[hector]

Por aquí puedes colocar dudas, comentarios y resolución de ejercicios del minicurso Integral de Riemann, Saludos..

Tarea 1. (Activa tu ingenio):
i) Enunciar la propiedad de comparación para ínfimo.
ii) Terminar la demostración del Lema 1
iii) Demostrar el Lema 2
iv) Terminar la demostración de corolario del Lema 1
v) Probar la inclusión del corolario

Evidentemente \( C\subset{A+B} \) (¿Por qué?)

Ánimo, eres y serás excelente.

[Kindred]

Cuelgo aquí las soluciones que propongo para los diferentes apartados y también mis respectivas dudas para algunos de ellos;

i) Enunciar la propiedad de comparación para ínfimo

Spoiler

Dados dos subconjuntos \( A\neq{\emptyset} \) y \( B\neq{\emptyset} \) pertenecientes ambos a \( \mathbb{R} \) tales que \( A\subset{B} \)

Si \( B \) está acotado inferiormente, entonces \( A \) lo está y además se cumple que \( inf(A)\geq{inf(B)} \)

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ii) Terminar la demostración del Lema 1

Demostración de \( inf(A + B)= inf(A) + inf(B) \)

Spoiler

puesto que \( A \) y \( B \) están acotados consideremos  \( inf(A)=a \) y \( inf(B)=b \), por definición \( \forall{x}\in{A}\Rightarrow{x\geq{a}} \wedge \forall{y}\in{B}\Rightarrow{y\geq{b}} \) luego \( x+y\geq{a+b} \) y por tanto \( a+b \) por definición es cota inferior de \( x+y\in{A+B} \)

ahora veamos que tal cota inferior es la máxima

dado \( e>0, \exists{x_0}\in{A}\wedge\exists{y_0}\in{B}| a+ e/2 > x_0 \wedge b + e/2>y_0 \) lo que implica que \( a+b+e>x_0 + y_0 \) y por lo tanto, por definición, \( a+b \) es cota inferior máxima de \( A+B \), i.e., \( inf(A+B)=inf(A)+inf(B) \)

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Demostración \( sup(c\cdot{A})=c\cdot{sup(A)} \) si \( c\geq{0}, c\in{\mathbb{R}} \)

Spoiler

Teniendo en cuenta que \( sup(A)=a | a\geq{x}, x\in{A} \) tenemos que siendo \( c\cdot{a}= c\cdot{sup(A)} \) y \( x\cdot{c}\in{c\cdot{A}} \) y  \( a\cdot{c}\geq{x\cdot{c}} \) entonces \( a\cdot{c}=sup(c\cdot{A})=c\cdot{sup(A)} \)

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Demostración \( inf(c\cdot{A})=c\cdot{inf(A)}, c\in{\mathbb{R}} | c\geq{0}  \)

Spoiler

Teniendo en cuenta que \( inf(A)=a  | a\leq{x}, x\in{A} \) tenemos que siendo \( c\cdot{a}=c\cdot{inf(A)} \) y \( c\cdot{x}\in{c\cdot{A}} \) y que \( a\cdot{c}\leq{x\cdot{c}}\Rightarrow{a\cdot{c}=inf(c\cdot{A})=c\cdot{inf(A)}} \)

[cerrar]

Demostración \( sup(c\cdot{A)}=c\cdot{inf(A)}, c\in{\mathbb{R}} |  c<0 \)

Spoiler

teniendo que \( a=inf(A)\Rightarrow{a\leq{x}, x\in{A}} \) por tanto \( a\cdot{c}\geq{x\cdot{c}}, x\cdot{c}\in{c\cdot{A}}  \) y entonces \( a\cdot{c}= sup(c\cdot{A)} \) y \( a\cdot{c}= c\cdot{inf(A)} \)

[cerrar]

Demostración \( inf(c\cdot{A})=c\cdot{sup(A)}, c\in{\mathbb{R}, c<0} \)

Spoiler

teniendo que \( a=sup(A)\Rightarrow{a\cdot{c}=c\cdot{sup(A)}} \) por tanto si \( a\geq{x}, x\in{A}\Rightarrow{c\cdot{a}\leq{x\cdot{c}}} \) y tenemos que al ser \( x\cdot{c}\in{c\cdot{A}}\Rightarrow{a\cdot{c}}=sup(c\cdot{A)}\wedge a\cdot{c}=c\cdot{inf(c\cdot{A})} \)

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iii) Demostrar el Lema 2


Demostración \( sup(A)\leq{inf(B)} \) Sean \( A,B\subset{\mathbb R} \) tales que, para todo \( x\in A \) e \( y\in B \), se tiene \( x\leq{y} \).

Spoiler

Tenemos que \( sup(A)=a\geq{x}\wedge Inf(B)=b\leq{y} \), considerando \( sup(A)= min[a\in{A'}: a\geq{x}]\wedge Inf(B)=max[b\in{B'}:b\leq{x}] \) entonces \( a\leq{b}\Rightarrow{sup(A)\leq{sup(B)}} \)

[cerrar]

Demostración \( \sup(a)=\inf(B) \) si, y sólo si \( \forall \epsilon>0 \), existen \( x\in A \) e \( y\in B \) tales que \( y-x<\epsilon \)

Spoiler

\( sup(A)=a\geq{x}\in{A}\wedge inf(B)=b\leq{y}\in{B} \) entonces \( a=b\Rightarrow{x\leq{y}} \) y teniendo un \( \epsilon>0 \) tenemos que si \( 0\leq{y-x} \) y \( \epsilon>0 \) entonces \( 0\leq{y-x}<\epsilon \)

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iv) Terminar la demostración de corolario del Lema 1

En este no entiendo porque \( sup(f+g)\leq{sup(f)+sup(g)} \)


v) Probar la inclusión del corolario

En efecto, sean \( A=f(X) \) y \( B=f(x) \), \( C=(f+g)(X)=\{f(x)+g(x); x\in X\} \). Evidentemente \( C\subset{A+B} \) (¿Por qué?)

en este enunciado me da la sensación que hay un error, ¿no tendría que ser \( A=f(x)\wedge B=g(x) \) y \( C=(f+g)(x) \)? ¿en caso contrario que significa que \( A=f(X) \) y \( B=f(x) \)? ¿que diferencia hay entre \( f(X) \) y \( f(x) \)?