[naraf]

Hola, buenas noches a todos y feliz año, tengo un problema al que le he dado un par de vueltas, pero no termino de encontrar la solución, quisiera si es posible, que alguien me diera alguna indicación de por donde comenzar. El enunciado es el siguiente.
Dada una semicircunferencia,  se trazan tres cuerdas consecutivas, comenzando en un extremo del diametro y terminando en el otro extremo, que miden 3, 2 y 1. Cuánto mide el radio?

Gracias de antemano por la atención prestada. Saludos Naraf

[Héctor Manuel]

Sean \( A,B,C,D \) los puntos tales que \( AD \) es el diámetro y \( B,C \) están sobre la semicircunferencia, de tal manera que \( AB,BC \) y \( CD \) son las cuerdas. Llamemos \( O \) al centro de la circunferencia.  Sean \( a=AB \), \( b=BC \) y \( c=CD \) las longitudes de las cuerdas. 

Sea \( \theta_a=\angle AOB \), \( \theta_b=\angle BOC \) y \( \theta_c=\angle COD \).

Sin perder generalidad puedes suponer \( a=3,b=2,c=1 \).

Aplica la ley de cosenos:
\( 9=2r^2-2r^2\cos\theta_a \) y lo mismo para los lados \( b,c \).  Así tendrás un sistema de 3 ecuaciones (las que se obtienen con ley de cosenos) con 4 incógnitas (el radio y los tres ángulos).

Para obtener la cuarta ecuación, únicamente toma en cuenta que la suma de los ángulos es 180 ya que son colineales.

Saludos.

[naraf]

Ese es uno de los caminos que he seguido, pero al final llegaba a una contradicción, por un lado obtenia\( r\leq{1} \)  y por el otro \( r\geq{1} \)volvere a repasar los calculos. gracias por la contestación.

[Héctor Manuel]

Pensé en algo mucho más sencillo.  Sea \( z=\mbox{CD} \).  Es sencillo probar que el arco \( BC \) vale \( 2z \) y el arco \( AB \) vale \( 3z \).

Por tanto, demuestra que \( \theta_a=3\theta_c \) y \( \theta_b=2\theta_c \).  De ahí obtienes que \( \theta_c=30° \).

Con eso puedes concluir fácilmente.

[Michel]

Una forma sencilla de resolverlo es aplicando el teorema de PTOLOMEO: en todo cuadrilátero inscriptible ABCD, se verifica: AB·CD + BC·AD = AC·BD.
Haz AB = 3, CD = 1, AD = d (diámetro).
Como los triángulos ABD y ACD son rectángulos, por PITAGORAS, expresa AC y BD en función de d.
Te resultará una ecuación cúbica: \( d^3 - 14d -12 =0 \).
Aproximadamente la solución es 4,09.

La solución de Hector Manuel no es correcta, ya que no hay proporcionalidad entre los arcos y las cuerdas.

[naraf]

Muchas gracias por la contestación, creo que este es el camino correcto, efectivamente la contestación anterior es incorrecta. Un salud.
naraf.