[argentinator]

Este es el thread de "trabajo" del curso Topología (Munkres),
que está en estas direcciones:

Organización e inscripción al curso: Topología (Munkres)

Curso de Topología (Munkres)

Para hacer cualquier consulta, duda, pregunta, comentario, sugerencia, o lo que deseen, deben postear respondiendo en este thread.


Conocimientos previos requeridos para iniciar el curso: Voy a tratar de que sea llevadero para todo tipo de público. No obstante, es recomendable tener algo de experiencia con operaciones de conjuntos, y haber hecho algunas demostraciones que involucren conjuntos, funciones, inducción, cosas más o menos elementales...
También es necesario tener "experiencia" con cálculo, sobretodo la noción de límite.

[argentinator]

...

[Jabato]

Una pregunta solo argentinator, creo que establecer la definición de unión infinita de conjuntos en la forma que lo hiciste:

\( \bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\} \)

no es equivalente a ninguna de las anteriores que mostraste, si no que es más general, porque admite que el conjunto de subíndices pueda ser cualquiera, no necesariamente un conjunto finito ó numerable (cosa que sería obligada si consideramos que los subíndices fueran un número natural).

Esto nos permite entonces definir la unión de familias de conjuntos de cualquier cardinalidad (cardinalidad de la familia claro), y esa es la razón de que se prefiera hacerlo en esta forma, para evitar esas limitaciones debidas a la cardinalidad de los subíndices. Ya que dicha cardinalidad (la de la família) debe coincidir con la cardinalidad del conjunto de subíndices, pero haciéndolo de esta forma no se exigirá que sea finita ó numerable, sino que puede ser cualquiera:

Así por ejemplo la família \( \{A_r\}_{r\in{R}} \) podría expresarse facilmente usando esa forma de definir una familia, pero ...

¿Esa es la única razón ó hay alguna otra?

Cuando leí la expresión que usaste "FAMILIA ARBITRARIA DE CONJUNTOS" me hice para mis adentros la pregunta del porqué usaste esa expresión. Creo que hubiera sido interesante haber definido dicho concepto previamente para luego entrar a definir la unión ó la intersección de tales familias. Ese es un matiz que pasa desapercibido a menudo.

Es este tipo de "sutilezas" (creo que se mostrarán muchas parecidas en este curso), el que me interesa pulir asistiendo a este cursillo.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Las dos definiciones de unión debieran coincidir en el caso de que el conjunto de índices sea I = {1,2,...,n}. O sea, deben dar siempre el mismo resultado, cualesquiera sean los conjuntos que se tomen.

Así por ejemplo la família  \( \{A_r\}_{r\in{R}} \) podría expresarse facilmente usando esa forma de definir una familia, pero ...
¿Esa es la única razón ó hay alguna otra?

En realidad no entiendo bien la pregunta. ¿La razón de qué?

[Jabato]

Me preguntaba el porqué dijiste:

Esta última definición reformulémosla en un modo algo más "interesante", en términos del cuantificador existencial:

\( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:\exists{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\} \)

y el porqué utilizaste la expresión "FAMILIA ARBITRARIA DE CONJUNTOS"

Intenté responderme y obtuve como única razón que haciéndolo de esta forma se obtiene la ventaja de poder trabajar con familias de cualquier cardinalidad, pero desconozco si esa es la única razón ó hay alguna otra que se me escape.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Al cambiar el formato "enumerado" \( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:x\in A_1\textsf{\ ó\ }x\in A_2\textsf{\ ó\ }\cdots \textsf{\ ó\ }x\in A_n\} \)
por el formato "con cuantificador" \( A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:\exists{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\} \)
se pretende introducir el concepto de unión arbitraria de un modo "pedagógico".

Claro, justamente esa es la razón de dar una misma definición de dos maneras distintas.
Uno no puede escribir "infinitas" conjunciones "ó", que sería lo necesario para definir una unión infinita.
Así que se usa el cuantificador. El símbolo "\( \exists{} \)" es como una conjunción "ó" aplicada a finitos o infinitos términos.

Así como el símbolo + se usa para expresar sumas de finitos términos,
y el símbolo \( \displaystyle\sum \) se usa para sumas tanto finitas como infinitas,
del mismo modo el cuantificador existencial \( \exists{} \) se puede pensar como una conjunción "ó" generalizada a tantos términos como uno quiera.

Análogamente, el cuantificador universal "\( \forall{} \)" se puede ver como un "operador lógico" que generaliza a la conjunción "y" al caso de tantos términos como uno quiera.

Hay un salto cualitativo del caso finito al no finito.
La idea es diferente. Se está reemplazando el uso iterado de la conjunción "ó" por el de un cuantificador "\( \exists{} \)".
Esto exige un pequeño esfuerzo de mayor comprensión.
Estudiar el significado del cuantificador en el caso finito permitiría hacer ese salto de modo que se entienda mejor lo que se está haciendo.


"Mis" razones para pasar a la forma con "cuantificador" fueron justamente esas:
poder definir uniones e intersecciones de familias arbitrarias de conjuntos, tanto finitas como infinitas, y además "que se entienda" el sentido de la generalización.

"FAMILIA ARBITRARIA DE CONJUNTOS" (,,,) Creo que hubiera sido interesante haber definido dicho concepto previamente para luego entrar a definir la unión ó la intersección de tales familias.

Bien. Voy a agregar más detalles de esto en la teoría.

[Jabato]

Pues después de leer tu respuesta creo que efectivamente hay más de una razón para usar esa forma de definir la familia arbtraria de conjuntos:

1ª.- El poder considerar familias de cualquier cardinalidad, no solo de cardinalidad numerable, que es la que estaríamos considerando si usamos como subínice  un número natural.

2ª.- La de substituir el operador \( \vee \) por el cuantificador universal \( \exists{} \) en la definición de la unión infinita.

Ambas son dos buenas razones, no cabe duda.

Ahora ya lo tengo más claro, si.

[argentinator]

Jabato: En "Dictado" agregué el ejercicio A.5.1.a.
Lo que hay que probar tiene bastante sentido común, y mezcla familias de conjuntos finitas e infinitas.
La gracia está en escribir  la demostración completa, escribiendo una a una las implicaciones  y usando todas las propiedades de conjuntos, y de paso sirve para practicar la notación.

Recordar que toda igualdad de conjuntos tiene dos partes: la inclusión hacia un lado y hacia el otro.

Para "entrenarse" con el manejo de estas cosas conviene sentarse a demostrar ciertas igualdades clásicas, como por ejemplo las leyes de De Morgan para familias infinitas (ejercicios A1.3.e/f).

También agregué un spoiler con una larga explicación sobre las familias de conjuntos. Creo que exageré con el aspecto pedagógico, pero al final se muestran un poco las distintas maneras de notación empleadas para familias de conjuntos, y el hecho de que hay una función dando vueltas por ahí, que define a la familia.

[topo23]

Dejamos como ejercicios demostrar las siguientes propiedades elementales:

• Ejercicio A1.3.a. \( A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) \)
• Ejercicio A1.3.b.\( A\cup (B\cap  C)=(A\cup  B)\cap (A\cup C) \)
• Ejercicio A1.3.c.\( (A\cup B)^c=A^c\cap  B^c \)
• Ejercicio A1.3.d.\( (A\cap B)^c=A^c\cup  B^c \)
• Ejercicio A1.3.e.\( (\bigcup_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcap_{\iota \in I}A_\iota ^c \)
• Ejercicio A1.3.f.\( (\bigcap_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcup_{\iota \in I}A_\iota ^c \)

Las primeras propiedades son las leyes distributivas.
Las últimas propiedades son las leyes de De Morgan.

Quda mas claro si dice que las "2" primeras son las leyes distributivas y que las "4" ultimas son las leyes de DeMorgan.

Comentario: Para ser un curso de topologia aparece mucha teoria de conjuntos, lo que me parece bien, pero tal vez convenga separarlos un curso de teoria de conjuntos.

[argentinator]

topologia aparece mucha teoria de conjuntos

Como bien dije al principio, voy a desarrollar los temas de teoría de conjuntos que hagan falta para entender bien el curso, y lo haré en la medida que los participantes me lo demanden.

Y ocurre que ha habido algo de demanda por algun que otro participante.

Además, ya dije que ese capítulo es opcional, y cada cual lo estudia o repasa si quiere.

Incluso, voy a agregar más temas de conjuntos.

Topo23: Acorde a las reglas en los foros de cursos, para una mejor ordenación hay que poner los comentarios en la sección "Consultas, comentarios y ejercicios".
Lleva mucho trabajo mover los mensajes al lugar correcto.