Autor Tema: Mapeo de Poincaré

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01 Junio, 2021, 03:59 am
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SebasMM

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Hola,
Supongamos que tenemos la ecuación diferencial ordinaria \( x''=f(x,x',\Omega t) \), donde \( f \) es \( 2 \pi  \)-periódica en el tercer argumento. Un campo vectorial en \( \mathbb{R}^3 \) puede estar dado por el sistema:
\( x'=y \)
\( y'=f(x,y,z) \)
\( z'=\Omega t \)
Y me interesa encontrar el operador de Poincaré. Sinceramente tengo problemas para entender la definición, adjunto la definición del libro en la imagen. En dicha definición \( \Psi \) es el flujo.
Para empezar no estoy familiarizado con el concepto de variedad, pero investigué y en este caso (\( \mathbb{R}^{3} \)) correspondería a lo que en geometría diferencial de curvas y superficies se conoce como una superficie regular cierto?  En cuyo caso, de acuerdo con la definición de la imagen, me da ganas de tomar \( S=\left\{{(x,y,z) : z=0}\right\} \), y en cuyo caso el operador de Poincaré me queda \( P(x,y)=(x(t+2 \pi), y(t+2 \pi))= \Psi (x,y,z, 2 \pi) \), pero creo que lo estoy entendiendo mal :( , podrían orientarme por favor? He estado leyendo varios ejemplos y definiciones de libros pero no logro estar en paz :( .
Muchas gracias.
Saludos.