Hola. Leí la parte introductoria que escribiste y me pareció excelente. Aún sigo pensando el ejercicio en el que se pide que se muestre que una elipse E sin borde es un conjunto abierto. Como pista dices: "Renegar con los cálculos de distancia al borde.", pero lo único que se me ocurre es lo siguiente:
Ubicar la elipse en un sistema de coordenadas adecuado de tal forma que los semiejes estén sobre los ejes del sistema, así se tiene que la ecuación de la elipse será de la forma \( a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2. \) Luego, dado un punto P dentro de la elipse, plantear una función que me dé la distancia del punto P a los puntos del borde de la elipse. Después encontrar el punto Q más cercano a P que esté sobre el borde, hallo la distancia entre P y Q, y la uso como radio para la bola abierta alrededor de P que va a estar contenida en E. Haciendo éso para todo P dentro de la elipse ya se prueba que es abierto, pero las cuentas no son nada bonitas, y lo peor es que se vuelven peores si se piensa hacer lo mismo para probar que el elipsoide es un conjunto abierto. ¿cómo atacar el problema de una mejor forma?
Sobre esta parte:
Ejercicio. Si \( \mathcal B \) es una base en \( X \) , se define la familia \( \tau \) mediante la siguiente propiedad: un subconjunto U de \( X \) es elemento de \( \tau \) si, para cada \( x\in X \) existe \( B \) en la base \( \mathcal B \) tal que \( x\in B\subset U \) . En símbolos:
\( \tau=\{U\subset X| \exists B\in \mathcal B(x\in B\subset U)\} \)
Tienes una pequeña errata: debe ser "para cada \( x\in U \)". Y en la presentación de la topología \( \tau \) con sólo símbolos, ¿no debería escribirse también la condición de "para cada \( x\in U \)"? Es decir, yo pensaba en algo como \( \tau =\{U\subset X\;:\; (\forall x\in U)(\exists B\in \mathcal B)(x\in B \mbox{ y }B\subset U)\} \).
Estos son algunos ejercicios de la sección 13:
1. Sean X un espacio topológico y A un subconjunto de X. Supongamos que para cada \( x\in A \) existe un conjunto abierto \( U \) que contiene a \( x \) tal que \( U\subset A. \) Pruebe que A es abierto.
Para cada \( x\in A, \) denotemos con \( U_x \) al conjunto abierto que por hipótesis cumple que \( x\in U_x \) y \( U_x \subset A. \)
Consideremos ahora \( B=\bigcup_{x\in A}U_x. \) Veamos que \( B=A. \)
\( B\subset A. \) Si \( x\in \bigcup_{x\in A}U_x, \) existe \( y\in A \) tal que \( x\in U_y, \) como \( U_y\subset A, \) entonces \( x\in A. \)
\( A\subset B. \) Si \( x\in A,\; x\in U_x, \) luego pertenece a la unión de los \( U_x, \) es decir \( x\in \bigcup_{x\in A}U_x=B. \)
Como todos los \( U_x \) son abiertos, su unión, A, sera un conjunto abierto.
3. Pruebe que \( \mathcal{T}_c =\{U\subset X\;:\; X-U\mbox{ es numerable o }X\} \) es una topología sobre X. ¿Es \( \tau_\infty=\{U\;:\; X-U\mbox{ es infinita o vacía o todo }X \} \) una topología sobre X?
Hay que verificar que \( \mathcal{T}_c \) es una topología con los cuatro axiomas:
i) \( \emptyset \in\mathcal{T}_c \) porque es finito. ii) \( X\in\mathcal{T}_c \) por definición.
iii) Sea \( \{A_i\}_i \) una familia de abiertos de \( \mathcal{T}_c. \) Debemos ver que \( \bigcup_i A_i \in \mathcal{T}_c, \) pero para ésto es suficiente ver que \( X-\bigcup A_i \) es numerable. \( X-\bigcup A_i =\bigcap (X-A_i)\subset X-A_{i_1} \) para algún \( i_1 \) en el conjunto de índices. Como \( A_{i_1}\in \mathcal{T}_c,\, X-A_{i_1} \) es numerable, y un subconjunto de un conjunto numerable es numerable, por tanto \( \bigcup_i A_i \) pertenece a \( \mathcal{T}_c. \)
iv) Si A y B están en \( \mathcal{T}_c, \) se debe ver que \( A\cap B \) está en \( \mathcal{T}_c. \) \( X-(A\cap B)=(X-A)\cup (X-B), \) y dado que la unión de un par de conjuntos numerables es numerable, se tiene que \( A\cap B \) pertenece a \( \mathcal{T}_c. \)
Como se verificaron los cuatro axiomas, \( \mathcal{T}_c \) es una topología sobre X.
\( \tau_\infty=\{U\;:\; X-U\mbox{ es infinita o vacía o todo }X \} \) no es una topología sobre X.
Para verlo, consideremos \( X=\mathbb{R}, A=\mathbb{Q}-\{0\} \) y \( B=\mathbb{I}. \) \( X-A=\mathbb{I}\cup \{0\} \) que es infinito. \( X-B=\mathbb{Q} \) que es infinito. Se debería entonces cumplir que la unión de A y B esté en \( \tau_\infty, \) pero \( X-(A\cup B)=X-(\mathbb{R}-\{0\})=\{0\} \) que no es ni infinito, ni vacío, ni X, luego \( A\cup B\not\in \tau_\infty. \)
4. a) Si \( \{\tau_\alpha \} \) es una familia de topologías sobre X, pruebe que \( \bigcap_\alpha \tau_\alpha \) es una topología sobre X. ¿Es \( \bigcup_\alpha \tau_\alpha \) una topología sobre X?
Debemos comprobar los cuatro axiomas:
i) Ya que \( \emptyset \in \tau_\alpha \) para todo \( \alpha, \) \( \emptyset\in \bigcap_\alpha \tau_\alpha. \)
ii) \( X\in\tau_\alpha \) para todo \( \alpha, \) luego \( X\in \bigcap_\alpha \tau_\alpha. \)
iii) Sea \( \{A_i\}\subset \bigcap_\alpha \tau_\alpha. \) Para todo \( \alpha, \) puesto que \( \tau_\alpha \) es una topología, tenemos que \( \bigcup_i A_i \in \tau_\alpha, \) por ende \( \bigcup_i A_i \in \bigcap_\alpha \tau_\alpha. \)
iv) Si A y B están en \( \bigcap_\alpha \tau_\alpha, \) A y B están en \( \tau_\alpha \) para todo \( \alpha, \) y como cada uno de éstos es una topología, entonces \( A\cap B \in \tau_\alpha, \) y por ende \( A\cap B\in \bigcap \tau_\alpha. \)
\( \bigcup_\alpha \tau_\alpha \) puede no ser una topología sobre X. Consideremos \( X=\{a,b,c\},\; \tau_1=\{\emptyset,X,\{a\}\},\; \tau_2=\{\emptyset,X,\{b\}\}. \) Entonces \( \tau_1 \cup \tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b\}\} \) debería ser unatopología, pero no lo es ya que la unión de abiertos es abierto y sin embargo \( \{a\}\cup \{b\}=\{a,b\}\not\in \tau_1\cup \tau_2. \)
b) Sea \( \{\tau_\alpha \} \) una familia de topologías sobre X. Pruebe que existe una única topología sobre X más pequeña entre todas las que contienen a todas las colecciones \( \tau_\alpha, \) y una única topología más grande entre todas las que están contenidas en toda \( \tau_\alpha. \)
-- \( \bigcap_\alpha \tau_\alpha \) es la topología más grande contenida en toda \( \tau_\alpha. \) Para mostrarlo, veamos que, efectivamente, si \( \tau \) es una topología contenida en toda \( \tau_alpha, \) entonces \( \tau \subseteq \bigcap_\alpha \tau_\alpha. \) Si \( U\in \tau, \) por hipótesis se tiene que \( U\in\tau_\alpha \) para toda \( \alpha, \) luego U está en su intersección \( \bigcap_\alpha \tau_\alpha. \)
-- Sean \( \mathcal S=\bigcup_\alpha \tau_\alpha \) y \( \tau \) la topología generada por la subbase \( \mathcal S \) (que es subbase ya que la unión es todo X porque cada \( \tau_\alpha \) es una topología). \( \tau \) es la topología más pequeña que contiene a toda \( \tau_\alpha. \) Para probarlo necesitamos mostrar que si \( \tau ' \) es una topología tal que contiene a \( \tau_\alpha \) para toda \( \alpha, \) entonces \( \tau \subseteq \tau '. \)
Sea \( U\in \tau, \) es decir que U es unión de intersecciones finitas de elementos de \( \mathcal S:\; U=\bigcup_\beta \left( \displaystyle\bigcap_{i=1}^{n_\beta } A_{(\beta, i)}\right). \) \( A_{(\beta ,i )}\in \tau ' \) para toda \( \beta \) e \( i \) ya que \( \tau_\alpha \subseteq \tau ' \) para toda \( \alpha. \) Como \( \tau ' \) es una topología, la intersección finita de elementos de \( \tau ' \) está en \( \tau ', \) y así mismo con las uniones arbitrarias. Por tanto \( U\in \tau '. \)
5. Demuestre que si \( \mathcal{A} \) es una base para una topología sobre X, entonces la topología generada por \( \mathcal{A} \) es igual a la intersección de todas las topologías sobre X que contienen a \( \mathcal{A}. \)
Sea \( \tau ' \) la topología generada por \( \mathcal{A}. \) Sea \( \{\tau_\alpha \} \) la familia de topologías que contienen a \( \mathcal{A}. \) Debemos ver que \( \tau ' =\bigcap _\alpha \tau_\alpha. \)
\( \tau ' \subset \bigcap _\alpha \tau_\alpha. \) Sea \( U\in \tau '. \) Como \( \mathcal{A} \) es una base para \( \tau ', \) podemos escribir a U como unión de elementos de \( \mathcal{A}: U=\bigcup_i A_i. \) Como todo \( \tau_\alpha \) contiene a \( \mathcal{A}, \) \( A_\i \in \tau_alpha \) para todo \( \alpha, \) y dado que cada una es una topología, la unión de los \( A_\i, \) o sea, U, estará en todos los \( \tau_\alpha \) y en su intersección.
La otra contenencia aún no la he podido demostrar.
6. Pruebe que las topologías de \( \mathbb{R}_\ell \) y \( \mathbb{R}_K \) no son comparables.
Para este ejercicio es suficiente mostrar un abierto y un punto "rebelde" en cada una de las dos topologías.
Consideremos el conjunto \( V=(-1/2,1/2)-K \) abierto en \( \mathbb{R}_K \) y el punto 0. No hay abierto \( U \) de la forma \( [a,b) \in\mathbb{R}_{\ell} \) tal que \( 0\in U \) y \( U\subseteq. \) Si \( 0\in U, \) entonces \( 0<b \) y podemos encontrar un \( n\in\mathbb{Z}^+ \) tal que \( 0<\frac{1}{2^n}<b \) con lo que \( U \) no estaría contenido en \( V. \)
Consideremos el abierto \( [0,1) \in\mathbb{R}_\ell \) y el punto \( 1/2. \) No hay ningún abierto \( U\in \mathbb{R}_K \) tal que \( 1/2\in U \) ya que, por definición, los abiertos allí no tienen los puntos de la forma \( \frac{1}{2^n} \) con n entero positivo.
Si hay algo que deba corregir o justificar mejor, por favor, no dudes en mencionarlo. Gracias.