[Granmurillo]

Qué se trata de demostrar?
Que todos los ciclos terminan en 1 para mi que si, en cuyo caso la conjetura es cierta.
Que existen ciclos infinitos para mi que si porque los números son infinitos y esto es como pedir que se demuestre cuál es el último número del infinito.
Que existen ciclos que no sean acotados para mi que no aunque parezca ambigua con respecto a mi opinión anterior en cuyo caso la conjetura es cierta.
Que existen ciclos repetitivos a parte del 4 - 2 - 1 para mi que no en cuyo caso la conjetura es cierta.

[Luis Fuentes]

Hola

Qué se trata de demostrar?
Que todos los ciclos terminan en 1 para mi que si, en cuyo caso la conjetura es cierta.
Que existen ciclos infinitos para mi que si porque los números son infinitos y esto es como pedir que se demuestre cuál es el último número del infinito.
Que existen ciclos que no sean acotados para mi que no aunque parezca ambigua con respecto a mi opinión anterior en cuyo caso la conjetura es cierta.
Que existen ciclos repetitivos a parte del 4 - 2 - 1 para mi que no en cuyo caso la conjetura es cierta.

Se trata de demostrar que si se empieza en cualquier número \( n_0 \), al ir iterando:

\( f(n_0),f(f(n_0)),f(f(f(n_0))),f(f(f(f(n_0)))),\ldots \)

siempre se termina llegando al \( 1 \).

Los "yo creo que" (conjeturas )ya están establecidos; se trata de probarlos.

Saludos.

[Granmurillo]

Por eso pregunté porque no sabía qué necesitan demostrar.

[Luis Fuentes]

Hola

Al estudiar la conjetura pude conseguir una estructura que, a parte de calcular la cantidad de iteraciones para cada número, permite demostrar mediante una función que todas las secuencias llegan a 1 excepto una que es la causante del efecto granizo. Esta secuencia se resuelve tomando un número impar de la secuencia, llamemos xi, al que se puede dividir para 1,5 varias veces que dará como resultado varios números pares, llamemos xpn, hasta que un número par no permita ser calculado como un número entero, llamemos xp1, de forma tal que ningún número menor a xp1 puede regresar a la secuencia multiplicando por 1,5. Las iteraciones de la conjetura de Collatz desde el número que corresponde a la secuencia impar llevan a un número menor a xi. Claro que puede llevar a un xpn que lo regrese a la secuencia en cuestión y se cree un bucle sin fin que haría que la conjetura sea falsa, pero existe un xi que lleva a un xp1 mayor a las iteraciones de las conjeturas, llamemos xin, y cualquier xi menor a xin son verificables manualmente puesto que es un impar pequeño y demuestran que el resto de la conjetura que no es calculable es cierta también.

Es decir:

xp1 < algoritmo de collatz < xpn < xpi : secuencias verificables manualmente que se encuentran acotadas.
algortimo de collatz < xp1 < xpn < xpi : demostración lógica para las demás secuencias

Por ejemplo tomemos un número que ocupa el lugar 27 de la secuencia:

27/1,5= 18/1,5= 12/1,5= 8/1.5= 5,33333

Al ser 8 el par más pequeño no hay número entero anterior que multiplicado por 1,5 regrese a 8. Así 27 sería xi y 8 sería xp1 18 y 12 serían los xpn intermedios. Las iteraciones de Collatz para este número pequeño es 21 que aunque no lo regresan a la secuencia para formar un bucle sí hace esta situación posible, por ejemplo si el resultado hubiese sido 18 o 12. Existe un xi mayor en el cual las iteraciones de Collatz dan como resultado una posición menor al xp más pequeño de esa secuencia, posición que al multiplicarla por 1,5 la hace imposible volver a la secuencia original. Resultado que al unirlo a las verificaciones manuales de las iteraciones pequeñas demuestra que todas las secuencias se encuentran acotadas.

La correlación de los valores utilizados para la conjetura de Collatz y las posiciones de las secuencias así como la función que demuestra que el resto de secuencias iteran a 1 y la forma de calcular la cantidad de iteraciones para cada número no están explicadas aquí.

Si lo que afirmas es que tienes una demostración de la conjetura de Collatz, o una aproximación a ella, exponla de manera clara en un nuevo hilo.

Lo que has escrito aquí no se entiende.

Saludos.

[lee_bran]

Sea la función/sucesión \( g(x) = f^0(x)+ f^1(x)+f^2(x)+...+f^n(x)... \) donde \( f^i(x) \) es la i-ésima iteración de la función de Collatz tal y como se encuentra definido en la enciclopedia de los enteros: https://oeis.org/A285098

La función \( g(x) \) no es inyectiva.

Ej: 13, f(13)=20, f(20)=10, f(10)=5, f(5)=8, f(8)=4, f(4)=2, f(2)=1
g(13)= 13+20+10+5+8+4+2+1 = 63

32, f(32)=16, f(16)=8, f(8)=4, f(4)=2, f(2)=1
g(32)=32+16+8+4+2+1 = 63

Sea la función \( h(x) = ln(f^0(x)\cdot{}f^1(x)\cdot{}f^2(x)\cdot{}...\cdot{}+f^n(x)...)=ln(f^0(x))+ln(f^1(x))+ln(f^2(x))+...+ln(f^n(x))...)= \) donde \( f^i(x) \) es la i-ésima iteración de la función de Collatz que no es igual a 1.

La función \( h(x) \) es inyectiva:

\( \circ{} \) Si \( h(v) = h(w) \) y existen \( n, m \) para los que \(  f^n(v)=1 \) y \( f^m(w)=1 \):
\( h(v) \) se trata de un número irracional generado mediante la suma de logaritmos neperianos de números naturales (todos ellos irracionales). Si es igual a \( h(w) \), generado también mediante la suma de logaritmos neperianos de números naturales, es porque los sumandos son los mismos (en el mismo orden, dado que la secuencia generada por las aplicaciones sucesivas de la función de Collatz así obliga), luego se trata del mismo número: \( v=w \)

\( \circ{} \) Si \( h(v) = h(w) \) y no existen \( n, m \) para los que \(  f^n(v)=1 \) o \( f^m(w)=1 \):
En principio, puede ser alguno de estos casos:
- Ninguno de los sumandos coincide: entonces se trata de distintos números, en contra de lo que habíamos postulado.
- Alguno de los sumandos coincide: entonces, a partir de ese valor, la sucesión de Collatz es la misma para \( v \) y \( w \). Como tenemos la igualdad\( h(v) = h(w) \), los valores anteriores también tienen que coincidir, luego se trata de los mismos números y \( v=w \)

[Granmurillo]

Me perdí en la parte de \( h(v) \) es un número irracional pero por lo que entiendo entre números impares \( g(x) \), donde \( f^i (x) \) es la i-ésima iteración de la función de Collatz que calcula el siguiente número impar, si es una función inyectiva.

[lee_bran]

Buenas,

Antes de nada, corrijo unos errores leves de notación:

\(
h(x)= ln(f^0(x)\cdot{}f^1(x)\cdot{}f^2(x)\cdot{}...\cdot{}f^n(x)...)= ln(f^0(x))+ln(f^1(x))+ln(f^2(x))+...+ln(f^n(x))+... \), donde \( f^i(x) \) es la i-ésima iteración de la función de Collatz que no es igual a 1.

Además, aclaro que...:

\( h(v) \) se trata de un número irracional porque es el logaritmo neperiano de un número natural mayor que 1 (parte central de la igualdad anterior) o, visto de otra forma, es un número irracional generado como la suma de números irracionales (parte derecha de la igualdad).

Luego, para demostrar que la función \( h(x) \) es inyectiva, compruebo todos los casos posibles:

- Elegimos dos números \( v, w \) arbitrarios que tienen una sucesión de Collatz finita tales que \( h(v) = h(w) \), y razonamos que tiene que tratarse del mismo número.
- Elegimos dos números \( v, w \), alguno de los cuales no tiene una sucesión de Collatz finita. Entonces:

\( \circ{} \)Puede que alguno de los valores de las secuencias generadas por aplicar la función de Collatz coincida (e.d.\(  f^n(v)=f^m(w) \) para algunos \( n \) y \( m \) naturales), en cuyo caso, todos los valores posteriores al aplicar la función de Collatz coinciden. Los anteriores valores también tienen que coincidir porque se trataba de un número generado como suma de números irracionales.

Reutilizando los ejemplos de antes (teniendo en cuenta que en este caso presento 2 números que si convergen a 1): el \( 13 \) y el \( 32 \) coinciden al aplicar Collatz en un punto, ya que \( f(f(f(f(13))))=f(f(f(32))) = 8 \), sin embargo \( h(13) \neq{}h(32) \)

\( \circ{} \)No coincide ningún valor de la secuencias, luego se trata de números distintos.

[Luis Fuentes]

Hola

Luego, para demostrar que la función \( h(x) \) es inyectiva, compruebo todos los casos posibles:

- Elegimos dos números \( v, w \) arbitrarios que tienen una sucesión de Collatz finita tales que \( h(v) = h(w) \), y razonamos que tiene que tratarse del mismo número.
- Elegimos dos números \( v, w \), alguno de los cuales no tiene una sucesión de Collatz finita. Entonces:

\( \circ{} \)Puede que alguno de los valores de las secuencias generadas por aplicar la función de Collatz coincida (e.d.\(  f^n(v)=f^m(w) \) para algunos \( n \) y \( m \) naturales), en cuyo caso, todos los valores posteriores al aplicar la función de Collatz coinciden. Los anteriores valores también tienen que coincidir porque se trataba de un número generado como suma de números irracionales.

Pero si la Conjetura de Collatz es falsa la función \( h(w) \) podría estar mal definida, porque podríamos tener una suma infinita de términos.

Si es cierta, necesariamente se termina por llegar al valor \( 1 \).

Lo que no se es en que se fundamenta la afirmación en rojo. Diferentes números irracionales podrían tener la misma suma.

Saludos.

[Granmurillo]

P.D. De hecho para cualquier \( n \) natural uno siempre puede encontrar un número \( N \) tal que iterando \( n \) veces la función \(  f^{n)}(N)>N \). Basta tomar \( N=2^n-1 \).

Cuando tomamos \( N=2^n-1 \) si \( n \) es impar tiene una iteración menos que \( n+1 \), pero cuando \( n \) es par no tiene una iteración menos que \( n+1 \).

Por ejemplo:

\( N=2^3-1=7 \) que tiene 16 iteraciones hasta llegar a 1 mientras que \( N=2^4-1=15 \) tiene 17 iteraciones
\( N=2^5-1=31 \) que tiene 106 iteraciones hasta llegar a 1 mientras que \( N=2^6-1=63 \) tiene 107 iteraciones
\( N=2^7-1=127 \) que tiene 46 iteraciones hasta llegar a 1 mientras que \( N=2^8-1=255 \) tiene 47 iteraciones
etc...

Por qué?

Al menos en este caso que involucra a todos los impares \( N=2^n-1 \) sería cierto que iterando \( n \) veces la función \(  f^{n)}(N)>N \). ¿Y el resto de números impares?

[Luis Fuentes]

Hola

P.D. De hecho para cualquier \( n \) natural uno siempre puede encontrar un número \( N \) tal que iterando \( n \) veces la función \(  f^{n)}(N)>N \). Basta tomar \( N=2^n-1 \).

Cuando tomamos \( N=2^n-1 \) si \( n \) es impar tiene una iteración menos que \( n+1 \), pero cuando \( n \) es par no tiene una iteración menos que \( n+1 \).

Lo que yo afirmaba ahí es que si se toma \( N=2^n-1 \) después de \( n \) iteraciones se obtiene un número mayor que \( n \).

Por ejemplo:

para \( n=2 \), se tiene que \( f(f(2^2-1))=f(f(3))=8>3 \).
para \( n=3 \), se tiene que \( f(f(f(2^3-1)))=f(f(f(7)))=26>7 \).
para \( n=4 \), se tiene que \( f(f(f(f(2^4-1))))=f(f(f(f(15))))=80>15 \).

En general es fácil de probar por inducción que \( f(3^a2^b-1)=3^{a+1}2^{b-1}-1 \) y de ahí que \( f^{(n)}(2^n-1)=3^n-1 \).

Saludos.