (b)
Para \( x\in \mathbb I\;\forall{\epsilon_2>0}\;\exists\;{\delta_2} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_2\Rightarrow{|h(x)-9|=|(6(x-3)+9)-9|<\epsilon_2} \):
\( \delta_2=\dfrac{\epsilon_2}{6} \)
\( \delta=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3},\dfrac{\epsilon_2}{6}}\right ) \)
Si separamos el dominio de una función en dos subconjuntos, nos acercamos a un punto \( a \) por cada uno de ellos, y por ambos alcanzan el mismo valor, la función se acerca a este valor por todo el dominio.
Prueba:
\( f:\mathbb R\rightarrow{\mathbb R} \)
\( h:\mathbb Q\rightarrow{\mathbb R} \)
\( g:\mathbb R\setminus{\mathbb Q}\rightarrow{\mathbb R} \)
(2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)?
Asumamos que \( h(x)\neq g(x) \) si \( x\neq 3 \)
Tomamos \( \epsilon=|g(x)-h(x)|/2 \)
Como \( h \) es continuo en \( x=3 \)
\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que
\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|h(x)-6|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)
Ahora, por la desigualdad triangular
\( |f(x)-6|=|h(x)-6|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-6|}\geq |g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)
En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que
\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-h(3)|\geq\epsilon \)
Por otra parte, como \( g \) es continua en \( x=3 \)
\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que
\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|g(x)-9|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)
Ahora, por la desigualdad triangular
\( |f(x)-9|=|g(x)-9|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-9|}\geq|g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)
En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que
\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-g(3)|\geq\epsilon \)
En consecuencia, hemos encontrado \( \delta>0 \) y \( \epsilon>0 \) y \( \begin{cases}{|f(x)-h(3)|\geq\epsilon}\\|f(x)-g(3)|\geq\epsilon\end{cases} \)
Por lo tanto
\( \exists{\epsilon>0}\;\forall{\delta>0}\;\exists{x\in \mathbb R\setminus{\{3\}}}:\;0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-f(3)|\geq\epsilon \)
¿Correcto?
¡Un saludo!
Hola
"Para que la función sea derivable, debe existir y ser continua"
Simplemente:
1) Una condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que la función esté definida en un punto.
Ejemplos: Tu función \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) está definida en todo punto, porque para cualquier \( x\in \Bbb R \) está definido cuanto vale \( f(x). \)
La función \( f(x)=1/x \) sin embargo no está definida para \( x=0 \). Sería absurdo plantearse la derivabilidad en \( x=0. \)
2) Otra condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que sea continua. Si NO es continua ya no puede ser derivable. Si es continua, puede ser derivable en ese punto o puede no serlo.
Recuerda que condición necesaria para que se cumpla una propiedad, es una condición que, si NO se cumple es seguro que la propiedad no se verifica; pero si se cumple, la propiedad podría ser cierta o no.
Por ejemplo para ganar a lotería es condición necesaria jugar; si no juegas es imposible que la ganes. Ahora, jugar no te garantiza que ganes.
si \( x \) es racional, el dominio es para todo \( x \) , desde menos infinito a mas infinito
Olvida esta frase; sinceramente pudo querer decir cualquier cosa.
(1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \)?
\( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)
Este límite se convierte en dos:
(a)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)
(b)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb I, x \to{3}}{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}}=6 \)
Prueba de (a)
Para \( x\in \mathbb Q\;\forall{\epsilon_1>0}\;\exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{|g(x)-9|=|x^2-9|<\epsilon_1} \):
\( \delta_1=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3}}\right ) \)
Aunque la idea es buena, el problema es que lo que tenías que acotar por \( \varepsilon \) es:
\( \dfrac{x^2-9}{x-3}-6 \)
Tu has estudiado el límite:
\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}x^2-9=0 \)
en lugar de
\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)
Un error análogo lo has cometido en el trozo sobre los irracionales.
¿Por qué puedo definir límites dentro de los racionales, que tienen huecos en la recta real (viceversa para los irracionales)?
Para definir el concepto de límite en un punto tienes que poder acercarte a él tanto como quieras, simplemente. Puede ser por todos los números reales que hay en medio o dejar algún hueco. No hay ningún problema. Técnicamente no hay más que especificar que la variable \( x \) se mueve en un cierto conjunto \( D \). Y si calculamos el límite en \( x_0 \), tiene que haber puntos en \( D \) distintos de \( x_0 \) a distancia de \( x_0 \) "tan próxima" como queramos.
Si separamos el dominio de una función en dos subconjuntos, nos acercamos a un punto por cada uno de ellos, y por ambos alcanzan el mismo valor, la función se acerca a este valor por todo el dominio.
Supón que tienes:
\( f(x)=\begin{cases}{f_1(x)}&\text{si}& x\in A\\f_2(x) & \text{si}& x\in B\end{cases} \)
y
1) \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in A}{}f_1(x)=L \)
2) \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in B}{}f_2(x)=L \)
(*) Entonces por (1) dado \( \varepsilon>0 \) existe un \( \delta_1<0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta_1 \), \( x\in A \) entonces \( |f_1(x)-L|<\varepsilon \)
(**) Por (2) dado \( \varepsilon>0 \) existe un \( \delta_2<0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta_2 \), \( x\in B \) entonces \( |f_2(x)-L|<\varepsilon \)
Tomando \( \delta=\min(\delta_1,\delta_2) \) si \( 0<|x-x_0|<\delta \) tenemos:
- Si \( x\in A \), \( 0<|x-x_0|<\delta\leq \delta_1 \) y por (*) \( |f(x)-L|=|f_1(x)-L|<\varepsilon \)
- Si \( x\in B \), \( 0<|x-x_0|<\delta\leq \delta_2 \) y por (**) \( |f(x)-L|=|f_2(x)-L|<\varepsilon \)
Es decir, en cualquier caso si \( 0<|x-x_0|<\delta \) entonces \( |f(x)-L|<\varepsilon \)
Después para ver la NO derivabilidad en \( x\neq 3 \), lo más cómodo es ver que tan siquiera es continua (recuerda que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad).
Para ello basta ver que sobre cada un de los dos conjuntos de definición (racionales e irracionales) el límite de la función en un punto \( x_0\neq 3 \) es diferente:
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb Q}{}f(x)=x_0^2 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}f(x)=6x_0-9 \)
y \( x_0^2=6x_0-9 \) sólo si \( x_0=3 \).
Saludos.
Hola, estimado RM
¿Por qué \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) es derivable sólo en \( x=3 \)?
1- \( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)
Si, SI es una función a trozo. Un trozo son los racionales en los que está definida de una manera y otro trozo los irracionales en los que está definida de otra.
Entonces por definición es derivable en \( 3 \) si existe el siguiente límite:
\( \displaystyle\lim_{x \to 3}{}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} \) (*)
Ese límite se desdobla en dos, distinguiendo si \( x \) es racional o irracional:
\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb Q,\,x \to 3}{}\dfrac{x^2-9}{x-3} \)
\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb I,\,x \to 3}{}\dfrac{6(x-3)+9-9}{x-3} \)
Para que el límite (*) existe los otros dos tienen que existir y tomar el mismo valor, lo cuál puedes demostrar fácilmente.
Formalmente lo que estamos usando es que si tienes \( g:\Bbb D\to \Bbb R \), \( D=A\cup B \) y consideras las restricciones:
\( g_1:\Bbb A\to \Bbb R,\quad g_1(x)=g(x) \)
\( g_2:\Bbb B\to \Bbb R,\quad g_2(x)=g(x) \)
Entonces si:
\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g_1(x)=\displaystyle\lim_{x \to a}{}g_2(x)=L \)
entonces:
\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)=L \)
\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb Q,\,x \to 3}{}\dfrac{x^2-9}{x-3}=6 \)
Para \( x \in\Bbb Q \), \( \forall{\varepsilon} \) \( \exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{\left |{\dfrac{x^2-9}{x-3}-6}\right |=|x+3-6|=|x-3|<\varepsilon} \). Por lo tanto, \( \delta_1=\varepsilon \)
\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb I,\,x \to 3}{}\dfrac{6(x-3)+9-9}{x-3}=6 \)
Para \( x \in\Bbb R\setminus{\Bbb Q} \), \( \forall{\varepsilon} \) \( \exists\;{\delta_2} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_2\Rightarrow{\left |{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}-6}\right |=|6-6|=0<\varepsilon} \). Por lo tanto, \( \delta_2 \) puede tomar cualquier valor positivo, y la implicación será cierta.
Eligiendo \( \delta_1=\varepsilon \), por ser más restrictivo, probamos la derivabilidad de la función en \( x=3 \)
2- ¿Por qué la función no es continua cuando \( x \neq 3 \)?
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb Q}{}x^2=x_0^2 \)
Prueba: Si \( 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow{|x^2-x_0^2|<\varepsilon} \)
\( |x^2-x_0^2|=|x-x_0||x+x_0| \)
Tomamos una primera restricción: \( |x-x_0|<1\Leftrightarrow{x_0-1<x<x_0+1}\rightarrow{|x+x_0|<2|x_0|+1} \) (Este paso es totalmente inseguro, he intentado razonarlo en el spoiler, pero no estoy nada seguro).
Spoiler
\( x_0 \in \Bbb Q\setminus{\{3\}} \):
\( x_0-1<x<x_0+1 \);
\( 2x_0-1<x+x_0<2x_0+1 \);
\( |x+x_0|\leq{|x|+|x_0|<|x_0|<2|x_0|+1} \)
Por lo tanto, para \( \delta=\mbox{mín}\left ({1, \dfrac{\varepsilon}{1+2|x_0|}}\right ) \) este límite es cierto.
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}(6(x-3)+9)=6x_0-9 \)
Prueba:
Si \( 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow{|(6x-9)-(6x_0-9)|<\varepsilon} \)
\( |6x-9-6x_0+9|<\varepsilon\Rightarrow{6|x-x_0|<\varepsilon} \)
Para \( \delta=\varepsilon/6 \)
y \( x_0^2=6x_0-9 \) sólo si \( x_0=3 \)
¿Correcto?.
¡Un saludo!