Voy a hacer algo mejor, aunque sea largo. Voy a analizar (como lo hago para mí con cualquier problema) la herramienta que estás usando; quizá te dé ideas para tomar otro camino mejor en cuanto al ataque del intento de demostración; lo dejo en spoiler
Spoiler
Pongo un ejemplo sobre la marcha de una ecuación diofántica lineal:
\( 35x+30y=20
\)
Para que tenga solución, el máximo común divisor de los coeficientes, 35 y 30 en este caso (que es mcd=5) debe dividir al término independiente de la ecuación, que es 20; y se cumple.
Despejando cualquier sumando y sacando el factor común más grande se ve
\( 35x=20-30y\Rightarrow35x=5(4+6y)
\)
Y el factor común más grande, que no es otra cosa que el m.c.d., divide al coeficiente de x
(la afirmación inicial se puede demostrar formalmente y no es difícil, se basa en esto mismo).
Existe siempre al menos un factor común igual o más pequeño, el 1, pero, al ser el mínimo, sólo es el m.c.d. de (a.b) cuando los números “a”, y “b” son coprimos
Una vez que sabemos que van a existir soluciones, empezamos aplicando el algoritmo de Euclides. Pero si a uno le interesan estas cosas porque tiene pretensiones de intentar una demostración de algo relacionado, es obvio que uno no debe contentarse con conocerlo como una simple receta, hay que saber por qué funciona, hay que saber qué es; si no, ¿cómo vamos a poder deducir cosas relacionadas?
En primer lugar, intuitivamente, podemos pensar en dos segmentos largos de distinta longitud. Si vamos montando el segmento corto a lo largo del otro pueden pasar dos cosas: que al final nos sobre un trozo de ese segmento o no nos sobre nada, en cuyo caso el segmento corto dividiría al largo.
Supongamos que sobra un trozo “r”. Ese sobrante es el resto o residuo. Si ahora tomamos el resto y medimos con él, de la misma manera, el propio segmento corto que hemos utilizado como medida del largo, y si hecho eso también nos sobra, ese nuevo sobrante o resto será, obviamente, más corto que el segmento largo que estamos midiendo; por tanto, tenemos un residuo más pequeño que antes. La simple intuición nos hace ver que, repitiendo este proceso, llegaremos a que no nos sobre nada, o sea, a encontrar un trozo con el que medir en partes exactas al anteriormente usado; y eso trozo será una medida común para los dos segmentos iniciales que teníamos.
Escrito como teorema, el algoritmo de Euclides dice que dados dos enteros “a” y “b” (con a>b) y siendo “d” el máximo común divisor de ambos y “r” el sobrante de la división (el resto) ocurre que el máximo común divisor de los valores “b” y “r” tienen el mismo máximo común divisor “d”.
Demostrar esta afirmación es sencillo y mucho más fácil que intentar demostrar Fermat, desde luego; sera bueno intentar hacerlo, porque difícilmente podremos demostrar cosas complicadas si antes no demostramos primero lo sencillo:
Sea “d” el m.c.d. de “a” y “b”; o sea \( (a,b)=d \)
Entonces podemos escribir “a” y “b” en función de ese divisor común:
\( a=k_{1}d
\), \( b=k_{2}d
\)
Por otra parte, al dividir “a” entre “b”, tenemos esto
*\( a=b\cdot cociente+resto
\) o sea \( a=b\cdot q+r
\)
Y sustituyendo es
\( k_{1}d=b=k_{2}d\cdot q+r
\)
\( d(k_{1}-k_{2}q)=r
\)
Lo que implica que “d” es divisor de “r”.
Como “d” es también divisor de “b”, entonces “d” es un divisor común de “b” y “r”. Ahora bien, esto todavía no demuestra el teorema del todo, porque no se ha demostrado aún que sea el divisor más grande de ambos, el máximo, que sería el propio “d”; y que es lo que se va a demostrar seguidamente:
Llamemos \( d_2 \), entonces, a ese divisor común de “b” y “r”; es decir: \( (b,r)=d_{2}
\)
Análogamente a como hemos hecho antes, escribimos “b” y “r” en función del divisor común:
\( b=m_{1}d_{2}
\) y \( r=m_{2}d_{2}
\)
Yéndonos más arriba, a donde está el asterisco, es decir, a esta expresión \( a=b\cdot q+r
\), sustituimos:
\( a=m_{1}d_{2}\cdot q+m_{2}d_{2}
\)
Donde vemos que \( d_2 \) es común a los dos sumandos y, por tanto, divisor de “a”.
Entonces, como también es divisor de \( b \), ocurre que si divide a los dos es porque divide a su máximo común divisor, pues es lo que tienen de común ambos en cuanto a factores; o sea, \( d_2 \) es divisor de \( d \).
Pero, al mismo tiempo, \( d
\) es divisor de \( d_2 \), porque es divisor de “b” y “r” que tienen de divisor común a “d”.
Luego \( d=d_2 \); ya que, dos números diferentes no pueden ser divisores a la vez uno del otro; por ejemplo, 5 divide a 10, pero 10 no divide a 5; obviamente, porque es mayor.
...
Demostrado esto, vamos a ver un ejemplo práctico tomando dos números cualesquiera: 210 y 77, que, de antemano, podemos ver que tienen de m.c.d.= 7, porque \( 210=2*3*5*{\color{blue}7}
\) y \( 77={\color{blue}7}*11
\)
Empezamos haciendo lo dicho, dividimos \( 210/77
\), toca a 2 y el resto es 56.
Por lo demostrado en el teorema, 77 y 56 tienen que tener el mismo m.c.d; y en efecto así es, 7 divide a ambos y no hay un divisor común más grande.
Luego tenemos estas parejas con el mismo mcd: (210,77) y (77,56)
Seguidamente dividimos 77 entre 56.
Toca a 1 y el resto se ve a primera vista \( 77-56=21 \)
Una vez más, por lo ya demostrado, 56 y 21 tienen el mismo m.c.d.
Tenemos estas parejas con el mismo m.c.d: (210,77) y (77,56) y (56,21)
Y ahora dividimos 56 entre 21, toca a 2 y el resto es 14.
Luego tenemos estas parejas con mcd=7: (210,77) y (77,56) y (56,21) 7 (21,14)
Seguimos dividiendo 21 entre 14, que toca a 1 y el resto es 7; resultando que este último resto es el m.c.d de todas las parejas; evidentemente, al haber llegado aquí, la siguiente división, 14 entre 7, dará resto cero y el proceso acabará.
...
Volvamos a la ecuación que ponía al principio:
\( 35x+30y=20
\)
Como en el ejemplo, procedemos dividiendo 35 entre 30, la primera pareja de números. El cociente es 1 y el resto es obviamente 5; lo expresamos según el algoritmo de la división:
\( 35=30\cdot1+5
\)
Tenemos las parejas (35,30) y (30,5) con m.c.d=5; o sea, que ya nos ha salido el resto que tiene el valor del m.c.d.
Dividimos 30 entre 5 y el resto es cero
\( 30=5\cdot6+0
\)
luego, como ya se ha visto en el ejemplo anterior, al ocurrir esto, el m.c.d coincide con este último divisor utilizado, 5; claro, pues todas las parejas tienen el mismo m.c.d., pero al llegar aquí es cuando lo vemos (sin necesidad de descomposciones previas, digo).
Tomando entonces esta última igualdad (la que tiene el resto igual al m.c.d) ésta
\( 35=30\cdot1+5
\)
despejamos el resto y ya vemos los coeficientes de “x” e “y” de 35 y 30:
\( 5={\color{blue}35}\cdot{\color{red}1}+({\color{red}-1}){\color{blue}30}
\) en este caso hemos acabado enseguida.
(en casos con más pasos, como en el del ejemplo en que tomaba los números 210,77, habría que ir sustituyendo la expresión algebraica de los restos, -desde la última igualdad, la que tiene por divisor el m.c.d- hasta llegar a donde hemos empezado, para así encontrar los coeficientes de forma similar a como se hace en este sencillo caso; pero con cuidado de no perderse uno, siempre mirando a qué números queremos llegar).
Lo que hay que hacer ahora, seguidamente, es que el término independiente (en este caso 5, el que no está multiplicado por coeficientes -los cuales he señalado en rojo-) sea el mismo de la ecuación diofántica; que es 20. Luego multiplicamos toda la igualdad por 4 para conseguir lo dicho:
\( 5\cdot4={\color{blue}35}\cdot{\color{red}1\cdot4}+({\color{red}-1\cdot4}){\color{blue}30}
\)
Y ahora vemos que los números rojos, los coeficientes, son “x” e “y”, ya que están acompañados de los factores 35 y 30 de la ecuación:
\( 20={\color{blue}35}{\color{red}x}+{\color{blue}30}{\color{red}y}
\)
Luego unas soluciones particulares son:
\( x_{0}=4
\)
\( y_{0}=-4
\)
Demostrar cuál es la forma de las soluciones generales es muy sencillo, basta plantear el sistema de ecuaciones siguiente:
\( ax+by=c
\)
\( ax_{0}+by_{0}=c
\)
Claro, porque \( x_{0}
\) es también “x”, es uno de los valores de “x”, y lo mismo pasa con “y”, así que ambas expresiones darán un mismo resultado “c”.
Restando a la primera ecuación la segunda, y sacando factores comunes “a” y “b”, tenemos:
\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=c-c
\)
\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0
\)
y de ahí llegamos a
\( a(x-x_{0})=-b(y-y_{0})
\)
o lo que es igual
\( a(x-x_{0})=b(y_{0}-y)
\)
Ahora dividimos entre el m.c.d de “a” y “b” (al que llamamos “d”) a los dos lados:
\( \dfrac{a}{d}(x-x_{0})=\dfrac{b}{d}(y_{0}-y)
\)
Al hacer esto, los valores “a” y “b” han sido divididos por todos sus factores comunes, así que “a/d” y “b/d” son coprimos.
Entonces, si ahora dividimos entre (a/b) a los dos lados, nos queda
\( (x-x_{0})=\dfrac{(\dfrac{b}{d})(y_{0}-y)}{(\dfrac{a}{d})}
\)
Como \( (x-x_{0})
\) es un entero, el otro miembro de la igualdad también lo es, y al no dividir “a/d” a “b/d”, por ser coprimos, tiene que dividir a \( (y_{0}-y)
\) para que \( (x-x_{0})
\) sea entero.
Esto implica, naturalmente, que \( (y_{0}-y)
\) se pueda expresar en función de este divisor suyo \( \dfrac{a}{d}
\) multiplicado por un cierto entero “k”:
\( y_{0}-y=k\cdot\dfrac{a}{b}
\)
de donde despejando tenemos el valor de “y”:
\( y=y_{0}-k\cdot\dfrac{a}{d}
\)
Con el mismo razonamiento, siguiendo los pasos análogos, llegaremos a obtener “x”:
\( {\color{blue}x=x_{0}+\dfrac{b}{d}k}
\)
En el caso de nuestra ecuación sería
\( x=x_{0}+\dfrac{30}{5}k
\)
\( y=y_{0}-\dfrac{35}{5}k
\)
\( x=4+6k
\)
\( y=-4-7k
\)
Y así funciona básicamente (se podría decir más) lo que es una ecuación lineal diofántica. No te hago ninguna crítica “técnica” en esta ocasión, simplemente reflexiona tú lo que quieras. Tampoco estoy dando “una clase” a nadie, simplemente analizo y razono en voz alta (con los aciertos y con los errores que pueda tener). Pero una cosa es cierta, estas cosas que usas se basan en unas demostraciones previas y fíjate en qué argumentos se utilizan; ¿se habla de mayores, menores, signos? Nada o casi nada; y las demostraciones ésas no me las he inventado yo, las he leído. El material que se usa para demostrarlas es divisibilidad, divisibilidad y más divisibilidad; y eso es lo que, a la vez, hay que plantear para poder demostrar cosas con ellas, con las ecuaciones diofánticas.
…
Y, aparte de esto, algo más para reflexionar:
\( 5>3 \); una desigualdad cualquiera.
Elige ahora cualquier tanda de números, arbitrariamente. Elige una segunda tanda, también arbitrariamente.
Toma estas dos cosas \( 5, \) y \( 3, \) y, seguidamente, del mismo arbitrio modo, ponles detrás las tandas de números; voy hacerlo a ver qué pasa:
\( 5,1123221 \)
\( 3,9999999998888 \)
Por casualidad le he puesto los números más grandes al más pequeño, 3, y además son más números, pero sigue siendo menor que el otro; luego no puede cambiar la desigualdad este hecho.
