Autor Tema: Definición de ecuación diferencial

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09 Junio, 2015, 04:04 am
Respuesta #10

Alejandro Caballero

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¡Muchas gracias! Ya entiendo mi confusión.

La \( F \) es \( F(x',y',x,y,t)=(x'-5xyt,y'-4x-yt^2) \) y no puedes pensar que operas la solución \( (x(t), y(t)) \) vectorialmente.

Al considerar como incógnitas de la EDO las funciones vectoriales, para mi no tenía demasiado sentido que el rango no fuera \( \mathbb{R}^m \), porque yo las interpretaba como una EDO puramente y no como un sistema, de modo que como mucho yo veía \( m \) ecuaciones con una única incógnita vectorial.

Por decirlo de alguna manera sencillamente interpretaba que las funciones incógnitas pueden ser de varias variables siempre y cuando sean vectoriales (el caso más general de EDO, de lo contrario serían EDP). Pero si aún hago más general mi definición de EDO y admito el rango de las soluciones y la EDO diferentes, puedo interpretar EDO y sistema de EDOS de la misma manera, por eso estaba tan perdido con lo que decíais.

Con productos escalares y cosas similares me quería referir a funciones que involucraran de forma independiente a las distintas coordenadas: cosa que yo no había considerado porque para mi esa era la definición de EDO y no de sistema, de modo que yo podría considerar un sistema de EDOS que tienen rango en \( \mathbb{R}^m \), lo cual en realidad es una tontería porque a la práctica son EDOS independientes, en mi caso.

Creo que toda la confusión se debe en que para mí las EDOS también incluían EDOS triviales de varias variables. Y quizá es atípico y se entendió que eran sistemas por no estar definidas en rango real. Y para mí como no eran sistemas no entendía nada.

De todos modos la parte que realmente me preocupaba era la parte de la definición.  ¿Quieres decir que mi problema es que intento identificar una EDO con un conjunto? ¿Eso no lo hacen los propios autores de los libros al decir que una EDO es una función? Si ellos afirman que es una función que da cero cuando le pasas unas ciertas derivadas sucesivas, son ellos los que están imponiendo esa definción un tanto engorrosa que yo he expresado.

Por otra parte entiendo lo que me has explicado: una EDO en realidad es sencillamente el problema que te planteas al tratar de ver si existirán funciones (y cuáles) verificando una cierta relación con sus derivadas. En ese sentido la EDO no es ninguna función, ni siquiera es un concepto matemático en si mismo. Y me parece algo muy intuitivo, porque en realidad es lo que quieres. Y cuando escribes a la práctica una edo como ecuación, realmente estás imponiendo algo que puede no tener sentido, pero ese caso no es que no exista la EDO, es sencillamente que no hay ninguna función tal y como la estás buscando. Así que quizás la mejor definición sea no dar definición alguna.

El problema es que yo creo que cuando están identificando una EDO con una función ya están metiendo conceptos conjuntistas de por medio y deberían ser cuidadosos y claros con lo que están definiendo. Porque si el lector interpreta que algo no es EDO a menos que tenga solución, siendo que estás imponiendo que la tenga, ¡no creo que en ese caso sea problema del lector! En tu libro ha sido en el único en que he encontrado el matiz de que la función que verifica eso suele ser desconocida: suele ser, en ningún momento niegas su existencia, porque la has presupuesto. Y además has añadido que es una "expresión de ese estilo", lo que me lleva a pensar que una expresión de ese estilo pero que no sea cierta para ninguna función, también será una EDO. En cualquier caso pienso que llevas razón cuando dices que es más natural no asociar ningún conjunto, porque para que tenga coherencia del todo si se opta por vincularlo a un conjunto, de algún modo es algo basante artificioso y realmente no es necesario.

Quizás es que yo leo las cosas muy al pie de la letra, pero cuando me encuentro con una definición conjuntista entiendo que es lo que hay que hacer (amén de buscar después la motivación real). ¿Por qué recurrir a definiciones que se quedan a caballo entre una definición conjuntista formal y la idea del problema de encontrar una solución?

09 Junio, 2015, 02:30 pm
Respuesta #11

Carlos Ivorra

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De todos modos la parte que realmente me preocupaba era la parte de la definición.  ¿Quieres decir que mi problema es que intento identificar una EDO con un conjunto?

No sé si eso es exactamente el problema. Eso puedes hacerlo sin más que llamar ecuación diferencial a la función F que la define (presuponiendo un orden en sus variables que determine qué variable tiene que sustituirse luego por la variable independiente t, y cuáles por las derivadas sucesivas de las incógnitas). Por cierto, se me ha olvidado varias veces comentarte que, si quieres una definición completa, estás olvidando la posibilidad de que la ecuación tenga parámetros en su definición, que es importante a la hora de demostrar teoremas sobre que las soluciones son funciones continuas respecto de los parámetros.

¿Eso no lo hacen los propios autores de los libros al decir que una EDO es una función? Si ellos afirman que es una función que da cero cuando le pasas unas ciertas derivadas sucesivas, son ellos los que están imponiendo esa definción un tanto engorrosa que yo he expresado.

Lo que pasa ahí es que si uno va a escribir algo sobre ecuaciones diferenciales, de algún modo tiene que decirle al lector qué es eso de una ecuación diferencial. Pero en la práctica, luego no es necesaria ninguna definición formal de ecuación diferencial para enunciar con rigor los teoremas que demuestran sobre ellas. Así que cada autor puede explicar lo que es una ecuación como más o menos considere más claro y oportuno, pero en realidad importa poco lo que diga.

Por otra parte entiendo lo que me has explicado: una EDO en realidad es sencillamente el problema que te planteas al tratar de ver si existirán funciones (y cuáles) verificando una cierta relación con sus derivadas. En ese sentido la EDO no es ninguna función, ni siquiera es un concepto matemático en si mismo.

Sí, pero esto ya no es una discusión objetiva sobre lo que es o lo que no es una ecuación diferencial. Simplemente se trata de cómo la presenta uno en un libro. Si uno quiere decir que una ecuación diferencial es una función, pues puede hacerlo, y es coherente. Otra cosa es que realmente haga falta hacerlo o, que si uno pone una definición así, realmente importe en algo determinar qué cae dentro o qué cae fuera de esa definición. Lo que realmente importa es lo que prueban los teoremas que se demuestren sobre tales ecuaciones diferenciales, y eso no deja lugar a ambigüedades.

Y me parece algo muy intuitivo, porque en realidad es lo que quieres. Y cuando escribes a la práctica una edo como ecuación, realmente estás imponiendo algo que puede no tener sentido, pero ese caso no es que no exista la EDO, es sencillamente que no hay ninguna función tal y como la estás buscando. Así que quizás la mejor definición sea no dar definición alguna.

Ésa es mi opinión.

El problema es que yo creo que cuando están identificando una EDO con una función ya están metiendo conceptos conjuntistas de por medio y deberían ser cuidadosos y claros con lo que están definiendo. Porque si el lector interpreta que algo no es EDO a menos que tenga solución, siendo que estás imponiendo que la tenga, ¡no creo que en ese caso sea problema del lector! En tu libro ha sido en el único en que he encontrado el matiz de que la función que verifica eso suele ser desconocida: suele ser, en ningún momento niegas su existencia, porque la has presupuesto. Y además has añadido que es una "expresión de ese estilo", lo que me lleva a pensar que una expresión de ese estilo pero que no sea cierta para ninguna función, también será una EDO.

Pero si te fijas, en mi libro esa "definición" no aparece como tal: "Definición 7.12: Llamaremos ecuación diferencial a ..." No. Simplemente estás citando la introducción al capítulo sobre ecuaciones diferenciales, donde explico informalmente el propósito del capítulo. Pero nunca pretendí que un lector se pusiera a tratar de acotar el alcance exacto de esa "definición". En tal caso, expresiones como "una expresión de ese estilo" serían inadmisiblemente ambiguas. Pero no era necesario ser preciso ahí porque los teoremas que vienen luego son totalmente precisos sin necesidad de apoyarse en ninguna definición de ecuación diferencial.

Quizás es que yo leo las cosas muy al pie de la letra, pero cuando me encuentro con una definición conjuntista entiendo que es lo que hay que hacer (amén de buscar después la motivación real).

Es que es lo normal.

¿Por qué recurrir a definiciones que se quedan a caballo entre una definición conjuntista formal y la idea del problema de encontrar una solución?

Pues simplemente porque en este caso no es necesaria ninguna definición general de ecuación diferencial a la hora de enunciar teoremas rigurosos sobre ellas, pero al mismo tiempo uno que tenga que explicar esos teoremas tiene que explicar qué son esas ecuaciones diferenciales de las que va a hablar. Si uno quisiera escribir un libro asquerosamente formal y riguroso, sin ninguna concesión a la comprensión del lector, podría pasar por el tema de ecuaciones diferenciales sin nombrar las palabras "ecuación diferencial" en ningún momento y sin que formalmente se echara en falta el concepto. Los teoremas dirían cosas como "dadas estas funciones que cumplen esto, existe otra función que cumple esto otro", o "si esta función cumple con sus derivadas esta igualdad, entonces es única y es continua respecto de tales parámetros, etc.

10 Junio, 2015, 01:52 am
Respuesta #12

Alejandro Caballero

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¿Cómo podría definir parámetros? ¿No puedo considerar un parámetro fijado y una edo para cada parámetro?

¡Muchas gracias! Ahora ya entiendo todo lo demás.

10 Junio, 2015, 10:00 am
Respuesta #13

Carlos Ivorra

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¿Cómo podría definir parámetros? ¿No puedo considerar un parámetro fijado y una edo para cada parámetro?

Así no podrías enunciar los teoremas de dependencia continua respecto de los parámetros. Tienes que incluir los parámetros como variables de la función F que define la EDO. Mira por ejemplo el teorema 6.8 de mi libro de análisis, que trata el caso de ecuaciones de primer orden, pero lo puedes generalizar. Ahí se considera una función f que depende de la variable t (que va a ser la variable independiente), las variables \( y_1,\ldots, y_n \) (que serán las n coordenadas de la solución de la ecuación diferencial) y de un vector \( \mu \) de parámetros. Y se demuestra entonces que la solución de la ecuación diferencial es de la forma \( y(t, \mu) \), de modo que, como función conjunta de t y de los parámetros, es de clase \( C^1 \) y, más en general, que tiene el mismo grado de derivabilidad que la f inicial.

10 Junio, 2015, 04:36 pm
Respuesta #14

Alejandro Caballero

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