Autor Tema: método de Cauchy- Euler

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23 Junio, 2021, 05:37 pm
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thadeu

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hola grupo necesito de su ayuda con el siguiente ejercicio
Resolver mediante la segunda forma del método de Cauchy- Euler : \( x^2y''+3xy'+5y=\dfrac{5}{x^2}\ln x \)

Sugerencia:   \( t^n\dfrac{d^{(n)}y}{dt^n}=D_{z}(D_{z}-1)(D_{z}-2)\dots(D_{z}-(n-1))y \); donde \( n \) es un entero positivo

Lo he intentado de  muchas formas pero no he sido capaz de usar la sugerencia que me dan.

Gracias desde luego

23 Junio, 2021, 08:45 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola thadeu.

El método de Cauchy--Euler permite hallar la solución homogénea de tu EDO, es decir, permite hallar la solución de

    \( x^2y_h''+3xy_h'+5y_h=0 \).

El método se basa en suponer que \( y_h=x^r \), con \( r \) un número a ser determinado. Se sigue que

    \( y'_h=ry^{r-1} \)    y    \( y''_h=r(r-1)y^{r-2} \).

Reemplazando en la EDO homogénea

    \( x^2(r(r-1)x^{r-2})+3xrx^{r-1}+5x^{r}=0 \)

    \( \Big(r(r-1)+3r+5\Big)x^r=0 \)

    \( (r^2+2r+5)x^r=0 \)

y como la igualdad anterior es para todo \( x \), obtenemos \( r^2+2r+5=0 \), esto es, \( r=-1\pm 2i \), y por tanto

    \( y_h(x)=Ax^{-1+2i}+Bx^{-1-2i} \).

La solución de tu EDO original es \( y=y_h+y_p \), donde \( y_p \) es una solución particular. No veo una forma rápida de calcular \( y_p \), así que podrías intentar con el método de variación de parámetros. Este método requiere hacer varias cuentas que no he hecho. Cuéntanos si logras obtener \( y_p \), y si no puedes pensamos algo.

25 Junio, 2021, 02:37 am
Respuesta #2

thadeu

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Muchas gracias por la ayuda me servido de mucho para entender el metodo.