[minette]

Hola

supongamos que \( a+b= a \cdot{b} \)

\( \displaystyle\frac{a}{a}+\displaystyle\frac{b}{a}=b \) ; \( 1+\displaystyle\frac{b}{a}=b \)

\( 1=b-\displaystyle\frac{b}{a} \) ; \( \displaystyle\frac{b}{b}=b-\displaystyle\frac{b}{a} \)

\( b=b^2-\displaystyle\frac{b^2}{a} \) ; \( b=\displaystyle\frac{b^2a}{a}-\displaystyle\frac{b^2}{a} \)

\( b=\displaystyle\frac{b^2(a-1)}{a} \)  ; \( 1=\displaystyle\frac{b(a-1)}{a} \)

entonces \( b(a-1)=a \)

sólo si \( b=a \) ; \( a(a-1)=a \)

\( a-1=1 \) ; \( a=2 \) ; \( b=2 \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

supongamos que \( a+b= a \cdot{b} \)

\( \displaystyle\frac{a}{a}+\displaystyle\frac{b}{a}=b \) ; \( 1+\displaystyle\frac{b}{a}=b \)

\( 1=b-\displaystyle\frac{b}{a} \) ; \( \displaystyle\frac{b}{b}=b-\displaystyle\frac{b}{a} \)

\( b=b^2-\displaystyle\frac{b^2}{a} \) ; \( b=\displaystyle\frac{b^2a}{a}-\displaystyle\frac{b^2}{a} \)

\( b=\displaystyle\frac{b^2(a-1)}{a} \)  ; \( 1=\displaystyle\frac{b(a-1)}{a} \)

entonces \( b(a-1)=a \)

sólo si \( b=a \) ; \( a(a-1)=a \)

\( a-1=1 \) ; \( a=2 \) ; \( b=2 \)

Supongo que trabajas con \( a,b \) enteros positivos. En ese caso, si, la única solución de \( a+b=ab \) es \( a=b=2 \).

Una forma rápida de verlo es notar que:

\( a+b-ab=0\quad\Leftrightarrow{} \quad 1-(a-1)(b-1)=0\quad\Leftrightarrow{} \quad (a-1)(b-1)=1 \)

Como \( a,b \) son enteros positivos \( a-1,b-1\geq 0 \) y la única descomposición posible de \( 1 \) en producto de dos enteros positivos es \( 1\cdot 1=1 \).

Esencialmente, frase explicativa arriba, frase explicativa abajo, cuenta de más o de menos, también está bien como lo haces.

Saludos.

[DaniM]

supongamos que \( a+b= a \cdot{b} \)

\( \displaystyle\frac{a}{a}+\displaystyle\frac{b}{a}=b \) ; \( 1+\displaystyle\frac{b}{a}=b \)

\( 1=b-\displaystyle\frac{b}{a} \) ; \( \displaystyle\frac{b}{b}=b-\displaystyle\frac{b}{a} \)

\( b=b^2-\displaystyle\frac{b^2}{a} \) ; \( b=\displaystyle\frac{b^2a}{a}-\displaystyle\frac{b^2}{a} \)

\( b=\displaystyle\frac{b^2(a-1)}{a} \)  ; \( 1=\displaystyle\frac{b(a-1)}{a} \)

entonces \( b(a-1)=a \)

Hubiera sido más simple hacer \( a+b= a \cdot{b} \Rightarrow{} a = ab - b = b(a - 1) \).

[minette]

Hola
Quiero agradecer con todas mis fuerzas tanto las respuestas como las vistas que ha tenido mi hilo ¿Qué es lo correcto?

En la actualidad sabemos que existen cinco clases de números reales: racionales, irracionales, enteros positivos o naturales, fraccionarios y enteros negativos.

Llevo mucho tiempo ocupándome de lo que les ocurre a infinitas ternas viables de EXCLUSIVAMENTE números enteros positivos \( (a,b,c) \) en el sentido de que \(  a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)   cuando \( n \) es también un entero positivo mayor o igual a 3.

Creo haber esbozado un camino para intentar demostrar esta desigualdad en los siguientes tres casos: \( a^2+b^2<c^2 \) ; \( a^2+b^2=c^2 \) ; \( a^2+b^2>c^2 \) y no hay más.

En los dos primeros casos : \( a^2+b^2<c^2 \) y \( a^2+b^2=c^2 \) nadie ha puesto ninguna pega.

Cuando llego al tercer caso, cuando \( a^2+b^2>c^2 \) se me advierte de que mis razonamientos no son válidos porque aunque demuestre la desigualdad \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}   \) para tres enteros positivos, resulta, así lo afirman, que pueden elegir tres números reales cualesquiera en los que se produce la igualdad.

Y, ahora, es el momento en que quiero plantear la siguiente cuestión:

¿Alguien puede decir qué clase de números reales se admitían cuando vivía Fermat y formuló su famosa conjetura?

Saludos.

[feriva]

¿Alguien puede decir qué clase de números reales se admitían cuando vivía Fermat y formuló su famosa conjetura?

Saludos.

Hola, minette; cuánto tiempo sin verte por aquí.

Tengo entendido que, en esos tiempos, sólo se consideraban números enteros y números no enteros. Y todos positivos, el “menos” era sólo un signo de operación; ahora bien, eso no quita que se supiera, por ejemplo, que \( (-1\cdot a)^{3}=-1\cdot a^{3}
  \), lo que es equivalente a decir, hoy en día, que si “b” es un entero negativo, entonces \( b^{3}
  \) es un entero negativo.
...
Esa desigualdad que pones existe considerando algún número no entero, por tanto, si quieres demostrar por reducción al absurdo que no pueden ser enteros  todos, considerando que sí lo son (los tres) debes definir y utilizar alguna cosa que solamente cumplan los naturales; o sea, que no cumpla ningún número no entero. Y, claro, esa cosa debes usarla, de alguna manera, con los tres números, debe afectar a los tres.

Una contradicción respecto de dicha cosa o condición (la que sea que puedas considerar) supondría la demostración del teorema.

*Si usas alguna cosa que cumplen los enteros y no aparece ninguna contradicción, eso no significa tampoco que sean enteros los tres; sólo significa que, quizá, la condición utilizada no sea lo suficientemente potente para poner de relieve que no pueden ser enteros. En este caso, como sabemos que está demostrado, podemos decir que sin el “quizá”, pues seguro que, si pasa eso, la condición no llega para demostrar lo que se quiere

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Cuando llego al tercer caso, cuando \( a^2+b^2>c^2 \) se me advierte de que mis razonamientos no son válidos porque aunque demuestre la desigualdad \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}   \) para tres enteros positivos, resulta, así lo afirman, que pueden elegir tres números reales cualesquiera en los que se produce la igualdad.

No; no se te advierte eso. Cuando has intentado probar esa desigualdad lo has hecho mal. Has usado argumentos totalmente incorrectos y se te ha indicado minuciosamente cuáles son y por que están mal. Todo eso sin mencionar para nada los números reales. Con eso queda claro que tus "demostraciones" no son tales.

Mis respuestas podrían haber terminado ahí. Pero, como "regalo" se te hace una observación: si en un intento de demostración no se usa de manera decisiva el carácter entero de los números que intervienen, de manera que son argumentos que podrían usarse para números reales, entonces seguro que no puede estar bien; porque la igualdad de Fermat si se puede satisfacer para números reales.

He intentado explicarte eso muchas veces, con ejemplos, de varias formas. Está claro que no lo has entendido. Yo no soy capaz de explicarlo mejor.

Pero lo que si debería de ser más fácil que entendieses es que puedes olvidarte de ese añadido, si lo que te crea es confusión; previamente han quedado señalados todos tus errores en tus intentos de prueba.

Saludos.

[minette]

Hola

En mi anterior respuesta 753 me limitaba a preguntar:

¿Alguien puede decir qué clase de números reales se admitían cuando vivía Fermat y formuló su famosa conjetura?

Saludos.

[feriva]

Hola

En mi anterior respuesta 753 me limitaba a preguntar:

¿Alguien puede decir qué clase de números reales se admitían cuando vivía Fermat y formuló su famosa conjetura?

Saludos.

Pues ya te digo, enteros y no enteros. También se sabía que, dentro de los no enteros, existían los irracionales, porque se demostró que raíz cuadrada de 2 es irracional en la época de Pitágoras, antes de Fermat.

Prácticamente era lo mismo que hoy, pero no se hablaba de “conjunto de los reales” porque la teoría de conjuntos no se había inventado; es más cuestión de nombres que otra cosa. O sea, eso no cambia nada de lo que te dice Luis, no afecta a las objeciones que te pone.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

En mi anterior respuesta 753 me limitaba a preguntar:

¿Alguien puede decir qué clase de números reales se admitían cuando vivía Fermat y formuló su famosa conjetura?

1) No es cierto que te limitases a preguntar eso. Previamente afirmabas que se te habían dicho una serie de cosas; alguna de tus afirmaciones eran inexactas o falsas. Por eso cabe señalar las falsas, como he hecho.

2) Sin ser un experto en historia de las matemáticas, en la época de Fermat y más allá del nombre que se les dieran, se conocían números enteros, racionales y "algunos" irracionales. En particular se conocían números reales que si satisfacían la ecuación de Fermat.

No obstante, no pierdas de vista que eso es irrelevante con respecto a todo lo que se te ha dicho sobre los errores de tus demostraciones. Si sigues dándole vueltas a eso, estarás perdiendo el tiempo.

Saludos.