Autor Tema: Problema bien planteado en forma variacional

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07 Junio, 2021, 08:57 pm
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Eparoh

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Hola a todos, tengo la siguiente EDP

\( \begin{cases} -\mu \Delta u(x) + \vec{\beta}(x) \cdot  \overrightarrow{\nabla}u(x) + c(x)u(x) =f(x) & \text{si} & x \in \Omega\\\\
 u(x) =0 & \text{si} & x \in \partial \Omega
\end{cases} \)

donde \( \mu >0 \) es una constante, \( c(x) \geq c_0 >0 \), \( \overrightarrow{\beta}(x)=(\beta_1(x), \beta_2(x)) \) y \( \Omega \) un dominio de \( \mathbb{R}^2 \).

Quiero expresar el problema en forma variacional y demostrar que está bien planteado si

\( c(x) - \dfrac{1}{2} \operatorname{div}\left( \overrightarrow{\beta}(x) \right) \geq 0 \)

Utilizando la fórmula de Green y el valor de contorno, llego a que la forma variacional del problema es buscar \( u \in \mathcal{H}^1_0(\Omega) \) tal que para toda función test \( v \in \mathcal{C}_c^\infty(\Omega) \) se cumpla que

\( \displaystyle \mu \int_\Omega \overrightarrow{\nabla} u(x)  \cdot \overrightarrow{\nabla} v(x) dx +  \int_\Omega \left(\vec{\beta}(x) \cdot  \overrightarrow{\nabla}u(x)\right) v(x) dx +  \int_\Omega c(x) u(x) v(x) dx  = \int_\Omega f(x) v(x) dx \)

Ahora, para ver que está bien planteado estoy intentando utilizar el lema de Lax-Milgram aplicado a la forma bilineal continua

\( a(u,v) = \displaystyle \mu \int_\Omega \overrightarrow{\nabla} u(x)  \cdot \overrightarrow{\nabla} v(x) dx +  \int_\Omega \left(\vec{\beta}(x) \cdot  \overrightarrow{\nabla}u(x)\right) v(x) dx +  \int_\Omega c(x) u(x) v(x) dx \)

y la forma lineal continua

\( l(v)=\int_\Omega f(x) v(x) dx \)

pero no consigo ver que \( a \) es positiva para poder aplicar dicho resultado.

Es decir, quiero ver que existe cierta constante \( C>0 \) tal que para todo \( u \in \mathcal{H}^1_0(\Omega) \) se cumple que

\( a(u,u) \geq C \left\|{u}\right\|_{L^2} \)

¿Alguna idea?

Un saludo y muchas gracias.

07 Junio, 2021, 09:58 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Eparoh. Voy a intentar ayudarte, aunque sea en parte.

Primero, la norma en \( L^2(\Omega) \) y seminorma son equivalentes para tus \( u,v \), así que no importa cual te salga, puedes acotarla por la otra y te aparecerá una constante. Por eso ni escribiré qué hacer con el primero sumando (gradiente de \( u \) por gradiente de \( v \)), que seguro lo tienes claro.

Analicemos el término \( \displaystyle\int_\Omega (\beta\cdot \nabla u)vdx \). En la hipótesis que te dan, como aparece una divergencia de \( \beta \) eso sugiere hacer una integración por partes:

    \( \displaystyle\int_\Omega (\beta\cdot \nabla u)vdx=\int_\Omega\left(\beta_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+\beta_2\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)v\,dx \)

                                 \( =\displaystyle\int_\Omega\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)(\beta_1 v)dx+\int_\Omega\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)(\beta_2 v)dx \)

                                 \( =\displaystyle-\int_\Omega u\dfrac{\partial(\beta_1 v)}{\partial x}dx-\int_\Omega u\dfrac{\partial(\beta_2 v)}{\partial y}dx \)  (integración por partes)

                                 \( =\displaystyle-\int_\Omega uv\dfrac{\partial\beta_1}{\partial x}dx-\int_\Omega\beta_1 u\dfrac{\partial v}{\partial x}dx-\int_\Omega uv\dfrac{\partial\beta_2}{\partial y}dx-\int_\Omega\beta_2 u\dfrac{\partial v}{\partial y}dx \)

                                 \( =\textcolor{brown}{\displaystyle-\int_\Omega (uv)(\textrm{div}(\beta))dx-\int_\Omega u\beta\cdot\nabla vdx} \)


Traté de seguir a partir de acá sumando los demás términos del lado izquierdo de la ecuación y no llequé a la hipótesis \( c-\dfrac{1}{2}\textrm{div}(\beta) \). Para obtener la hipótesis (que aparezca ese 1/2), a partir de lo calculado hice lo siguiente:


    \( \displaystyle\int_\Omega (\beta\cdot \nabla u)vdx=\dfrac{1}{2}\int_\Omega (\beta\cdot \nabla u)vdx+\textcolor{blue}{\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_\Omega (\beta\cdot \nabla u)vdx} \)

                                 \( =\dfrac{1}{2}\left(\textcolor{brown}{\displaystyle-\int_\Omega (uv)(\textrm{div}(\beta))dx-\int_\Omega u\beta\cdot\nabla vdx}\right)+\textcolor{blue}{\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_\Omega (\beta\cdot \nabla u)vdx} \)

Ahora sumamos el término \( \displaystyle\int_\Omega cuv\,dx \) a lo anterior:

     \( \displaystyle\int_\Omega (\beta\cdot \nabla u)vdx=\dfrac{1}{2}\left(\displaystyle-\int_\Omega (uv)(\textrm{div}(\beta))dx-\int_\Omega u\beta\cdot\nabla vdx\right)+\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_\Omega (\beta\cdot \nabla u)vdx
+\int_\Omega cuv\,dx \)

                                 \( =\displaystyle\int_\Omega (uv)\Big(c-\dfrac{1}{2}\textrm{div}(\beta)\Big)dx+\dfrac{1}{2}\int_\Omega (\beta\cdot\nabla u)v\,dx-\dfrac{1}{2}\int_\Omega u\beta\cdot\nabla v\,dx \)

Ahora, para probar lo que debes, recuerda que \( u=v \). Creo que esta era la parte complicada del ejercicio, el resto debe ser ordenar.

07 Junio, 2021, 10:17 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Hola mathtruco, gracias por la respuesta pero con la última expresión que obtienes siguen apareciendo los mismos términos dependientes de \( \beta \) ´

\( \displaystyle \dfrac{1}{2}\int_\Omega (\beta\cdot\nabla u)v\,dx-\dfrac{1}{2}\int_\Omega u\beta\cdot\nabla v\,dx \)

que no se como acotar, y parece que realmente no se consigue nada de cara a la acotación, ¿no?

Un saludo.

07 Junio, 2021, 10:21 pm
Respuesta #3

mathtruco

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(...)
Ahora, para probar lo que debes, recuerda que \( u=v \). Creo que esta era la parte complicada del ejercicio, el resto debe ser ordenar.

¿Responde eso tu pregunta?

07 Junio, 2021, 10:28 pm
Respuesta #4

Eparoh

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No demasiado, quiero decir, lo que se consigue con tus cálculos es obtener que

\( a(u,u)= \displaystyle \mu \int_\Omega \left\|{\nabla u}\right\|^2 \,dx + \int_\Omega u^2\Big(c-\dfrac{1}{2}\textrm{div}(\beta)\Big)dx+\dfrac{1}{2}\int_\Omega (\beta\cdot\nabla u)u\,dx-\dfrac{1}{2}\int_\Omega u\beta\cdot\nabla u\,dx \geq \displaystyle \mu \int_\Omega \left\|{\nabla u}\right\|^2 \,dx +\dfrac{1}{2}\int_\Omega (\beta\cdot\nabla u)u\,dx-\dfrac{1}{2}\int_\Omega u\beta\cdot\nabla u\,dx \)

pero para los dos últimos términos vuelve a aparecer el mismo problema de acotación.

EDITO: No me había dado cuenta que los últimos términos son iguales pero de signos opuestos. Todo aclarado.

Un saludo y gracias.

07 Junio, 2021, 10:30 pm
Respuesta #5

mathtruco

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Los dos términos finales son iguales, uno con signo más y el otro con signo menos, se cancelan  :laugh:

07 Junio, 2021, 11:13 pm
Respuesta #6

Eparoh

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Si, me di cuenta nada más poner el mensaje...  ::)

Mi problema principal era que tengo muy oxidados los teoremas de Green y la divergencia y no recordaba para nada que se podía hacer una integración por partes de la forma que planteabas.

Muchisimas gracias por la ayuda  ;D

07 Junio, 2021, 11:21 pm
Respuesta #7

mathtruco

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No sé si lo notaste, pero sólo usé el Teorema de la divergencia, sólo usé el Teorema de Green pero aplicado a \( \mathbb{R} \), que en una dimensión es la integración por partes que se ve en el primer curso de cálculo (una vaca vestida de uniforme, o cualquiera de esas mnemotecnias). El término sobre la frontera se cancela porque las funciones que utilizamos se anulan en la frontera.