[xhant]

Bien, tengo poco tiempo. Asi que espero que
me entiendan.

Que f'' <= 0 implica que f' es decreciente.

Sea x fijo, para z > x tenemos que f'(z) <= f'(x).

Si y > x entonces f(y) - f(x) = f'(e)(y - x) con
x < e < y, usando la desigualdad anterior
nos queda f(y) - f(x) <= f'(x) (y - x).
O mejor aun f(y) <= f'(x)(y - x) + f(x)

Ahora como f(y) >= 0, tenemos que
f'(x)(y - x) + f(x) >= 0, y ahora si despejo f'(x)
f'(x) >= -f(x) / (y - x).

Esto vale para todo y > x, entonces si tomamos el limite
cuando y -> infty, tenemos que f'(x) >= 0.

Repitiendo lo mismo del otro lado, es decir
cuando y < x nos queda que f'(x) <= 0.
Luego la unica posibilidad es f'(x) = 0. O lo que es lo
mismo f = c.

Los veo pronto.

[carsecor]

f´´(x)= -k (k>0) o f´´(x)=0  (sino admitiría mas de dos derivadas). Si f´´ (x)=-k --> f´(x)=-kx +c --> f(x)=-kx^2+cx+k limx-->inf f(x)= -(inf ) --> existe x en R / f(x)<0 #

Si f´´(x)=0 --> f´(x)= o f´(x)=0 . Si f´(x)=k --> f(x)=kx --> si K>0 lim x-->-inf f(x)= -(inf) # y lo mismo si k<0 .

Por lo que f´(x)=0 y por lo tanto f(x)=k , k > 0.

[xhant]

Si f''(x) = -k (k>0) o f''(x) = 0, entonces tiene tercera derivada, f'''(x) = 0, en ambos casos.

Pero el problema no dice que f'' solo tiene dos derivadas, dice que es derivable por lo menos dos veces (podria ser derivable tres, cuatro, .. ).