[merciparis]

Buenas tardes,
Estaba tratando de resolver el siguiente ejercicio:
“Prueba que un abierto de un localmente compacto es localmente compacto”.
He encontrado en el libro Munkres una prueba de esto pero usando la hipótesis de Hausdorff. Sin embargo en el ejercicio propuesto por el profesor no contamos con esta hipótesis, y no sé cómo resolverlo.
Muchas gracias, un saludo.

[Carlos Ivorra]

Convendría que dieras tu definición de compacidad local. Porque  hay muchas definiciones que son equivalentes en espacios de Hausdorff y no lo son en general. Y, según cuál sea tu definición, la respuesta puede ser o no trivial.

[merciparis]

Convendría que dieras tu definición de compacidad local. Porque  hay muchas definiciones que son equivalentes en espacios de Hausdorff y no lo son en general. Y, según cuál sea tu definición, la respuesta puede ser o no trivial.

Claro. La definición que manejamos de compacidad local es la siguiente:
“Un espacio topológico es localmente compacto si todo punto tiene un sistema fundamental de entornos compactos”.

[Carlos Ivorra]

Claro. La definición que manejamos de compacidad local es la siguiente:
“Un espacio topológico es localmente compacto si todo punto tiene un sistema fundamental de entornos compactos”.

Pues entonces es trivial, ¿no?

Si \( X \) es localmente compacto y \( U\subset X \) es abierto, para probar que \( U \) es localmente compacto, tomas un punto \( p\in U \), tomas un sistema fundamental de entornos compactos \( \mathcal U \) de \( p \) en \( X \) y entonces el conjunto \( \mathcal U_U \) formado por los elementos de \( \mathcal U \) contenidos en \( U \) forman un sistema fundamental de entornos compactos de \( p \) en \( U \), porque, como \( U \) es abierto, todo entorno \( V \) de \( p \) en \( U \) es también un entorno de \( p \) en \( X \), luego existe un \( K\in \mathcal U \) tal que \( p\in K\subset V\subset U \), luego \( K\in \mathcal U_U \).

[merciparis]

Claro. La definición que manejamos de compacidad local es la siguiente:
“Un espacio topológico es localmente compacto si todo punto tiene un sistema fundamental de entornos compactos”.

Pues entonces es trivial, ¿no?

Si \( X \) es localmente compacto y \( U\subset X \) es abierto, para probar que \( U \) es localmente compacto, tomas un punto \( p\in U \), tomas un sistema fundamental de entornos compactos \( \mathcal U \) de \( p \) en \( X \) y entonces el conjunto \( \mathcal U_U \) formado por los elementos de \( \mathcal U \) contenidos en \( U \) forman un sistema fundamental de entornos compactos de \( p \) en \( U \), porque, como \( U \) es abierto, todo entorno \( V \) de \( p \) en \( U \) es también un entorno de \( p \) en \( X \), luego existe un \( K\in \mathcal U \) tal que \( p\in K\subset V\subset U \), luego \( K\in \mathcal U_U \).

De acuerdo, muchas gracias.

[ani_pascual]

Hola:

De acuerdo, muchas gracias.

Se dice que la compacidad local es débilmente hereditaria. Me parece que si se añade la condición de Hausdorff, entonces también la heredan los cerrados.
AÑADIDO:
En efecto, sea \( F \) un cerrado en \( (X,\tau) \) y sea \( x\in F \) arbitrario. Como \( x\in F\subseteq X \) y es \( (X,\tau) \) localmente compacto, existe \( {\cal B}_x=\{K_i\,|\,i\in I_x\}\subseteq {\cal P}(X) \) una base local de entornos de \( x \) en \( (X,\tau) \) con \( K_i \) compacto \( \forall\,i\in I_x \). Veamos que entonces \( {\cal B}_x^F=\{K_i\cap F\,|\,i\in I_x\}\subseteq {\cal P}(X) \) es una base local de entornos de \( x \) en \( (F,\tau_F) \) con \( K_i\cap F \) compacto \( \forall\,i\in I_x \). En efecto, dado   \( N\subseteq F \) un entorno arbitrario de \( x \) en \( (F,\tau_F) \), existe \( G\in \tau \) tal que \( x\in G\cap F\subseteq N \). Pero como \( G \) es un entorno de \( x \) en \( (X,\tau) \), existe \( i\in I_x \) con \( x\in K_i\subset G \). Así pues, basta tomar \( K_i\cap F\subset G\cap F\subseteq N \) donde \( x\in K_i\cap F\in{\cal B}_x^F \). Téngase en cuenta que \( K_i \) compacto y \( (X,\tau) \) Hausdorff  implican que \( K_i \) es cerrado en \( (X,\tau) \), luego \( K_i\cap F \) es cerrado en \( (X,\tau) \) y como \( K_i\cap F\subset K_i \), que es compacto, resulta que \( K_i\cap F \) es también compacto.
Saludos

[merciparis]

Hola:

De acuerdo, muchas gracias.

Se dice que la compacidad local es débilmente hereditaria. Me parece que si se añade la condición de Hausdorff, entonces también la heredan los cerrados.
AÑADIDO:
En efecto, sea \( F \) un cerrado en \( (X,\tau) \) y sea \( x\in F \) arbitrario. Como \( x\in F\subseteq X \) y es \( (X,\tau) \) localmente compacto, existe \( {\cal B}_x=\{K_i\,|\,i\in I_x\}\subseteq {\cal P}(X) \) una base local de entornos de \( x \) en \( (X,\tau) \) con \( K_i \) compacto \( \forall\,i\in I_x \). Veamos que entonces \( {\cal B}_x^F=\{K_i\cap F\,|\,i\in I_x\}\subseteq {\cal P}(X) \) es una base local de entornos de \( x \) en \( (F,\tau_F) \) con \( K_i\cap F \) compacto \( \forall\,i\in I_x \). En efecto, dado   \( N\subseteq F \) un entorno arbitrario de \( x \) en \( (F,\tau_F) \), existe \( G\in \tau \) tal que \( x\in G\cap F\subseteq N \). Pero como \( G \) es un entorno de \( x \) en \( (X,\tau) \), existe \( i\in I_x \) con \( x\in K_i\subset G \). Así pues, basta tomar \( K_i\cap F\subset G\cap F\subseteq N \) donde \( x\in K_i\cap F\in{\cal B}_x^F \). Téngase en cuenta que \( K_i \) compacto y \( (X,\tau) \) Hausdorff  implican que \( K_i \) es cerrado en \( (X,\tau) \), luego \( K_i\cap F \) es cerrado en \( (X,\tau) \) y como \( K_i\cap F\subset K_i \), que es compacto, resulta que \( K_i\cap F \) es también compacto.
Saludos

Muchas gracias por la ayuda!