Buenas Luis revisando intente esto:
Siendo \( \boxed{L_0=300} \) y \( \boxed{K_0=50} \) se supone que el empresario decide invertir un dólar más para fines de producción \( (\Delta Y =+1) \), esto quiere decir que se emplean \( \Delta L \) unidades de mano de obra y \( \Delta K \) unidades de capital, entonces:
\( \Delta Y= 100\Delta L + 300\Delta K=+1\hspace{6mm}(1) \)
Los incrementos son los siquientes:
- Mano de obra incrementa de 300 a \( 300+\Delta L \)
- Capital incrementa de 50 a \( 50+\Delta K \)
Por lo tanto el aumento en la producción con estos incrementos es el siguiente:
\( \Delta P(300,50)=P(300+\Delta L,50+\Delta K)-P(300,50) \)
Dado que \( \boxed{\Delta P(300,50)\approx dP(300,50)} \), se tiene que:
\( \Delta P(300,50)\approx \displaystyle\frac{\partial P}{\partial L}(300,50)\Delta L+\displaystyle\frac{\partial P}{\partial K}(300,50)\Delta K\hspace{7mm}(2) \)
El máximo de la producción se obtiene cuando:
\( \boxed{\displaystyle\frac{\partial P}{\partial L}(300,50)=100\mid \lambda\mid} \hspace{7mm}\boxed{\displaystyle\frac{\partial P}{\partial K}(300,50)=300\mid \lambda\mid} \)
Sustituyendo estos valores en (2) queda lo siguiente:
\begin{eqnarray*}
\Delta P(300,50)&\approx & 100\mid \lambda\mid\Delta L+300\mid \lambda\mid\Delta K\\
& \approx & \mid \lambda \mid \left(100\Delta L+300\Delta K \right)\\
& \approx & \mid \lambda \mid \Delta Y\\
& \approx & \mid \lambda \mid (+1)\\
& \approx & \mid \lambda \mid
\end{eqnarray*}
Por tanto:
\( \boxed{\Delta P(300,50)\approx \mid \lambda \mid} \)
Ahora mediante la ecuación \( \boxed{LK =\lambda} \) se puede calcular el valor de \( \lambda \)
\( \lambda = (300)\cdot (50)= 15000 \)
\( \boxed{\lambda = 15000} \)
Por tanto, un dólar extra disponible para la producción incrementará la producción por una cantidad aproximada de \( \boxed{\lambda = 15000} \) unidades. Dicho de otra forma \( \lambda \) representa la productividad marginal del dinero.
\begin{eqnarray*}
\Delta P(300,50)&\approx & \mid \lambda \mid\\
& \approx & \mid 15000 \mid\\
& \approx & 15000
\end{eqnarray*}
\( \boxed{\Delta P(300,50)\approx 15000} \)
No se si todo el razonamiento esta correcto.
