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Cálculo 1 variable / Re: Ecuación diferencial "regla del cociente ideal".
« Último mensaje por Masacroso en Hoy a las 12:19 pm »
No veo que la otra alternativa NO sea general.

Uno puede tomar la función \( k(x) \) tal que \( g'(x)=k(x)g(x)^2 \). De ahí obtener una relación entre \( k(x) \) y \( g(x) \) (que es lo que has hecho).

¡Claro! No había caído en eso, que dos funciones cualesquiera siempre pueden relacionarse entre sí usando una tercera.

 :banghead: :banghead: :banghead:

Pues ya estaría, como se suele decir :D

Añado: la solución \( f=C\frac{K+1}{K}=C(1-g) \) de mi segunda respuesta no está bien, hay algún error en los cálculos, ya que en ese caso tendríamos que \( f'=-Cg' \) de donde tendríamos que \( f'/g'=-C \), pero entonces

\( \displaystyle{
\frac{f'g-fg'}{g^2}=\frac{-Cg'g-C(1-g)g'}{g^2}=-C\frac{g'}{g^2}=-Ck
} \)

pero \( k \) no tiene por qué ser la función constante uno.
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Geometría y Topología / Re: Teorema de Extensión
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 12:14 pm »
Hola

 Tus aclaraciones en rojo están bien.

 En cuanto a lo que queda. Ya has visto que puedes extender funciones positivas.

 Entonces descompones tu función como diferencia de dos funciones positivas:

\(  f^+=max\{f,0\} \)
\(  f^-=max\{-f,0\} \)

 Son continuas por ser el máximo de funciones continuas. Puedes extenderlas y claramente la diferencia de ambas extiende la función inicial.

Saludos.
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Cálculo 1 variable / Re: Crecimiento logístico
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 12:11 pm »
Hola

 No se muy bien si esto te ha salido al derivar o al calcular:

\(  ky\left(1-\dfrac{y}{L}\right) \)

 Con la expresión dada tienes:

\(  ky\left(1-\dfrac{y}{L}\right)=k\cdot \dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}}\left(1-\dfrac{y_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}}
\right)=k\cdot \dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}}\cdot \dfrac{(L-y_0)e^{-kt}}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}}=\\\qquad =
 \dfrac{kLy_0(L-y_0)e^{-kt}}{(y_0+(L-y_0)e^{-kt})^2}
 \)

 Por otra parte si en:

\( y=\dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}} \)

 derivas te queda:

\( \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{-Ly_0}{(y_0+(L-y_0)e^{-kt})^2}\cdot (L-y_0)(-k)e^{-kt} \)

Spoiler
Usamos que por la regla de la cadena:

\( \left(\dfrac{1}{f(t)}\right)'=\dfrac{-1}{f(t)^2}\cdot f'(t) \)
[cerrar]

Saludos.
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Cálculo 1 variable / Re: Ecuación diferencial "regla del cociente ideal".
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 12:04 pm »
Hola

Añadido: en verdad lo de arriba no es la solución general, ya que no es necesario considerar la ecuación diferencial  \( g'=kg^2 \) sino tan solo la ecuación (más general) dada por

\( \displaystyle{
\frac{f'}{f}=\frac{(g')^2}{gg'-g^2}
} \)

si no me he equivocado al despejar.

No veo que la otra alternativa NO sea general.

Uno puede tomar la función \( k(x) \) tal que \( g'(x)=k(x)g(x)^2 \). De ahí obtener una relación entre \( k(x) \) y \( g(x) \) (que es lo que has hecho).

Después que:

\( \frac{f'}{g'}=\dfrac{f'g-g'f}{g^2} \)

equivale a que:

\( f'=k(f'g-g'f) \)

No he revisado las cuentas; pero ambos enfoques deberían de ser equivalentes.

A la hora de la verdad lo único que hacemos es trabajar con una función \( K(X)=\dfrac{1}{-g(x)} \) que depende de \( g \).

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Crecimiento logístico
« Último mensaje por Marcos Castillo en Hoy a las 11:22 am »
Hola

Tengo un texto y unas dudas. Primero cito el texto, y luego las dudas:

Citar
Crecimiento logístico

Pocas cantidades en la naturaleza pueden sostener un crecimiento exponencial durante períodos extensos de tiempo. El crecimiento generalmente estará limitado por restricciones externas. Por ejemplo, supongamos que un pequeño número de conejos (de ambos sexos) se introduce en una pequeña isla donde no había conejos previamente, y donde no existen depredadores que puedan comerse a los conejos. En virtud de su fertilidad natural, el número de conejos podría crecer exponencialmente, pero este crecimiento al final estará limitado por la cantidad de alimento disponible para los conejos. Supongamos que la isla puede proporcionar suficiente alimento para sostener indefinidamente una población de \( L \) conejos. Si hay \( y(t) \) en el instante \( t \), podemos esperar que \( y(t) \) crezca con una velocidad proporcional a \( y(t) \) siempre que  \( y(t) \) sea lo suficientemente pequeño (mucho menor que \( L \)). Un posible modelo para este comportamiento es la ecuación difrerencial

\( \dfrac{dy}{dt}=ky\left({1-\dfrac{y}{L}}\right) \)

que se denomina ecuación logística ya que modela un crecimiento limitado por el suministro de recursos necesarios. Obsérvese que \( dy/dt>0 \) si \( 0<y<L \) y que esta velocidad es pequeña si \( y \) es pequeña (hay pocos conejos para reproducirse) o si \( y \) tiene un valor cercano a \( L \) (hay casi tantos conejos como los recursos disponibles pueden alimentar). Obsérvese también que \( dy/dt<0 \) si \( y>L \). Si hay más animales de los que los recursos pueden alimentar, los conejos mueren con mayor velocidad que nacen. Por supuesto, las poblaciones en estado estacionario \( y=0 \) y \( y=L \) son soluciones de la ecuación logística: en ambos casos \( dy/dt=0 \). En la sección 7.9 examinaremos técnicas para resolver ecuaciones diferenciales como la ecuación logística. Por ahora, invitaremos al lector a verificar por diferenciación que la solución que cumple \( y(0)=y_0 \) es

\( y=\dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}} \)

Me sale un enredo algebraico irreductible:

\( \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{Ly_0^2e^{-kt}kt-L^2y_0kt}{y_0^2+e^{-2kt}L-y_0e^{-2kt}+2y_0L-2y_0^2e^{-kt}} \)

¡Un saludo!
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Geometría y Topología / Re: Corolario de Weiertrass
« Último mensaje por Masacroso en Hoy a las 09:02 am »
Muestre que cualquier función continua de valor real definidas sobre un subconjunto compacto $$A\subseteq \mathbb R$$ es el límite uniforme sobre $$A$$ de una secuencia de polinomios.

La idea para resolver el ejercicio es utilizar el siguiente Teorema 2 de Stone-Weierstrass. Sean $$X$$ un espacio topológico compacto y $$\mathcal A$$ un álgebra de funciones continuas de valor real definidas sobre $$X$$ separando los puntos de $$X$$ y conteniendo la función de valor constante igual a 1. Entonces $$\mathcal A$$ es denso en $$\mathcal C(X)$$ con respecto a la métrica uniforme.

Algunas ideas para empezar?

¿Has entendido el teorema que nombras? ¿Sabes lo que significa que un subconjunto sea denso? Sólo te queda ver que el conjunto de polinomios es un álgebra que toma valores en \( \mathbb{R} \) con unidad y que separa puntos, y ya has acabado.
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Hola  :) . Basicamente apliqué Ruffini, pero lo que me pide es hallar a,


Tienes que hallar R(x) tal que \( Q(x)=P(x)\cdot R(x)
  \), o sea

\( 3x^{3}-11x^{2}+2ax+a=(x-2)\cdot R(x)
  \)

Si x=2, entonces \( 3x^{3}-11x^{2}+2ax+a=(2-2)R(x)=0
  \).

Es decir, aplicando Ruffini y usando la raíz 2 el resto tiene que ser cero; te saldrá una sencilla ecuación con la que podrás saber el valor de “a”...
 
Spoiler
“Aquí está el saber, quien tiene inteligencia calcule el número de la bestia, que su número es de un hombre, y el número de la bestia...” esto lo decía porque al hacer la ecuación he cambiado un signo más por menos y me salía 6.66... pero no, con el signo bien no es eso
[cerrar]

Saludos.
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Hola

El polinomio dividendo es \( Q(x) \) no \( P(x) \). El problema está bien planteado.

Publica lo que intentaste, así podremos decirte si lo has hecho bien o corregir tus errores.

Debes encerrar tus expresiones matemáticas con las etiquetas tex. (Presionando el botón con el signo de sumatoria te escribe estas etiquetas)

Estudia el tutorial de LaTeX

Saludos

Hola  :) . Basicamente apliqué Ruffini, pero lo que me pide es hallar a, así que estoy viendo quizás si con un sistema de ecuaciones se resuelve. No publico lo que hice porque el problema apunta a otro lado, no logré todavía hallar el a perteneciente a los reales que cumpla con la división.

PD: Voy a aprender a usar el Latex.

Saludos.
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Cálculo 1 variable / Re: Ecuación diferencial "regla del cociente ideal".
« Último mensaje por franma en Hoy a las 07:18 am »
Buenas Masacroso,

\( \displaystyle{
f=g\exp\left(\int \frac{g'}{g'-g}\right)
} \)

Excelente simplificación! :aplauso:
Mañana con tiempo pruebo alguna función simple y lo agrego al mensaje.

La verdad se me ocurrió estando aburrido (estoy de receso) y terminamos llegando a una formula que en mi opinión resulta ser bastante agradable (aunque luego pueda ser difícil atacar esa integral dependiendo de que función tomemos).

Muchas gracias nuevamente :).

Saludos,
Franco.
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