Como \( g \) se repite en cada intervalo de la forma \( [jT,(j+1)T] \) para \( j\in \mathbb N\cup\{0\} \) entonces se tiene que
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\mathcal{L}(g)(s)&=\int_{0}^{\infty }g(x)e^{-sx}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }\int_{jT}^{(j+1)T}g(x)e^{-sx}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }\int_{0}^{T}g(x+jT)e^{-s(x+jT)}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }\int_{0}^{T}g(x)e^{-s(x+jT)}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }\int_{0}^{T/2}\frac{2kx}{T}e^{-s(x+jT)}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }e^{-sjT}\int_{0}^{T/2}\frac{2kx}{T}e^{-sx}\,d x\\
&=\left(\int_{0}^{T/2}\frac{2kx}{T}e^{-sx}\,d x\right)\sum_{j=0}^{\infty }e^{-sjT}\\
&=\frac{2k}{T}\left(\frac{xe^{-sx}}{-s}\bigg|_{x=0}^{x=T/2}-\int_{0}^{T/2}\frac{e^{-sx}}{-s}\,d x\right)\sum_{j=0}^{\infty }(e^{-sT})^j\\
&=\frac{2k}{T}\left(\frac{\tfrac{T}{2}e^{-sT/2}}{-s}-\frac{e^{-sT/2}-1}{s^2}\right)\frac1{1-e^{-s T}}\\
&=\frac{2k}{Ts^2}\cdot \frac{1-\left(1+\frac{sT}{2}\right)e^{-s T/2}}{1-e^{-s T}}
\end{align*}
} \)
suponiendo no me haya equivocado en ningún paso. Por supuesto la transformada de Laplace sólo es válida para valores de \( s \) positivos en este caso, ya que si \( s=0 \) la integral no converge.