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Mensajes - Luis Fuentes

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Cálculo 1 variable / Re: Decreciente
« en: Hoy a las 01:16 pm »
Hola

Quiero probar que esta función es decreciente en \( n \).

\( f_k(n)=\displaystyle\sum_{\color{red}i=1\color{black}}^{k-1}{\displaystyle\binom{n}{i}(\displaystyle\frac{k}{n+1})^i(\displaystyle\frac{n+1-k}{n+1})^{n-i}}
 \)

No se puede simplificar con el teorema del binomio. Otra forma que se me ocurre es analizar el signo de \( f_k(n)-f_k(n+1). \)

El sumatorio empieza en \( i=0 \).

En este artículo que ya había preguntado anteriormente. Creo que ya habías contestado en este mensaje

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=111142.msg439438#msg439438


De todas formas, creo que se requiere que \( P(X_i=a_i)=1/a_i \) y ahí creo que no se distribuye Binomial me parece.

En el artículo, dice que probar que \( P(X_1+X_2+...+X_n\leq{}n+1)\geq{}1/e \) es equivalente a probarlo para toda \( X_i \) que tome dos valores uno de los cuales es cero, pero no me queda claro si las \( X_i \) son idénticamente distribuidas o simplemente prueba que cada una de las variables aleatorias toma el valor \( 0 \) (Teorema 1).

El artículo demuestra que dadas variables \( Y_i \) independientes y de esperanza \( 1 \) existen variables \( X_i \) independientes y de esperanza \( 1 \) (no necesariamente idénticamente distribuidad), que sólo toman dos valores el \( 0 \) y otro tales que:

 \( P(Y_1+Y_2+...+Y_n\leq{}n+1)\geq P(X_1+X_2+...+X_n\leq{}n+1) \)

La consecuencia de esto es que si uno pretende estudiar el problema de minimizar \( P(Y_1+Y_2+...+Y_n\leq{}n+1) \), siendo  \( Y_i \) independientes y de esperanza \( 1 \), uno puede ceñirse al caso en el que tales variables sólo toman cada una de ellas el valor cero y otro.

Después demuestra que, en el caso particular de que además de tomar dos valores (el cero y otro), las variables sean idénticamente distribuídas:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} {}P(X_1+X_2+...+X_n\leq{}n+1)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} f_k(n)\geq \dfrac{1}{e} \)

Entonces le faltan dos cosas:

1) Probar que  tales \( f_j(n) \) son decrecientes en \( n \); entonces como consecuencia del límite que ha demostrado se cumpliría que:

\( P(X_1+X_2+\ldots+X_2\leq n+1)\geq \dfrac{1}{e} \)

siendo las \( X_i \) equidistribuídas e independientes con valores en \( (n+1)/k \) y cero, \( P(X_i=n+1/k)=k/(n+1) \).

2) Que en el problema de minimizar \( P(Y_1+Y_2+...+Y_n\leq{}n+1) \), siendo  \( Y_i \) independientes y de esperanza \( 1 \), no solo uno puede ceñirse al caso en el que tales variables sólo toman cada una de ellas el valor cero y otro, sinó que además el mínimo se alcanza en el caso en el que estas variables son equidistribuídas.

Citar
Ahora, si no tuvieran la misma distribución, no tendría distribución Poisson con \( \lambda=\displaystyle\sum_{i=1}^n{1/a_i} \)?

¿La suma? No.

Saludos.

P.D. Con la corrección del índice, que empieza en \( i=0 \) se tiene que:

Si \( Z_n \) es una binomial \( B(n+1,\dfrac{k}{n+1}) \) se tiene que:

\( f_k(n)=P(Z_n< k) \)

2
Hola

 Si; no me fijé en los detalles.
 
Resolviendo el producto \(   (a+ib) (cos \theta + i \sin \theta  \) demuestre que:
\( a \sin \theta + b \cos \theta= \sqrt[ ]{a^2+b^2}\sin  [\theta +\arctan \frac{b}{a} ]   \)
Solución:
Tenemos que \( (a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta)  \)
Luego se denota por  \( z = a+ ib  \) y \( w = \cos \theta + i \sin \theta  \)

Desarrollamos:
\( ( a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta) = (a \cos \theta - b \sin \theta) + i(a  \sin \theta + b \cos \theta)  \)  (*)
Ahora como estamos multiplicando zw, entonces:
\( arg (zw) = argz + argw  \)
Donde \( \theta = arg w, argz = \arctan \frac{b}{a}  \)

Hasta aquí bien. Estás llamando:

\( z=a+bi \)
\( w= \cos \theta + i \sin \theta \)

Citar
Luego:
\( zw = r (\cos r + \sin r )  \) con

Ahi deberías de decir:

\( zw=|zw|(cos(arg(zw))+isin(arg(w)) \)

Pero:

\( |zw|=|z||w|=\sqrt{a^2+b^2} \)
\( r=arg(zw)= argz + argw=\theta+\arctan(b/a) \)

y ahora si:

Citar
\( r = \theta + \arctan \frac{b}{a}=   \)
\(  =|a + ib| | \cos \theta + i \sin \theta| ( \cos r + i \sin r)   \)
\(  = \sqrt[ ]{a^2 + b^2} ( \cos r + i \sin r )  \) luego
\( ( a \cos \theta - b \sin \theta ) + i( a \sin \theta  + b \cos \theta ) = \sqrt[ ]{a^2 + b ^2} (\cos r + i \sin r)  \)
Al igualar la parte imaginaria
\( a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+ b^2} \sin r \)
\(  a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+b^2} \sin  (\theta + \arctan  (\frac{b}{a}) \) lo he hecho bien ? De no ser así necesito de su ayuda

Saludos.

3
Hola

1-\( z=d \),   ¡NO!

2-\( ax+by+cz=0 \) ¡SI!, y (quizas tambien)

3-\( ax+by+cz=d \) ?   ¡NO!

En el plano proyectivo la ecuación de una recta viene dada por una ecuación homogénea, es decir, como la que indicas en el punto (2). La (1) y la (3) no son ecuaciones válidas: no son compatible con la relación de equivalencia de \( \Bbb R^3 \) que nos permite construir el plano proyectivo identificando vectores proporcionales.

Citar
Tendria sentido hablar en algun modo de, en el 1er caso, una derivada asociada simple; y en los casos 2do y 3ro, de derivadas asociadas parciales : \( {\partial x} \), \( {\partial y} \) y \( {\partial z} \)?

Me pierdo completamente aquí; no sé a que viene hablar de derivadas.

Saludos.

4
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de poner el enunciado de un ejercicio sobre el cuál tienes dudas como imagen adjunta; éstas se reservan para gráficos complementarios del texto. Debes de teclearlo directamente en el mensaje.

 Por esta vez te lo hemos corregido desde la administración.

a) Encuentra la clausura \( \bar A \) del conjunto \( A=\left\{1+i^n\dfrac{n}{n+1},\,n\in \Bbb N\right\} \). ¿Es \( B=\Bbb C\setminus \bar A \) un dominio? y en ese caso, ¿es \( B \) simplemente conexo?.

 Fíjate que si \( r \) el el resto de dividir \( n \) por \( 4 \) tienes que:

\( i^n=\begin{cases}{1}&\text{si}& r=0\\i & \text{si}& r=1\\-1 & \text{si}& r=2\\-i & \text{si}& r=3\end{cases} \)

 Como consecuencia de esto el conjunto A está formado por 4 sucesiones de puntos dos sobre el eje real y dos sobre el imaginario que convergen a cuatro puntos: \( 1+1=2 \), \( 1+i \), \( 1-1=0 \) u \( 1-i \).



 Por tanto la clausura es el conjunto \( A \) junto con los cuatro puntos límite.

 El conjunto \( B \) es abierto por ser el complementario de un cerrado (una clausura siempre es cerrado) y es conexo ya que todo punto del complementario de \( \bar A \):

- Si no está en los ejes se une con el punto \( 1 \) con un segmento en \( B \).
- Si está en los ejes se une con un segmento a otro punto de \( B \) fuera de los ejes.

 Por último no es simplemente conexo, porque el conjunto \( B \) tiene "agujeros": todos los puntos de la sucesión \( A \).

 No sé con que rigurosidad te piden formalizar todo esto.

Saludos.

5
Hola

 Está bien.

Saludos.

6
Geometría y Topología / Re: Transformaciones proyectivas
« en: Ayer a las 02:59 pm »
Hola

Hola; tengo un par de preguntas sobre transformaciones proyectivas; una para las transformaciones de una recta proyectiva y otra para las de un plano.proyectivo.

En relacion a la primera, se tiene (segun el libro) que, dada la transformacion de una recta por una matriz de 2x2:

\( \begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix} \),

el punto de coordenadas \( \begin{bmatrix}-d&c\end{bmatrix} \) es aplicado al punto del infinito (cuya 2da coordenada es 0).

Ahora, suponiendo que se tiene una transformacion de un plano proyectivo dada por la matriz \( \begin{bmatrix}2&-3&3\\-2&3&0\\-4&0&3\end{bmatrix} \),

es correcto el concepto de que, ahora, se tendra un subespacio (hiperplano) de dimension 2 (o dim. proyectiva=1) que sera aplicado en un hiperplano impropio: a saber, una recta proyectiva (que) sera aplicada en la recta del infinito?

Y, ademas, que tal recta (la que sera aplicada a la recta del inf) corresponderia al espacio dado por la ecuacion:

\( \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}  \) \( \begin{bmatrix}3\\0\\3 \end{bmatrix} =0  \)?

Si es correcto. Todo esto bajo el supuesto que estás escogiendo una carta afín en la cuál la recta del infinito tenga ecuación \( z=0 \).

Es decir, la recta del infinito es un concepto que no es proyectivo sino afín; y es fruto de una elección.

Saludos.

7
Hola

Hola, ayúdenme con esta demostración por favor, no lo entiendo. Necesito que me ayuden a resolverlo y explicarme. Es para mí exposición.
Demostrar que el subconjunto \(  S= \{(x,y): y \geq{}x+2 ò y \leq{}x-2\}  \) no es conexo.

No es conexo si puedes ponerlo como unión de dos conjuntos abiertos disjuntos y no vacíós.

Toma \( U=\{(x.y): y-x>0\} \) y \( V=\{(x,y):y-x<0\} \). Son abiertos disjuntos de \( \Bbb R^2 \) y comprueba que:

\( S=(U\cap S)\cup (V\cap S) \) y que \( (U\cap S),(V\cap S)\neq \emptyset. \)

Saludos.

8
Triángulos / Re: Cómo calcular este ángulo sin trigonometría?
« en: 25 Septiembre, 2021, 10:58 pm »
Hola

En el triángulo inferior, el ángulo que falta es
\( 260-26-28=126 \)
Si a los ángulos que comparten ese vertice los llamamos \( z \) y \( w \)
Tenemos
(1) \( z+w+126=360 \)
Si al ángulo anexo a \( x \) le llamamos \( y \), tenemos con el triángulo exterior.
(2) \( x+y+38+50=180 \)
Y Completando los triángulos.
(3) \( 24+w+x=180 \)
(4) \( 10+y+z=180 \)

Cuatro ecuaciones, cuatro incógnitas.

Las cuatro ecuaciones no son independientes. Con lo cual no llegan para hallar los ángulos.

Hace falta alguna feliz idea. La solución debe de basarse en los valores particulares de los datos; es decir, si alguno de ellos se modifica el resultado ya no será tan redondo.

Saludos.

9
Hola

Añadido: Pero creo que podemos modificar el argumento exigiendo que \( D_{j} \neq D_{k} \) :).  ¡Muchas gracias!.

Exacto. En realidad si cogí el uno y el cero, es porque pretendía que el argumento fuese válido en cualquier cuerpo y todos los cuerpos tienen neutro para la suma \( 0 \) y neutro para el producto \( 1 \). Pero olvidé de que las matrices diagonales tenían que ser inversibles.

Así que el resultado es cierto en cualquier cuerpo con más de dos elementos. No sería cierto para \( \Bbb F=\Bbb Z_2 \) caso en el que el subgrupo \( T \) es de matrices inversibles es trivial, formado sólo por la identidad.

Saludos.

10
Teorema de Fermat / Re: Propuesta de UTF3 por descenso. Versión I
« en: 25 Septiembre, 2021, 04:16 pm »
Hola

 No puedes dividir por dos y por cuatro módulo \( 6 \), porque no son elementos inversibles en el anillo \( \Bbb Z_6 \), precisamente porque no son coprimos con \( 6 \). Fijate por ejemplo que:

\( 2\equiv 8 \) mod \( 6 \)

 Pero:

\(  \dfrac{2}{2}\not\equiv \dfrac{8}{2} \) mod \( 6 \)

Saludos.


11
Hola

Hola a todos,
Quiero probar que si \( G=GL(n;\mathbb{F}) \) y \( T \) es el subgrupo de \( G \) que consta de matrices diagonales entonces el normalizador de \( T \) en el grupo son las matrices monomiales, es decir matrices de la forma
\( M=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}E_{i,\sigma(i)}} \)
Donde \( \sigma \in{S_{n}}  \) ,los \( x_{i} \neq 0 \), y \( E_{ij} \) es la matriz que tiene un \( 1 \) en la entrada \( (i,j) \) y cero en todas las demás. Me queda claro que si \( M \) es monomial entonces está en el normalizador pero al revés no tanto.
Si \( A\in{N_{G}}(T) \) entonces para toda \( D \in T \) existe \( B \in T \) tal que \( AD=BA \). Si escribimos la matriz \( A \) como \( \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{a_{ij}E_{ij}} \) entonces nos queda que
\( a_{ij}(D_{j}-B_{i})=0 \)
para todas \( i,j \in \left\{{1, \ldots , n}\right\} \) no?. Donde \( B=\displaystyle\sum_{i=1}^n{D_{i}E_{ii}} \) y similarmente con \( D \). "Visualmente" esa ecuación nos dice que el \( i \)-ésimo renglón está multiplicado por \( D_{j} \)  mientras que la \( j \)-ésima columna por \( B_{i} \).
Pero de aquí no me queda claro cómo concluir. ¿Alguna sugerencia?.
De antemano muchas gracias.

 De ahi puedes probar que en cada fila sólo puede haber un ejemplo no nulo. Efectivamente si en la fila \( i \) tienes \( a_{ij},a_{ik}\neq 0 \) tomando \( D_j=0 \) y \( D_{k}=1 \) tendrías:

\( a_{ij}(D_{j}-B_{i})=0\quad \Rightarrow{}\quad 0=D_j=B_i \)
\( a_{ik}(D_{k}-B_{i})=0\quad \Rightarrow{}\quad 1=D_k=B_i \)  ¡Contradicción!.

 Para terminar ten en cuenta que una matriz inversible que en cada fila sólo tiene un elemento no nulo, no puede tener dos elementos no nulos en la misma columna, ya que en ese caso tendría una columna de ceros.

Saludos.

12
Teoría de la Medida - Fractales / Re: Función c.t.p
« en: 25 Septiembre, 2021, 01:41 pm »
Hola

Buenas luis gracias, creo que el proceso de dar con esa función no es nada fácil

Es cuestión de darle un poco de vuelta a las hipótesis. Una vez visto, ¿entiendes la solución y sabes completar los detalles?.

Saludos.

13
Teoría de la Medida - Fractales / Re: Función Integrable
« en: 25 Septiembre, 2021, 01:40 pm »
Hola

Si por ahí va la idea, tratando de trabajar con funciones simples.

Bien. ¿Pero entiendes los errores concretos qué te he indicado?.

Saludos.

14
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Proyeccion Ortogonal
« en: 25 Septiembre, 2021, 01:40 pm »
Hola

Sea \( S\subseteq{R^{3}} \) una superficie regular y \(  \pi : S \longrightarrow{R^{2}} \), la proyeccion ortogonal de S en el plano xy ¿ \(  \pi \) es diferenciable?

Si. La función \( \bar \pi:\Bbb R^3\to \Bbb R^2 \), \( \bar \pi(x,y,z)=(x,y) \) es diferenciable y la inclusión \( i:S\to \Bbb R^3 \) también lo es. La composición de ambas es la proyección indicada \( \pi \) y la composición de diferenciables es diferenciable.

Saludos.

15
Teoría de números / Re: Demostración de un teorema.
« en: 25 Septiembre, 2021, 01:37 pm »
Hola

Necesito demostrar que para enteros a y b se cumple (a,b)=(b,a)=(a,-b)

Una idea:
             \( (c\mid a )\wedge (c\mid b)\Leftrightarrow (c\mid b) \wedge (c\mid a) \)
              \( c\mid b\Leftrightarrow c\mid (-b) \).

Nota. Son interesantes los matices que aparecen en Help with proof that gcd is commutative.

 Simplemente otra forma de decir lo mismo que ha escrito Fernando:

 Los divisores positivos comunes de \( a \) y \( b \) son los mismos que los de \( b \) y \( a \), y los mismos que \( a \) y \( -b \).

 Además el m.c.d. de dos números es por definición el máximo del conjunto de divisores positivos comunes a ambos.

Saludos.

16
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Punto singular de una curva.
« en: 24 Septiembre, 2021, 11:14 pm »
Hola

Sea \[ \alpha \] una curva parametrizada. Si existe \[ t_0 \in (a,b) \] tal que \[ \alpha'(t_0) = 0 \], el punto \[ \alpha(t_0) \] se llama punto singular. La singularidad puede deberse a la aplicación (no esencial) o al conjunto de puntos imagen (esencial).

No entiendo el matiz.

En el primer caso, se puede reparametrizar la misma curva de manera que el punto no sea singular. Por ejemplo este arco de circunferencia



parametrizado como:

\( \alpha(t)=(cos(t^3),sin(t^3)) \) con \( t\in (-1,1) \)

tendría un punto singular cuando \( t=0 \) en \( \alpha(0)=(1,0) \). Pero no tendría punto singular alguno si la parametrizamos como:

\( \alpha(t)=(cos(t),sin(t)) \) con \( t\in (-1,1) \)

Sin embargo esta otra no hay manera de parametrizarlo sin que presente un punto singular en el origen:

\( \alpha(t)=(t^2,t^3) \) con \( t\in (-1,1) \)



Saludos.

17
Hola

Lema III: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3 \)  divide al cubo que es par.   

Como  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Establezcamos,  sin perder generalidad,  basándonos en los Lemas I y II,  que \( 2 \)  divide a una variable  \( (\alpha) \)  -y-  \( 3 \)  divide a otra  \( (\gamma) \) .  Por una parte tenemos que:  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma) \)  -y-  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma) \) .  Y por otra conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .  Entonces la anterior ecuación puede transformarse de la siguiente manera:  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)-3\beta\gamma(\beta+\gamma)}=(\beta+\gamma)(1-3\beta\gamma) \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta^3+\gamma^3)(1-3\beta^3\gamma^3)} \) .  Pero partimos de  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Luego  \( \alpha^3\equiv{-(\beta^3+\gamma^3)} \) .  Y esto significa en la penúltima ecuación que  \( 1-3\beta^3\gamma^3 \)  debe ser congruente con  \( 1 \)  módulo  \( 6 \) .

La afirmación en rojo no es cierta en general. No es cierto en general que:

\( x\cdot y\equiv x  \mod 6 \quad \Rightarrow{}\quad y\equiv 1\ \mod 6 \)

Para poder afirma eso necesitas que \( x \) y \( 6 \) sean coprimos.

Por ejemplo \( 2\cdot 4\equiv 2 \) mod \( 6 \).

Saludos.

18
Hola

     De entre todas las soluciones a la ecuación de partida,  escogeré la solución que es múltiplo de  \( 3 \)  estrictamente menor.  Demostraré a continuación que esto no puede darse; puesto que de todo ello se deduce que existe en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  una suma de cubos (igual a cero) con una solución a la que  \( 3 \)  divide menos veces y que además es más pequeña que su homóloga de partida. 

OJO. Pero parece que tu partes de una solución de ENTEROS USUALES con la condición de minimalidad que indicas. Si de ahí deduces que llegas a otra solución de ENTEROS USUALES que rompe esa condición de minimalidad, es decir, más pequeña. De acuerdo, demuestras que no puede darse.

Pero si lo que llegas es a una solución de ENTEROS NO USUALES (en \( \mathbb{Z}(\omega) \) ) entonces no demuestras nada. En ese caso para que el argumento fuese válido desde el principio y en todo momento tendrías que poder reproducirlo para ENTEROS NO USUALES.

Citar
Lema II:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide a la variable que es par.   

Tenemos que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \)  -y- que cuando es solamente múltiplo de  \( 2 \)  -y- no a la vez de  \( 3 \) ,  es congruente sólo con  \( 2 \)  ó  \( 4 \) .  Entonces,  sin perder generalidad,  si  \( 2 \)  divide a una variable  (\( a \))  -y-  \( 3 \)  divide a otra  (\( c \)) ,  tendremos que:  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \)  \( \Rightarrow \)  \( 4+5+3=0 \) mod \( 6 \)  ó que  \( 2+1+3=0 \) mod \( 6 \) .  Por otra parte:  \( -a^3\equiv{(b+c)((b+c)^2-3bc)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) .  Y también conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .   De esta forma,  por el primer caso,  tendríamos que esta última ecuación es: \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2=(b+c)^3-3 \)

No veo la implicación que he marcado en rojo.

Saludos.

19
Cálculo 1 variable / Re: Decreciente
« en: 24 Septiembre, 2021, 10:55 am »
Hola

Se puede probar analíticamente?

Pues debería... pero no acaba de salirme.

Si \( X_n \) es una binomial \( B(n+1,\dfrac{k}{n+1}) \) se tiene que:

\( f_k(n)=P(1\leq X_n\leq k) \)

Pero tampoco gano nada en principio con esa interpretación.

¿En qué contexto aparece esto?.

Saludos.

20
Teoría de la Medida - Fractales / Re: Función c.t.p
« en: 24 Septiembre, 2021, 10:28 am »
Hola

Buenas aquí de nuevo.

Sea \( (\Omega, \mathscr{F}, \mu) \) un espacio de medida y sea \( f \) una función medible tal que las siguientes integrales son iguales y finitas,

\( \displaystyle\int f^2 d\mu = \displaystyle\int f^3 d\mu = \displaystyle\int f^4 d\mu  \)

Probar que \( f(x)\in \left\{{0,1}\right\} \) c.t.p    :banghead:

Ten en cuenta que si la integral de una función no negativa es nula, entonces esa función es cero en casi todo punto.

Ahora nota que:

\( \displaystyle\int (f^2-f)^2d\mu=\displaystyle\int (f^4+f^2-2f^3)d\mu \)

Aplica la hipótesis y termina...

Saludos.

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