Autor Tema: Dado un conjunto, ¿existe otro conjunto disjunto y equipotente al dado?

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05 Julio, 2021, 06:48 pm
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Eparoh

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Hola a todos, como bien dice en el título, mi pregunta es si dado un conjunto cualquiera \( X \), existe otro conjunto \( Y \) de modo que \( X \cap Y =
\emptyset \) e \( Y \) es equipotente con \( X \).

Creo que es fácil demostrarlo si consideramos los axiomas básicos de ZF (extensionalidad, par, unión y reemplazo) junto al axioma de regularidad, pues bastaría considerar \( Y=X \times \{X\} \).

Efectivamente, la equipotencia es clara pues basta considerar la biyección \( x \rightarrow{} (x,X) \) y el hecho de que sean disjuntos lo garantiza el axioma de regularidad. Si existiera un elemento de \( Y \), \( (x,X) \) que también pertenezca a \( X \) tenemos que

\( X \in \{x,X\} \in \{\{x\}, \{x,X\}\}=(x,X) \in X \)

contradiciendo el axioma de regularidad.

Ahora bien, mi pregunta es si es posible demostrar este resultado sin apelar al axioma de regularidad, es decir, empleando únicamente los cuatro axiomas básicos de ZF.

Por poner la pregunta en contexto, me surge de observar que siempre que en álgebra o topología se define alguna propiedad a partir de un embedimiento siempre he podido demostrar que a partir del embedimiento, es posible construir otro espacio con las propiedades deseadas y que contenga propiamente el conjunto de partida.

Por ejemplo, en topología una compactificación de un espacio \( X \) se define como un par \( (Y, f) \) tal que \( Y \) es compacto y \( f:X \longrightarrow Y \) es un homeomorfismo en su imagen de modo que \( f(X) \) es denso en \( Y \). Entonces, si es posible asegurar la existencia de un conjunto disjunto a \( X \), es fácil construir a partir de \( Y \) y de \( f \) una compactificación \( (Z, i) \) tal que \( X \) es un subespacio denso de \( Z \) (con subespacio me refiero a que \( X \subset Z \) y su topología relativa a \( Z \) es precisamente la original de \( X \)) e \( i \) no es más que la inclusión en este caso.

Un saludo y gracias por las respuestas.

Pd. Se que la razón por la que busco saber si la proposición propuesta es cierta con un número mínimo de axiomas, mucha gente podría argumentar que va en contra del propio espíritu de las matemáticas, pero yo siempre he pensado que por muy buenos que sean los isomorfismos si conoces de la existencia precisa de un objeto ¿para que usar una copia con distintas etiquetas?

16 Julio, 2021, 01:18 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Dado un conjunto \( X \), en Z tienes la existencia de \( A=\bigcup\bigcup X \), es decir, el conjunto de los elementos de los elementos de los elementos de \( X \).

Pero en Z puedes demostrar que no existe ningún conjunto que contenga a todos los conjuntos, luego tiene que existir un conjunto \( x \) que no pertenezca a \( A \).

Entonces \( X'=X\times\{x\} \) cumple lo que pides, pues si existiera un \( (u, x)\in X\cap X' \), entonces \( x\in\{u, x\}\in (u, x)\in X \) implicaría que \( x\in A \).