[cristianoceli]

Hola a todos.

Tengo problemas con esta demostración. No me resulta y no entiendo como puedo empezar a pesar de que el enunciado es muy claro.

En un triángulo ABC, sea I el centro del circulo inscrito. Demostrar que la potencia de I respecto al circulo circunscrito es

\( \displaystyle\frac{abc}{a+b+c} \) 



De antemano gracias.

[Michel]

Hola cristianoceli.

Creo que hay que tener en cuenta:

1. La distancia d entre incentro y circuncentro:  \( d^2=R^2-2Rr \)
2. La expresión del área del triángulo en función de R: S=(abc)/(4R)
3. La expresión del área del triángulo en función de r: S=pr
4. Por supuesto, la de la potencia de I.

R es el radio del círculo circunscrito, r el del inscrito, p el semiperímetro.

Inténtalo.

 Saludos.

[cristianoceli]

Hola cristianoceli.

Creo que hay que tener en cuenta:

1. La distancia d entre incentro y circuncentro:  \( d^2=R^2-2Rr \)
2. La expresión del área del triángulo en función de R: S=(abc)/(4R)
3. La expresión del área del triángulo en función de r: S=pr
4. Por supuesto, la de la potencia de I.

R es el radio del círculo circunscrito, r el del inscrito, p el semiperímetro.

Inténtalo.

 Saludos.

Lo intentaré. Armarse de paciencia y ver si sale.

Saludos

[cristianoceli]

Dejo mi solución por si alguien le sirve:

- Por la relación de Euler

\( OI^2=R^2=2Rr. \)

- Puesto que la potencia del incentro conr especto a la circunferencia circunscrita es

\( P(I)=OI^2-R^2 \)

- La potencia buscada es:

\( P(I)=(R^2-2Rr)-R^2=-2Rr. \)

- Y como \( \frac{abc}{4(ABC)}=R \) y \( r=\frac{[ABC]}{s} \)

- Entonces:

\( \[ P(I)=-2\cdot\frac{abc}{4(ABC)}\cdot\frac{(ABC)}{s}=-\frac{abc}{2s}=-\frac{abc}{a+b+c}. \] \)

[ingmarov]

Se añade a mi lista de cosas por aprender. No había escuchado sobre la potencia de un punto, hasta que publicaste esta consulta.
Felicidades y gracias por compartir.

[cristianoceli]

Se añade a mi lista de cosas por aprender. No había escuchado sobre la potencia de un punto, hasta que publicaste esta consulta.
Felicidades y gracias por compartir.

Gracias

Saludos.