Al cambiar el formato "enumerado" \( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:x\in A_1\textsf{\ ó\ }x\in A_2\textsf{\ ó\ }\cdots \textsf{\ ó\ }x\in A_n\} \)
por el formato "con cuantificador" \( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:\exists{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\} \)
se pretende introducir el concepto de unión arbitraria de un modo "pedagógico".
Claro, justamente esa es la razón de dar una misma definición de dos maneras distintas.
Uno no puede escribir "infinitas" conjunciones "ó", que sería lo necesario para definir una unión infinita.
Así que se usa el cuantificador. El símbolo "\( \exists{} \)" es como una conjunción "ó" aplicada a finitos o infinitos términos.
Así como el símbolo + se usa para expresar sumas de finitos términos,
y el símbolo \( \displaystyle\sum \) se usa para sumas tanto finitas como infinitas,
del mismo modo el cuantificador existencial \( \exists{} \) se puede pensar como una conjunción "ó" generalizada a tantos términos como uno quiera.
Análogamente, el cuantificador universal "\( \forall{} \)" se puede ver como un "operador lógico" que generaliza a la conjunción "y" al caso de tantos términos como uno quiera.
Hay un salto cualitativo del caso finito al no finito.
La idea es diferente. Se está reemplazando el uso iterado de la conjunción "ó" por el de un cuantificador "\( \exists{} \)".
Esto exige un pequeño esfuerzo de mayor comprensión.
Estudiar el significado del cuantificador en el caso finito permitiría hacer ese salto de modo que se entienda mejor lo que se está haciendo.
"Mis" razones para pasar a la forma con "cuantificador" fueron justamente esas:
poder definir uniones e intersecciones de familias arbitrarias de conjuntos, tanto finitas como infinitas, y además "que se entienda" el sentido de la generalización.
"FAMILIA ARBITRARIA DE CONJUNTOS" (,,,) Creo que hubiera sido interesante haber definido dicho concepto previamente para luego entrar a definir la unión ó la intersección de tales familias.
Bien. Voy a agregar más detalles de esto en la teoría.