[Raúl Aparicio Bustillo]

Hola

En primer orden (para teorías con un universo infinito) existe un sistema deductivo completo (todas las fórmulas que son consecuencia lógica de una se pueden deducir mediante una demostración, con el sistema deductivo K, que incluye axiomas lógicos y las reglas de inferencia (Modus Ponens e introducción del cuantificador) .

Tomando estos axiomas y reglas de inferencia y los propios de la teoría se puede deducir cualquier teorema de la teoría. Ahora bien, a la hora de definir modelos Ivorra deja claro que lo más que le puedes pedir a un simbolo del lenguaje: constante, variable, conectiva, es que se puedan interpretar de forma que los axiomas de la teoría sean verdaderos para cualquier asignación de las variables libres. Todas estas interpretaciones que hacen los axiomas verdaderos, son los modelos de la teoría


Sin embargo, igual que no da significado de las variables libres pues pueden tener cualquier valor del universo de la teoría, las conectivas lógicas por el contrario significan lo mismo en todos los modelos, el negador significa que si A es verdad, no A es mentira, y viceversa

Lo que en la práctica se suele hacer mucho es trabajar de manera "semi-sintactica" (l: no asignamos significados a relatores, funtores constantes variables, pero si se lo damos a las conectivas lógicas. Asignar el significado habitual a las conectivas, hace que los axiomas lógicos sean tautologías,. Ahora bien, ¿sería factible encontrar modelos en los que las conectivas tuvieran otro significado distinto , trabajando con  los mismos axiomas lógicos?

¿y en segundo orden? ¿También han de tener el mismo significado?

Saludos

[Óscar Matzerath]

Hola,

Por eso precisamente las conectivas se llaman "símbolos lógicos" mientras que los símbolos de relación, función y constante se suelen llamar "símbolos no lógicos". Claro que podrías interpretar conectivas lógicas de diferente manera, o que su interpretación dependiera del modelo, pero entonces los axiomas lógicos dejarían de ser tautologías. Esto es porque los axiomas lógicos al fin y al cabo son una descripción de como se comportan las conectivas lógicas, y además es un sistema completo, con lo cual su comportamiento queda totalmente determinado.

En segundo orden las conectivas lógicas tienen el mismo significado que en primer orden, y es el mismo en todos los modelos.

Saludos

[Raúl Aparicio Bustillo]

O sea ,que los axiomas lógicos de la logica clásica de primer orden y las reglas de inferencia del cálculo deductivo de dicha lógica  (que son Modus Ponens y la introducción del generalizador) restringe los significados posibles a la interpretación intuitiva: (A implica B significa que cualquier modelo que cumpla (ó satisfaga) A ha de cumplir B y el resto de conectivas y cuantificadores y, o , existe,y todas las demás....  tiene la misma equivalencia intuitiva que la que determinan los axiomas de primer orden incluso si nos las llevamos a lógicas de orden
 Ahora me doy cuenta de que esto es obvio porque cualquier calculo deductivo de segundo orden es una extensión del cálculo de primer orden, con lo cual, no puede aumentar la cantidad de significados posibles de las conectivas, en todo caso restringirlas, que no es el caso porque ya en primer orden las conectivas tienen un solo significado para todos los modelos, entonces o se mantiene su significado o no hay modelo para la teoría de segundo orden, y la opción última queda descartada (existen modelos para las teorías de segundo orden, al menos para algunas)