Autor Tema: Conjuntos Frontera y Homeomorfismo

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16 Julio, 2021, 04:59 am
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Ariel Fernández

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Buenas noches a todos. Nuevamente tengo aquí una serie de afirmaciones donde debo justificar su falsedad o veracidad:

 a) ¿Es verdad que la frontera de un conjunto A está formada necesariamente por
puntos de acumulación de A?
b) Suponga que x es un punto frontera de A pero no pertenece a A ¿es
necesariamente punto de acumulación de A?
c) Sea \( R^3 \) con la topología usual, dado el punto (1, 0, 1) \( ∈ R^3 \) hallar su frontera.
d) Hallar la frontera de \( R^3 \)
con la topología usual.
e) Analizar si son homeomorfos los conjuntos \(  A=[0,1) \) y \( B=\{(x,y)\in{R^2}/0<x\leq{1}\wedge y=sen (1/x)\} \)

Lo que pienso:
a) Es falso porque un punto aislado es un punto frontera pero no necesariamente  de acumulación. Si tengo el conjunto \( A=(0,1)U \{2\} \) entonces \( \{2\} \) es un punto frontera porque todo abierto que contiene a dicho punto tiene intersección no vacía tanto con A (tendría en común ese único punto) como con su complemento. Pero no es punto de acumulación porque todo abierto U que contiene a \( \{2\}  \)menos dicho punto, tiene intersección vacía con A.  (En R con la topo usual)

b) Mi intuición me lleva a pensar que si es punto frontera entonces todo abierto que contiene a dicho punto tiene intersección no vacía con A y con su complemento. Luego, no puede ser un punto aislado porque al no pertenecer el punto al conjunto A , entonces tendría intersección vacía con él, por tanto debe ser de acumulación. (Me guío del hecho de que la definición de punto frontera con el de acumulación solo varía en que en un caso el entorno incluye al punto y en el otro lo excluye).

c) Su frontera sería el propio punto \( (1,0,1) \). Cualquier vecindad alrededor de un punto distinto al mismo tiene intersección vacía con el complemento.

d) Su frontera sería vacía, porque la intersección con el complemento sería vacía

e) La verdad que he intentado ver si hay alguna propiedad topológica que se cumpla en un espacio y no en el otro para decir que no son homeomorfos, pero de momento no me está funcionando. Por ejemplo el conjunto A no es compacto, pero B tampoco lo es (por cierto veo que el conjunto B es una restricción de la curva seno del topólogo). A es conexo y B también. Si quito un punto de A tengo dos componentes conexas, lo mismo sucede con B. Se me acaban los invariantes topológicos (¿la cardinalidad? ¿ el genero?). Si son homeomorfos debería dar el homeomorfismo, pero sé que no  hay un método general que permita hallarlo, por eso es siempre más difícil probar que dos espacios son homeomorfos que el que no lo son.
Saludos

16 Julio, 2021, 11:08 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas noches a todos. Nuevamente tengo aquí una serie de afirmaciones donde debo justificar su falsedad o veracidad:

 a) ¿Es verdad que la frontera de un conjunto A está formada necesariamente por
puntos de acumulación de A?
b) Suponga que x es un punto frontera de A pero no pertenece a A ¿es
necesariamente punto de acumulación de A?
c) Sea \( R^3 \) con la topología usual, dado el punto (1, 0, 1) \( ∈ R^3 \) hallar su frontera.
d) Hallar la frontera de \( R^3 \)
con la topología usual.
e) Analizar si son homeomorfos los conjuntos \(  A=[0,1) \) y \( B=\{(x,y)\in{R^2}/0<x\leq{1}\wedge y=sen (1/x)\} \)

Lo que pienso:
a) Es falso porque un punto aislado es un punto frontera pero no necesariamente  de acumulación. Si tengo el conjunto \( A=(0,1)U \{2\} \) entonces \( \{2\} \) es un punto frontera porque todo abierto que contiene a dicho punto tiene intersección no vacía tanto con A (tendría en común ese único punto) como con su complemento. Pero no es punto de acumulación porque todo abierto U que contiene a \( \{2\}  \)menos dicho punto, tiene intersección vacía con A.  (En R con la topo usual)

Bien. También todos los puntos del conjunto \( A=(0,1) \) son de acumulación, pero ninguno es frontera.

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b) Mi intuición me lleva a pensar que si es punto frontera entonces todo abierto que contiene a dicho punto tiene intersección no vacía con A y con su complemento. Luego, no puede ser un punto aislado porque al no pertenecer el punto al conjunto A , entonces tendría intersección vacía con él, por tanto debe ser de acumulación. (Me guío del hecho de que la definición de punto frontera con el de acumulación solo varía en que en un caso el entorno incluye al punto y en el otro lo excluye).

Está bien. Si \( x \) es un punto frontera, para todo abierto \( U \) tal que \( x\in U \) se cumple que \( U\cap A\neq\emptyset \). Como \( x\not\in A \), entonces en realidad para todo abierto \( U \) tal que \( x\in U \) se cumple que \( U\cap A-\{x\}\neq\emptyset \) y así \( x \) es un punto de acumulación de \( A \).

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c) Su frontera sería el propio punto \( (1,0,1) \). Cualquier vecindad alrededor de un punto distinto al mismo tiene intersección vacía con el complemento.

Bien.

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d) Su frontera sería vacía, porque la intersección con el complemento sería vacía

Bien.

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e) La verdad que he intentado ver si hay alguna propiedad topológica que se cumpla en un espacio y no en el otro para decir que no son homeomorfos, pero de momento no me está funcionando. Por ejemplo el conjunto A no es compacto, pero B tampoco lo es (por cierto veo que el conjunto B es una restricción de la curva seno del topólogo). A es conexo y B también. Si quito un punto de A tengo dos componentes conexas, lo mismo sucede con B. Se me acaban los invariantes topológicos (¿la cardinalidad? ¿ el genero?). Si son homeomorfos debería dar el homeomorfismo, pero sé que no  hay un método general que permita hallarlo, por eso es siempre más difícil probar que dos espacios son homeomorfos que el que no lo son.

Si todas las propiedades topológicas coinciden. ¿Será que si son homeomorfos?. Es cierto que a veces es difícil explicitar el homeomorfismo, pero en este caso es muy natural, por la propia definición del conjunto \( B \). Como paso intermedio veamos que \( B \) es homeomorfo a \( (0,1] \). Definie:

\( f:(0,1]\to B,\qquad f(x)=(x,sin(1/x)) \)

Comprueba que cumple las condiciones de homeomorfismo (su inversa es \( f^{-1}(x,y)=x \) para \( (x,y)\in B \))

Pero el ejercicio pide homeomorfo a \( [0,1) \) no a \( (0,1] \). Pero esto no es problema. ¿Sabes terminar?.

Saludos.

16 Julio, 2021, 03:52 pm
Respuesta #2

Ariel Fernández

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Si todas las propiedades topológicas coinciden. ¿Será que si son homeomorfos?. Es cierto que a veces es difícil explicitar el homeomorfismo, pero en este caso es muy natural, por la propia definición del conjunto B. Como paso intermedio veamos que B es homeomorfo a (0,1]. Definie:

f:(0,1]→B,f(x)=(x,sin(1/x))

Comprueba que cumple las condiciones de homeomorfismo (su inversa es f−1(x,y)=x para (x,y)∈B)

Pero el ejercicio pide homeomorfo a [0,1) no a (0,1]. Pero esto no es problema. ¿Sabes terminar?.
Buenísimo. Me quedó claro la construcción de ese homeomorfismo.

Ya que un homeomorfismo es una relación de equivalencia entonces cumple la propiedad transitiva, entonces me figuro que si  \( (0,1] \) es homeomorfo a \( B \) y \( [0,1) \) es homeomorfo a \( (0,1] \) entonces\(  [0,1) \) es también hemeomorfo a \( B. \) Sé que esos intervalos son heomorfos pero de momento no me recuerdo cómo construir ese homeomorfismo entre (0,1] y \( [0,1) \). Cuál podría ser? Pienso en la sencilla \( f(x)=x \) pero no sería sobreyectiva ahí...

Saludos

16 Julio, 2021, 04:20 pm
Respuesta #3

Ariel Fernández

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Y de pasada me gustaría preguntar lo siguiente: qué tips podríamos tener en cuanta para poder construir un homeomorfismo en general? Es algo que sería muy útil poder tenerlo. Si bien no hay un método, al menos algunos tips generales, ya que a mí al menos siempre me cuesta pensar en cómo comenzar a construir esa función homeomorfismo

Saludos

18 Julio, 2021, 12:13 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Ya que un homeomorfismo es una relación de equivalencia entonces cumple la propiedad transitiva, entonces me figuro que si  \( (0,1] \) es homeomorfo a \( B \) y \( [0,1) \) es homeomorfo a \( (0,1] \) entonces\(  [0,1) \) es también hemeomorfo a \( B. \)

No digas "homeomorfismo" es una relación de equivalencia, es confuso. Di la relación "ser homeomorfos" es de equivalencia.  ;)

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Sé que esos intervalos son heomorfos pero de momento no me recuerdo cómo construir ese homeomorfismo entre (0,1] y \( [0,1) \). Cuál podría ser? Pienso en la sencilla \( f(x)=x \) pero no sería sobreyectiva ahí...

Una aplicación muy muy sencilla que invierta el intervalo. Que lleve el \( 0 \) en el \( 1 \) y viceversa. ¡Inténtalo!.

Y de pasada me gustaría preguntar lo siguiente: qué tips podríamos tener en cuanta para poder construir un homeomorfismo en general? Es algo que sería muy útil poder tenerlo. Si bien no hay un método, al menos algunos tips generales, ya que a mí al menos siempre me cuesta pensar en cómo comenzar a construir esa función homeomorfismo

No sabría decirte una norma general. Se trata de una función que lleve un conjunto en el otro respetando sus peculiaridades; por ejemplo en el caso de un intervalo \( [a,b) \) en otro \( (c,d] \), el lado "abierto" (que termina en \( b \)) tiene que ir sobre el lado abierto (que empieza en \( c \))

Intuitivamente ese homemorfismo representa como llevarías un espacio sobre el otro sin "romperlo".

Cuando tenga más tiempo puedo ponerte algún ejemplo. Pero sería bueno que resolvieses el caso sencillo que queda pendiente en este hilo.

Saludos.

18 Julio, 2021, 01:10 am
Respuesta #5

Ariel Fernández

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Hola Luis
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No digas "homeomorfismo" es una relación de equivalencia, es confuso. Di la relación "ser homeomorfos" es de equivalencia

Claro, eso quise decir. Me expresé mal. Como siempre agradezco tus correcciones en la formalidad con que nos expresamos que, como sabemos, es central en nuestra área.

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Una aplicación muy muy sencilla que invierta el intervalo. Que lleve el 0 en el 1 y viceversa. ¡Inténtalo!.

Sí, ayer lo que hice fue dibujar el plano cartesiano ubicando  el intervalo [0,1) en el eje de abscisas y en el eje de las ordenadas el intervalo (0,1] para procurar imaginarme una función desde un intervalo a otro. Por las estudios anteriores que he tenido, sabía que debía ser una función afín. Tracé un segmento que una el punto \( (0,0) \) con el \( (1,1) \) y ahí traté de ver con qué función se correspondía. Como ese segmento esta incluido en la recta de ecuación\(  f(x)=x \) pensé que podría ser esa. Pero claramente hay un problema con \( f(0)=0 \) que no estaría en\(  (0,1] \). Luego me doy cuenta de que si unía los puntos \( (0,1) \) con \( (1,0) \) obtenía un segmento que esta incluido en la recta de ecuación\(  f(x)=-x+1 \). Y ahí podemos decir que está función es continua, biyectiva y con inversa también continua. Ahora \( f(0)=1 \wedge1\in{(0,1]} \). ¿Puede ser?
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Intuitivamente ese homemorfismo representa como llevarías un espacio sobre el otro sin "romperlo".
Bien. Me pareció genial esa definición. ¿Podríamos decir que, para  empezar a construir un homeomorfismo entre un espacio topológico y otro es útil pensar en una función cuya imagen del dominio sea el codominio (justamente para que la función sea sobreyectiva)? Luego claro estaría el problema de analizar si la inversa también es continua... no?
Saludos 

19 Julio, 2021, 09:07 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Sí, ayer lo que hice fue dibujar el plano cartesiano ubicando  el intervalo [0,1) en el eje de abscisas y en el eje de las ordenadas el intervalo (0,1] para procurar imaginarme una función desde un intervalo a otro. Por las estudios anteriores que he tenido, sabía que debía ser una función afín. Tracé un segmento que una el punto \( (0,0) \) con el \( (1,1) \) y ahí traté de ver con qué función se correspondía. Como ese segmento esta incluido en la recta de ecuación\(  f(x)=x \) pensé que podría ser esa. Pero claramente hay un problema con \( f(0)=0 \) que no estaría en\(  (0,1] \). Luego me doy cuenta de que si unía los puntos \( (0,1) \) con \( (1,0) \) obtenía un segmento que esta incluido en la recta de ecuación\(  f(x)=-x+1 \). Y ahí podemos decir que está función es continua, biyectiva y con inversa también continua. Ahora \( f(0)=1 \wedge1\in{(0,1]} \). ¿Puede ser?

Bien.

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¿Podríamos decir que, para  empezar a construir un homeomorfismo entre un espacio topológico y otro es útil pensar en una función cuya imagen del dominio sea el codominio (justamente para que la función sea sobreyectiva)? Luego claro estaría el problema de analizar si la inversa también es continua... no.

Si. ¿Serías capaz de definir un homeomorfismo entre un cuadrado y un círculo?. Por ejemplo, entre:

\( A=\{(x,y)\in \Bbb R^2|-1\leq x,y\leq 1\} \) (cuadrado)
\( B=\{(x,y)\in \Bbb R^2|x^2+y^2\leq 1\} \) (círculo)

Saludos.

19 Julio, 2021, 11:08 pm
Respuesta #7

Ariel Fernández

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Si. ¿Serías capaz de definir un homeomorfismo entre un cuadrado y un círculo?. Por ejemplo, entre:

\( A=\{(x,y)\in \Bbb R^2|-1\leq x,y\leq 1\} \) (cuadrado)
\( B=\{(x,y)\in \Bbb R^2|x^2+y^2\leq 1\} \) (círculo)

Había escuchado que para construir el homeomorfismo entre la circunferencia y el cuadrado se debía de tener en cuenta la proyección radial, y se podría considerar la función \(  f(x)=\dfrac{x}{|x|} \). Pero en este caso no tengo la circunferencia sino el círculo y el cuadrado más su interior, así que la verdad me faltaría alguna pista o guía :laugh:

20 Julio, 2021, 10:36 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Había escuchado que para construir el homeomorfismo entre la circunferencia y el cuadrado se debía de tener en cuenta la proyección radial, y se podría considerar la función \(  f(x)=\dfrac{x}{|x|} \). Pero en este caso no tengo la circunferencia sino el círculo y el cuadrado más su interior, así que la verdad me faltaría alguna pista o guía :laugh:

La idea se que lleves cada cuadrado interior de semilado \( d \) a la circunferencia interior de radio \( d \):

\( f(x,y)=\dfrac{(x,y)}{\|(x,y)\|_2}\cdot \|(x,y)\|_\infty \)

donde:

\( \|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2} \)
\( \|(x,y)\|_\infty=max\{|x|,|y|\} \)

Un gráfico que ilustra el homeomorfismo. Moviendo el punto rojo en el cuadrado se ve su imagen en rojo en el círculo.


Saludos.