Gracias por la respuesta. El enunciado es tal cual lo he puesto. A lo mejor no está muy riguroso, pues estoy cursando física... He revisado algún problema de años anteriores con polinomios y los definían como contornos. Sustituían \( \left |{z}\right | = 1 \) y calculaban el valor de f(x) y de g(x) para demostrar que se puede aplicar el teorema. No entiendo muy bien lo que haces tú cuando sustituyes, perdona las molestias.
Tendrás que ser más específico sobre que sustitución o paso es el que no entiendes. Por si lo siguiente te aclara algo: si nos dicen que \( a>e \) entonces \( a=e^{r} \) para algún \( r>1 \), ya que la función exponencial, restringida a valores reales, es estrictamente creciente y \( e^1=e<a=e^{\ln a} \).
Por otra parte el valor absoluto en \( \mathbb{C} \) tiene la propiedad al igual que en \( \mathbb{R} \) que \( |z\cdot w|=|z|\cdot |w| \) para todo \( z,w\in \mathbb{C} \), de ahí se sigue que \( |az^n|=|a|\cdot |z^n|=a\cdot |z|^n=a \) ya que \( |a|=a \) al ser \( a>0 \) y \( |z|=1 \) en el contorno de \( \mathbb{D} \).
Además observa que si describimos \( z \) como \( z=a+bi \) para \( a,b\in \mathbb{R} \) entonces \( |e^{z}|=|e^{a}|\cdot |e^{ib}|=e^a \) ya que \( e^a>0 \) para todo \( a\in \mathbb{R} \) y \( e^{ib}=\cos b+i \sin b \) y por tanto \( |e^{ib}|=\sqrt{\cos ^2 b+\sin ^2 b}=1 \). De ahí se sigue que \( |e^z|= e^{\operatorname{Re} z} \), siendo \( \operatorname{Re}z \) la parte real de \( z \).
Por aclararte algo sobre el teorema de Rouché, éste viene a decir que si en una región del plano complejo, llamémosla \( U \) a esa región, rodeada por un contorno \( \partial U \), si \( f \) y \( g \) son dos funciones holomorfas en \( U \) (y continuas en \( \partial U \)) tal que \( |g(z)|<|f(z)| \) para todo \( z\in \partial U \) entonces las funciones \( f \) y \( f+g \) tienen el mismo número de ceros en \( U \) (no en \( \partial U \)).
