Muy buenos dias, se me ha planteado una cuestion de teoria de la medida la cual no consigo resolver. Si pudierais decirme como la realizariais vosotros estaria muy agradecido.
Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida finita y sea \( f:X\longrightarrow{}[-\infty,+\infty] \) una funcion medible.
Probar que f es integrable si y solo si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\mu( \left \{ x\in{}X:|f(x)|\geq{}n \right \})<+\infty \).
Y como indicacion me dicen que use la formula de Abel de sumacion por partes.
Gracias de antemano
A lo mejor esto te ayuda: como \( \mu(X)<\infty \) entonces si defines \( P=\frac1{\mu(X)}\cdot \mu \) tienes que \( P \) es una medida de probabilidad y si defines \( Y:=|f| \), entonces lo que te piden demostrar es equivalente a que demuestres que si \( Y\geqslant 0 \) entonces
\( \displaystyle{
\operatorname{E}[Y]<\infty \iff \sum_{n\geqslant 1}P[Y\geqslant n]<\infty
} \)
Añado: lo anterior no tiene nada que ver con la fórmula de Abel (de hecho no se me ocurre ahora mismo una forma de resolver el problema con la fórmula de Abel). Otra forma, más sencilla y directa, es observar que
\( \displaystyle{
|f|^{-1}([n,\infty ))=|f|^{-1}\left(\bigcup_{k\geqslant n}[k,k+1)\right)=\bigcup_{k\geqslant n}|f|^{-1}([k,k+1))
} \)
Sustituir y utilizar las propiedades de una medida.
