Autor Tema: EDO conocida solución particular.

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13 Mayo, 2021, 02:27 am
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mileto

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El siguiente problema tiene por objetivo encontrar la solución general de la ecuación
diferencial ordinaria siguiente:

\(   \displaystyle\frac{dy}{dx}= y^2 -\displaystyle\frac{2}{x^2}           \)                 (1)


si  \(  y_1(x) = \displaystyle\frac{1}{x}  \) es solución particular  de (1), entonces si \( y(x) = y_1(x) + \displaystyle\frac{1}{z(x)} \), encuentre la ecuación diferencial que satisfaga z(x)


¿Cómo debo proceder para resolver este ejercicio?

13 Mayo, 2021, 07:57 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • "Mientras que las otras ciencias estudian las leyes que Dios ha elegido para el Universo, las matemáticas estudian las leyes que hasta Dios tiene que obedecer."-Jean Pierre Serre.
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    • Fernando Revilla
El siguiente problema tiene por objetivo encontrar la solución general de la ecuación
diferencial ordinaria siguiente \(   \displaystyle\frac{dy}{dx}= y^2 -\displaystyle\frac{2}{x^2} \)                 (1)
si  \(  y_1(x) = \displaystyle\frac{1}{x}  \) es solución particular  de (1), entonces si \( y(x) = y_1(x) + \displaystyle\frac{1}{z(x)} \), encuentre la ecuación diferencial que satisfaga z(x)
¿Cómo debo proceder para resolver este ejercicio?

Sustituyendo \( y=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{z} \) en la ecuación dada,

        \( \left(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{z}\right)^\prime=\left(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{z}\right)^2-\displaystyle\frac{2}{x^2}, \) 

        \( -\displaystyle\frac{1}{x^2}-\displaystyle\frac{z^\prime}{z^2}=\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{z^2}+\displaystyle\frac{2}{xz}-\displaystyle\frac{1}{x^2}, \)

        \( -\displaystyle\frac{z^\prime}{z^2}=\displaystyle\frac{1}{z^2}+\displaystyle\frac{2}{xz}, \)

        \( z^\prime +\displaystyle\frac{2}{x}z+1=0. \)

Esta última ecuación es lineal, puedes resolverla por cualquiera de los métodos que vienen aquí https://fernandorevilla.es/2014/03/12/ecuacion-diferencial-lineal/.

14 Mayo, 2021, 08:15 am
Respuesta #2

mileto

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