Autor Tema: Ecuación diferencial no homogénea de segundo orden

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28 Abril, 2021, 11:17 pm
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hernanlopezpardo

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Como les va, les pido una mano con este ejercicio que no me da como la respuesta. Les agradezco.
Si \( \{1,e^{−x}\} \) es la base de soluciones de \( y′′+ay′+by=0 \), entonces todas las soluciones de \( y′′+ay′+by=(−2x+4)e^{−x} \) que satisfacen \( y′(0)=−3 \), son...

A mi me da el siguiente resultado:
\( e^{-x}+(x^2-4x)e^{-x}+C \)

El resultado del parcial es:
\( e^{-x}+(x^2-2x)e^{-x}+C \)

Un abrazo grande.

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.

29 Abril, 2021, 12:15 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

El resultado del parcial es correcto. Ten en cuenta que si 1 es solución de la homogénea entonces b=0 y si \( e^{-x} \) es también solución entonces \( y''+ay'=e^{-x}+a(-e^{-x})=0\Rightarrow{a=1} \) eso te ayuda a obtener una solución particular, verificando en \( y''+y'=(-2x+4)e^{-x} \) ahí se verifica la del parcial.



Saludos

29 Abril, 2021, 11:00 pm
Respuesta #2

hernanlopezpardo

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Claro, primero había que calcular las incógnitas y después resolver la ecuación.

\( y''+y'=(-2x+4)e^{-x} \)

La solución particular que propuse es la siguiente:
\( Y_p x(ax+b)e^{-x} \)

Había derivado bien las 2 veces pero cuando reemplace en la ecuación lo había hecho mal.