Autor Tema: Dictado del curso/taller: Cálculo de Límites (de números reales)

argentinator · 11 Octubre, 2010, 11:30 pm

Dictado del Curso/Taller:
Cálculo de Límites (de números reales).

Este es el hilo donde iremos colocando las notas del curso y las listas de ejercicios.

Hay Teoremas y resultados que se han enunciado sin demostración.
Si alguien requiere alguna demostración, puede solicitarla.

Aclaración importante: He puesto bastante teoría, incluso más formal que en la mayoría de libros de cálculo usuales. Sin embargo, no es obligatorio leer esa teoría, sino que está ahí como referencia.
Es suficiente conque resuelvan los ejercicios, y consulten sobre ellos.

La lista de ejercicios comienza aquí: Lista de ejercicios.

Para saber cuál es el objetivo del Curso/Taller y cómo participar en él, ir al hilo siguiente:

Organización del Curso/Taller: Cálculo de Límites (de números reales)

Para hacer consultas y/o comentarios, ir al hilo siguiente:

Consultas y Comentarios del Curso/Taller: Cálculo de Límites (de números reales)

Se ruega no postear en esta zona de Dictado.

Índice de temas

Índice de Ejercicios

argentinator · 12 Octubre, 2010, 02:46 am

SECCIÓN 0. Introducción al Sistema de Números Reales y sus Propiedades.

En este curso/taller vamos a trabajar concretamente en el sistema de los números reales.

Vamos a dar una lista de las propiedades algebraicas y analíticas de dicho sistema,
y en base a ella desarrollaremos la teoría de límites, y los correspondientes ejercicios.

Hagamos un breve repaso por los sistemas numéricos:

$ \mathbb{N} $ Números naturales: son los números de "contar":

$ 1, 2, 3, 4, 5, ... $
$ \mathbb{Z} $ Números enteros: son los enteros positivos, enteros negativos y cero:

$ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... $
$ \mathbb{Q} $ Números racionales: son los cocientes de enteros: 1/4, -3/5, 2/1, 9/5, -11/7, etc.
Los racionales se representan con una parte entera y una cantidad finita de dígitos decimales, o bien infinitos decimales periódicos. Por ejemplo:

$ 3/4 = 0.75,\qquad 7/3=2.3333...,\qquad -11/9=-1.2222... , $ etc.
$ \mathbb{R} $ Números reales: abarcan tanto los números tanto racionales como irracionales.
Los números irracionales son aquellos que se representan con infinitos decimales no periódicos. Por ejemplo:

$ \sqrt 2=1.4142135...,\qquad \pi=3.14159265... $
$ \mathbb{C} $: Números complejos: Son números de la forma $ a+bi $, donde $ a,b $ son reales, y el símbolo $ i $ indica la raíz cuadrada "formal" del número -1 (la cual no existe en $ \mathbb{R} $).

Se tienen las siguientes inclusiones de los respectivos sistemas numéricos:

$ \color{blue}\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}. $

Nosotros vamos a realizar nuestro estudio de límites en $ \mathbb{R} $.
A continuación listamos sus propiedades:

El sistema de los números reales está conformado de los siguientes elementos:

$ \mathbb{R} $: es el conjunto cuyos elementos son todos los números, que llamaremos "reales".
$ + $: es una operación entre números reales llamada suma.
$ \cdot $: es una operación entre números reales llamada producto.
$ < $: es una relación entre números reales, llamada menor que.
$ 0,1 $: son los números cero y uno respectivamente. Son, claro está, elementos del conjunto $ \mathbb{R} $.

Los números 0 y 1 son distintos entre sí.

Comentario íntimo.

Afirmar esto último puede parecer una trivialidad,
pero mientras se está en una etapa de definición o construcción de un sistema formal,
hay cosas que hay que suponer o demostrar.
El hecho de que $ 0\neq 1 $ puede darse como postulado,
o bien probarse a partir de otras propiedades de los números reales.
Nosotros lo hemos afirmado sin más, y se puede considerar entonces como Postulado.

[cerrar]

Podemos distinguir cuatro tipos de propiedades o leyes que cumplen los números reales.
Éstas son:

Prop. algebraicas.
Prop. de orden.
Prop. algebraico-ordinales.
Prop. analíticas.

En los posts que siguen damos una lista con las Propiedades más básicas de los números reales.

Hay muchas otras propiedades de los cuatro tipos antes mencionados,
pero es importante saber que
toda nueva propiedad de los números reales
puede demostrarse lógicamente a partir de las que vamos a listar
en los cuatro posts que siguen a continuación.

argentinator · 14 Enero, 2011, 12:43 am

SECCIÓN 1. Propiedades de los Números Reales.

1. a. Propiedades Algebraicas de los Números Reales.

Aquí se explican las propiedades usuales de las operaciones con números reales:
cerradura, asociativa, conmutativa, distributiva, identidad, absorción del 0, existencia de opuestos e inversos.

(Abrir desplegable para ver detalles)

Dados cualesquiera números $ a,b,c,a',b',c',...\in\mathbb{R} $, se cumple:

Ley de cierre:

$ a+b\in\mathbb{R} $ y $ a\cdot b\in\mathbb{R} $.
Leyes de identidad:

$ a+0=0+a=a,\qquad a\cdot 1=1\cdot a=a $.
Ley de absorción del 0:

$ a\cdot 0=0\cdot a=0. $
Ley asociativa:

$ (a+b)+c=a+(b+c),\qquad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c). $
Ley conmutativa:

$ a+b=b+a,\qquad a\cdot b=b\cdot a $.
Ley distributiva:

$ (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c) $,
$ c\cdot (a+b)=(c\cdot a)+(c\cdot b) $.
Ley uniforme:
- Si $ a=a' $ y $ b=b' $ entonces $ a+b=a'+b' $.
- Si $ a=a' $ y $ b=b' $ entonces $ a\cdot b=a'\cdot b' $.
Ley cancelativa de la suma:
- Si $ a+b=a+c $ entonces $ b=c $.
- Si $ b+a=c+a $ entonces $ b=c $.
Ley cancelativa del producto: Supongamos que $ a\neq 0 $.
- Si $ a\cdot b=a\cdot c $ entonces $ b=c $.
- Si $ b\cdot a=c\cdot a $ entonces $ b=c $.
Ley del opuesto aditivo: Dado cualquier número $ a\in\mathbb{R} $. existe un (único) número $ -a $, llamado el opuesto de $ a $, tal que:

$ a+(-a)=(-a)+a=0. $
Ley del inverso multiplicativo: Dado cualquier número $ a\in\mathbb{R} $, distinto de 0, existe un (único) número $ a^{-1} $, llamado el inverso de $ a $, tal que:

$ a\cdot(a^{-1})=(a^{-1})\cdot a=1. $

[cerrar]

Hemos desarrollado las leyes de la suma y el producto. Estas operaciones se llaman directas.
Sabemos que existen otras operaciones.
Damos aquí la definición de las inversas de aquellas operaciones denominadas directas: la resta y el cociente.

(Abrir desplegable para detalles sobre resta y cociente)

Dados $ a,b\in\mathbb{R} $, se define la resta de $ a $ y $ b $ y se denota $ a-b $, al número $ a+(-b) $. En símbolos:

$ a-b=a+(-b). $

Observemos que esta es una definición dada correctamente,
ya que, dado el número real $ b $,
sabemos que existe un único número opuesto, el cual se denota $ -b $.
Así que la expresión $ a+(-b) $ tiene un sentido bien definido, que además es inambiguo (ya que la suma de dos números sólo puede dar un resultado posible).
Dados $ a,b\in\mathbb{R} $, tales que $ b\neq 0 $, se define el cociente de $ a $ y $ b $ y se denota $ a/b $, al número $ a\cdot (b^{-1}) $. En símbolos:

$ a/b=a\cdot(b^{-1}). $

También se puede escribir en esta forma:

$ \dfrac ab=a/b=a\cdot(b^{-1}). $

Observemos que esta es una definición dada correctamente,
ya que, dado el número real $ b $, distinto de 0,
sabemos que existe un único número recíproco, el cual se denota $ b^{-1} $.
Así que la expresión $ a\cdot(b^{-1}) $ tiene un sentido bien definido, que además es inambiguo (ya que la suma de dos números sólo puede dar un resultado posible).

La división por 0 no está definida.

Es posible dar la definición de resta y cociente de un modo diferente, pero totalmente equivalente. Así:

La resta de dos números reales $ a,b $ es todo número real $ x $ que satisfaga la ecuación

$ x+b=a. $

Se puede demostrar que existe una y sólo una solución $ x $ posible a esta ecuación,
y así la resta está bien definida ($ x $ existe y es único).
En efecto:

Como existe en $ \mathbb{R} $ el opuesto $ -b $ de $ b $, y lo sumamos a ambos miembros.
En virtud de la ley uniforme, tenemos pues que:

$ (x+b)+(-b)=a+(-b). $

Aplicando ley asociativa, nos queda que:

$ x+(b+(-b))=a+(-b). $

Como $ -b $ es el opuesto de $ b $, resulta $ b+(-b)=0 $, así que:

$ x+0=a+(-b). $

Finalmente, aplicando la ley de identidad de la suma:

$ x=a+(-b). $
El cociente de dos números reales $ a,b $ es todo número real $ x $ que satisfaga la ecuación

$ x\cdot b=a. $

Se puede demostrar que, si $ b\neq 0 $,
entonces existe una y sólo una solución $ x $ posible a esta ecuación,
y así el cociente está bien definido ($ x $ existe y es único).
En efecto:

Como existe en $ \mathbb{R} $ el recíproco $ b^{-1} $ de $ b $,
podemos multiplicarlo a ambos miembros.
En virtud de la ley uniforme, tenemos pues que:

$ (x\cdot b)\cdot(b^{-1})=a\cdot (b^{-1}). $

Aplicando ley asociativa, nos queda que:

$ x\cdot(b\cdot(b^{-1}))=a\cdot(b^{-1}). $

Como $ b^{-1} $ es el recíproco de $ b $, resulta $ b\cdot(b^{-1})=1 $, así que:

$ x\cdot1=a\cdot(b^{-1}). $

Finalmente, aplicando la ley de identidad de la suma:

$ x=a\cdot(b^{-1}). $

Observamos ahora que, si $ b=0 $, ocurren situaciones anómalas. Veamos.

Si $ a=b=0 $, entonces todo número real x es solución de la ecuación $ x\cdot b=a $, pues en este caso es cierto que $ x\cdot 0 = 0 $ para todo $ x $.
Estamos usando aquí la ley de absorción del 0.
En este caso, decimos que el cociente $ 0/0 $ queda indeterminado (muchas soluciones posibles).

Si $ a\neq 0 $ y $ b=0 $, entonces $ x\cdot b=x\cdot 0 =0\neq a $,
y así la ecuación $ x\cdot b =a $ no tiene solución.
En este caso, se dice que el cociente $ a/0 $ queda indefinido (sin definición posible).

Vemos que el planteamiento a través de una ecuación permite especificar mejor lo que ocurre al dividir por 0, y entender por qué no se da una definición de cociente en ese caso.

Notemos además que las palabras indeterminado e indefinido se han usado en un sentido algebraico.
Más adelante veremos que tienen un significado diferente cuando se las usa en sentido analítico.

[cerrar]

1.b. Propiedades de Orden de los Números Reales.

La relación $ \leq $ se lee "menor o igual que".
Cuando escribimos $ a \leq b $, leemos: $ a $ es menor o igual que $ b $.

(Abrir desplegable para ver detalles)

La relación $ \leq{} $ indica, intuitivamente, una noción de "tamaño", pero no siempre es así.
En realidad, lo que indica dicha relación es un modo específico en el que los números se ordenan.
Se puede demostrar (aunque no lo haremos) que el orden resultante es idéntico al de una línea recta en la Geometría Euclidiana.

Para que no haya ambigüedades en cuanto a la correcta "intuición" de la relación de comparación $ \leq{} $, procedemos a indicar claramente las propiedades básicas que cumple.
Toda propiedad que se nos ocurra que quizá pueda cumplir la relación $ \leq $ entre algún par de números $ x,y\in\mathbb{R} $, no debe contradecir a las leyes que se listan a continuación.

Dados cualesquiera números $ a, b, c\in\mathbb{R} $, se cumple:

Reflexividad:

$ a \leq a. $
Antisimetría:

Si $ a\leq b $ y si $ b\leq a $, entonces $ a=b $.
Transitividad:

Si $ a\leq b $ y si $ b\leq c $, entonces $ a\leq c $.
Linealidad:

Dados $ a,b\in\mathbb{R} $ o bien $ a\leq b $ o bien $ b\leq a $.

[cerrar]

Sobre la relación < (estricta)

Ahora bien, si tenemos dos números $ a,b\in\mathbb{R} $ que en verdad son iguales,
entonces también son ciertas las relaciones siguientes:

$ a\leq b,\qquad b\leq a. $

Esto es, simplementa, la ley Reflexiva mencionada al principio.

Esta simple observación nos hace pensar que sería bueno distinguir el caso en que dos números son distintos. Para eso damos la siguiente:

Definición. Dados dos números $ a, b\in\mathbb{R} $, decimos que $ a $ es menor que $ b $, y escribimos $ a<b $, si valen estas dos condiciones:

$ a\leq b,\qquad a\neq b. $

Se puede demostrar (a partir de las propiedades de $ \leq $ y de la definición de $ < $)
que la relación $ < $ tiene propiedades muy similares a las que tiene $ \leq $,
aunque con sutiles diferencias.

Dados cualesquiera números $ a, b, c\in\mathbb{R} $, se cumple:

Irreflexividad:

$ a \not< a. $

O sea: Nunca es cierto que $ a<a. $
Antisimetría:

Si $ a < b $ entonces $ b\not\leq{a} $.

O sea: si $ a<b $, entonces no es cierto que $ b<a $ ni que $ b=a $.
Transitividad:

Si $ a< b $ y si $ b<c $, entonces $ a< c $.
Tricotomía:

Dados $ a,b\in\mathbb{R} $, es cierta una y sólo una de las siguientes tres posibilidades:

$ a<b,\qquad a=b,\qquad b<a. $

[cerrar]

Relaciones de orden inversas, números positivos y negativos, generalidades

Hemos postulado que $ 0\neq 1 $, así que, por Tricotomía,
sólo puede ocurrir que $ 0<1 $ o bien que $ 1<0 $.
¿Cuál es la opción correcta?

Sólo digamos que con los Postulados o Propiedades establecidos hasta este momento,
eso no puede establecerse claramente.
Para no complicar el asunto, simplemente afirmaremos (como un Postulado más, si se quiere),
que $ 0 $ es menor que $ 1 $. En símbolos:

$ 0<1. $

Notación. Es común definir relaciones inversas a las anteriores.

Dados $ a,b\in\mathbb{R} $ se dice que $ a $ es mayor o igual que $ b $, y se escribe $ a\geq{b} $ si $ b\leq{a} $.
Dados $ a,b\in\mathbb{R} $ se dice que $ a $ es mayor que $ b $, y se escribe $ a>{b} $ si $ b<{a} $.

Observación: Es interesante notar que, aunque las relaciones $ \leq $ y $ \geq $ son inversas la una de la otra, no obstante $ \geq $ tiene las mismas propiedades que ya hemos nombrado de $ \leq $: Reflexiva, Antisimétrica, Transitiva, Linealidad.

De modo análogo, la relación $ > $ tiene las mismas propiedades que ya tenía $ < $, a saber: Irreflexiva, Antisimétrica, Transitiva, Tricotomía.

¿Y entonces, en qué difieren? Lo hacen respecto a otro tipo de propiedades que veremos después.
En particular, se tiene que $ 1>0 $.

Ahora damos una importante definición:

Definición. Un número $ x\in\mathbb{R} $ se dice positivo si $ x>0 $.
Un número $ x\in\mathbb{R} $ se dice negativo si $ x<0 $.

De esta manera, el número 1 es positivo.

[cerrar]

Interpretación geométrica: la recta numérica

Para hacernos una rápida idea del sentido de todas estas propiedades y definiciones,
basta tener en cuenta algunas consideraciones geométricas,
las cuales no vamos a demostrar, sino que sólo vamos a ilustrar y usar como apoyo intuitivo.

$ \fbox{\mathbf 1}. $ Es posible identificar al conjunto de números reales con el conjunto de puntos de una línea recta (horizontal, si se quiere).
La identificación es tal que:
- A cada número $ x\in\mathbb{R} $ corresponde un único punto $ P $ en la línea recta, y recíprocamente,
- A cada punto punto P en la línea recta corresponde un único número $ x\in\mathbb{R} $.
La recta en cuestión recibe el nombre de recta numérica, o bien eje de abscisas.

Si un número $ a\in\mathbb{R} $ corresponde a un punto $ P $ en la recta numérica,
y un número $ b\in\mathbb{R} $ corresponde a un punto $ Q $ en la recta numérica,
entonces la relación $ a a $ se representa dibujando el punto $ Q $ "a la derecha" del punto $ P $.
$ \fbox{\mathbf 2}. $ En la recta numérica se marcan un punto $ O $ llamado origen,
el cual corresponde al número $ 0 $,
y un punto $ U $ que corresponde al número $ 1 $.

El segmento $ \overline{OU} $ se llama segmento unidad.

Trasladando el segmento unidad varias veces a la derecha del origen,
se obtienen puntos que corresponden a los números que llamaremos naturales o enteros positivos.
Al trasladar el segmento unidad hacia la izquierda del origen.
se obtienen puntos que corresponden a los números que llamaremos enteros negativos.

Supongamos que hemos un cierto punto $ S $ se ha elegido dentro del segmento $ \overline{OU} $.
Supongamos que al trasladar hacia la derecha "varias veces" el segmento $ \overline{OS} $, se alcanza el punto $ U $.
Decimos en este caso que $ \overline{OS} $ es una fracción exacta de $ \overline{OU} $ (esta terminología la estoy improvisando para usar sólo en este post).

Si un número $ x\in\mathbb{R} $ corresponde a un punto $ T $ en la recta numérica,
alcanzado al trasladar "varias veces" algún segmento
que sea fracción exacta del segmento unidad $ \overline{OU} $,
entonces decimos que $ x $ corresponderá a lo que denominaremos número racional o fraccionario.
(Estos números son cociente de enteros).
$ \fbox{\mathbf 3}. $ Ahora nos preguntamos si es posible "rellenar la recta numérica" con puntos fraccionarios.
La pregunta exacta sería esta:

Sea $ P $ un punto en la recta numérica.
¿Es posible hallar alguna fracción exacta $ \overline{OS} $ del segmento unidad $ \overline{OU} $,
tal que sea posible alcanzar el punto $ P $
mediante "varias" traslaciones del segmento $ \overline{OS} $,
partiendo desde el origen $ O $?

Estas traslaciones deberán hacerse hacia la derecha, si $ P $ está a la derecha de $ O $,
y hacia la izquierda si $ P $ está a la izquierda de $ O $.

Si pensamos en el segmento unidad $ \overline{OU} $ como una unidad de medida en la recta numérica,
entonces la fracciones exactas serían subunidades de medida en dicha recta.

Así que, lo que estamos preguntando, es si acaso hay alguna "subunidad",
no importa cuán pequeña sea, que nos permita "medir" cualquier segmento $ OP $ en la recta numérica.

Se puede demostrar que la respuesta a esta pregunta es:

NO

Cuando el segmento OP no se puede "medir" en la manera así explicada,
se dice que es "inconmensurable".

Los números $ x\in\mathbb{R} $ que corresponden a tales puntos $ P $,
son los que vamos a identificar como irracionales.

Así que vayamos sabiendo que hay segmentos que no pueden "medirse" partiendo la unidad estándar en subunidades.
Este problema se presenta en la vida real al tratar de medir la longitud de la diagonal de un terreno cuadrado.

Los hechos geométricos mencionados no serán demostrados por aquí con todo rigor.
Sin embargo volveremos ocasionalmente sobre las construcciones geométricas,
a fin de ilustrar algún punto especialmente importante.

Las relaciones entre números enteros, racionales e irracionales,
las iremos estudiando en otros apartados.
Sin embargo, mencionemos aquí que no hace falta profundizar demasiado en estos detalles a fin de desarrollar la teoría de límites que viene al final.
La necesidad de estos detalles y reflexiones procuran dar un sostén firme a los conocimientos del interesado.

[cerrar]

1.c. Propiedades Algebraico-ordinales de los Números Reales.

(Abrir desplegable para detalles)

Leyes de monotonía: Supongamos que $ a,b,c\in\mathbb{R} $:
- Si $ a0 $ y si $ a0 $ y si $ a \leq{}b $ entonces $ a\cdot c \leq{}b\cdot c $.
- Si $ c<0 $ y si $ ab\cdot c $.
- Si $ c <0 $ y si $ a \leq{}b $ entonces $ a\cdot c \geq{}b\cdot c $.
Observemos que según que $ c $ sea positivo o negativo, cambia el sentido de la desigualdad al efectuar el producto.
En cambio, esto no ocurre con la suma.

Ahora bien, si un número $ c\in\mathbb{R} $ es positivo,
entonces, por ser distinto de 0,
tiene un recíproco $ c^{-1} $.

Claramente, $ c^{-1} $ no puede ser 0, ya que $ c\cdot c^{-1}=1 $.

Nos preguntamos si $ c^{-1} $ es positivo o negativo.

Teorema. Si $ c>0 $, entonces $ c^{-1}>0 $.

Demostración:

Si $ c^{-1} $ fuese negativo, dado que $ 0<c $, por monotonía tendríamos que:

$ 0=0\cdot c^{-1}>c\cdot c^{-1}=1. $

Esto nos da que $ 0 > 1 $, contradiciendo lo que supusimos en el post anterior, a saber que $ 0 < 1 $.

Así que $ c^{-1}>0 $.

De modo similar se puede probar que:

Teorema. Si $ c < 0 $, entonces $ c^{-1}<0 $.

A partir de las leyes de monotonía y los dos Teoremas recién vistos,
es posible demostrar las siguientes:
Leyes cancelativas: Supongamos que $ a,b,c\in\mathbb{R} $.
- Si $ a+c<b+c $ entonces $ a0 $ y si $ a\cdot c<b\cdot c $ entonces $ a0 $ y si $ a\cdot c\leq{}b\cdot c $ entonces $ a \leq{}b $.
- Si $ c<0 $ y si $ a\cdot c<b\cdot c $ entonces $ a>b $.
- Si $ c<0 $ y si $ a\cdot c \leq{}b\cdot c $ entonces $ a \geq{}b $.

[cerrar]

1.d. Repaso de Teoría de Conjuntos.

Repaso de teoría de conjuntos

En general, entendemos un conjunto "intuitivamente" como
una "colección de ciertos elementos".
La definición formal de conjunto requiere
indagar profundamente en los Axiomas de la Teoría de Conjuntos,
cosa que no haremos en lo sucesivo.

Si un elemento $ x $ pertenece a un conjunto $ A $,
se escribe $ x\in A $.
Si un conjunto no tiene elementos,
se dice que es el conjunto vacío, y se denota $ \emptyset $.
Dados dos conjuntos $ A $ y $ B $,
se dice que $ A $ es subconjunto de B (o que $ A $ está contenido en $ B $)
cuando todo elemento de $ A $ es también elemento de $ B $,
y se denota: $ A \subset{ B} $.
Dos conjuntos $ A $ y $ B $ son iguales si tienen los mismos elementos,
y esto se denota $ A=B $.

Valen las siguientes importantes propiedades de la relación de inclusión:

Para todo conjunto $ A $: $ A\subset A $
Se tiene que $ A=B $ si y sólo si $ A\subset{B} $ y $ B\subset{A} $.
Si $ A\subset B $ y $ B\subset C $, entonces $ A\subset C $.

Los conjuntos se pueden definir a partir de propiedades, así.
Sea $ P( \cdot) $ una propiedad o afirmación que se aplica a ciertos elementos $ x $,
tal que se vuelve verdadera o falsa según el valor que tenga $ x $.
Se define el conjunto $ A_P $ de los elementos $ x $ que satisfacen $ P $, así:

$ A_P=\{x: P(x)\textsf{\ es verdadera}\}. $

La intersección de dos conjuntos $ A $ y $ B $ se define
como el conjunto que contiene a todos los elementos $ x $ que están tanto en $ A $ como en $ B $:

$ A\cap B= \{x: x\in A \textsf{\ y\ }x\in B\}, $

La unión de dos conjuntos $ A $ y $ B $ se define
como el conjunto que contiene a todos los elementos $ x $ que están o bien en $ A $ o bien en $ B $, o bien en ambos:

$ A\cup B= \{x: x\in A \textsf{\ o\ }x\in B\}, $

La diferencia de dos conjuntos $ A $ y $ B $ se define
como el conjunto que contiene a todos los elementos $ x $ que están en $ A $ pero que no están en $ B $:

$ A\setminus B= \{x: x\in A \textsf{\ y\ }x\not\in B\}, $

Un par ordenado $ (a, b) $ es el conjunto $ \{\{a\},\{a,b\}\} $.
Esa definición no es importante. Lo importante es esta propiedad:

Dados dos pares ordenados $ (a, b), (a', b') $, se tiene que $ (a, b) = (a', b') $ si y sólo si $ a = a' $ y $ b = b' $.

En general, se pueden definir listas ordenadas de $ n $ objetos, o $ n $-uplas: $ (a_1, a_2, ...,a_n) $.

Una función $ f: A\to B $ es un conjunto $ f $
cuyos elementos son pares ordenados $ (a, b) $ tales que $ a\in A, b\in B $,
y además se cumplen estas dos propiedades:

Todo elemento de $ A $ tiene imagen, o sea:
para todo $ a\in A $, existe $ b\in B $ tal que $ (a, b)\in f $.
Todo elemento de $ A $ tiene una sola imagen, o sea:
para todo $ a\in A $, si $ (a, b), (a, b') \in f $, entonces $ b=b' $.

En resumen, dado $ a\in A $, existe un, y sólo un, elemento $ b\in B $, tal que $ (a, b)\in f $.
A ese elemento $ b $ único se lo denota $ f(a) $.

Se dice que $ A $ es el dominio de $ f $,
y que $ B $ es el contradominio o imagen de $ f $.
Al conjunto $ R $ de todas las imágenes de $ f $ se le llama rango de $ f $:

$ R = rango(f) = \{b:\textsf{existe\ }a\in A(b=f(a))\}. $

En algunos textos se le llama "imagen" a lo que nosotros hemos denominado "rango".

Yo prefiero evitar, entonces, el uso de la palabra "imagen",
y especificar claramente los términos "contradominio" para el conjunto $ B $,
y "rango" para el conjunto $ R $.

[cerrar]

1.e. Intervalos y valor absoluto.

Definición de intervalos finitos, semiinfinitos, valor absoluto, entornos

Supongamos que $ a , b $ son números reales tal que $ a < b $.
Definimos a continuación los intervalos finitos con extremos $ a $ y $ b $:

Un intervalo abierto con extremos $ a $ y $ b $, es el conjunto de números reales definido por:
$ (a, b)=\{x\in\mathbb{R}:a<x<b\} $.
Un intervalo semiabierto (por izquierda) con extremos $ a $ y $ b $, es el conjunto de números reales definido por:
$ (a, b]=\{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b\} $.
Un intervalo semiabierto (por derecha) con extremos $ a $ y $ b $, es el conjunto de números reales definido por:
$ [a, b)=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x<b\} $.
Un intervalo cerrado con extremos $ a $ y $ b $, es el conjunto de números reales definido por:
$ [a, b]=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x\leq b\} $.

Observemos que un intervalo abierto se denota (a, b).
Esto no debe confundirse con el par ordenado (a, b).
¿Cómo se distinguen ambos conceptos tan disímiles, si la notación utilizada es ambigua?
El significado se deducirá del contexto,
en el que siempre se aclarará si se está hablando de un intervalo o de un par ordenado.

Sea $ a $ un número real.
Se definen a continuación los intervalos semiinfinitos con extremo $ a $:

$ (-\infty,a)=\{x\in\mathbb{R}: x<a\}. $
$ (-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R}: x\leq a\}. $
$ (a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}: x>a\}. $
$ [a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}: x\geq a\}. $

Los símbolos $ -\infty, +\infty $ no denotan número real alguno.
NO CREER QUE EXISTEN NÚMEROS INFINITOS.

Comentario: A veces el símbolo $ +\infty $ se escribe simplemente $ \infty $, sin el "+" adelante. En lo posible evitaremos esta omisión, pero en caso de que ocurra, debe entenderse que se está refiriendo a $ +\infty $.

Finalmente, el conjunto de todos los números reales se puede denotar como el intervalo infinito:

$ (-\infty,+\infty)=\{x:x\in\mathbb{R}\}. $

Se define el valor absoluto de un número real $ x $ como la función $ \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ dada por:
$ \alpha(x) =\begin{cases}
x,&\textsf{cuando\ } x > 0;\\
0,&\textsf{cuando\ } x = 0;\\
-x,&\textsf{cuando\ } x < 0.
\end{cases}
$

En el futuro no usaremos la letra $ \alpha $ para el valor absoluto.
La hemos empleado sólo para respetar la notación de función que venimos empleando.

La notación que emplearemos de aquí en más para el valor absoluto de $ x $ será: $ |x| $.

Dados un número real $ a $ y un número positivo $ \epsilon $,
se define el intervalo (abierto) centrado en $ a $ con radio $ \epsilon $ como el intervalo $ (a-\epsilon,a+\epsilon) $.
Inmediatamente se verifica la relación:

$ (a-\epsilon,a+\epsilon)=\{x\in\mathbb{R}:|x-a|<\epsilon\}. $

Usaremos también unos conjuntos llamados intervalos agujereados.
Se define el intervalo (abierto) agujereado centrado en $ a $ con radio $ \epsilon $ como el conjunto:

$ (a-\epsilon,a+\epsilon)\setminus\{a\}=\{x\in\mathbb{R}:0<|x-a|<\epsilon\}. $

Se observa que el intervalo agujereado en realidad no es un intervalo,
sino que se trata de un intervalo centrado al que se le ha quitado su centro.

Los intervalos centrados se suelen denominar también entornos.

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1.f. Funciones reales de variable real. Gráficos.

Representación Gráfica de Funciones Reales

En lo sucesivo trabajaremos con funciones $ f $ cuyo dominio es algún subconjunto $ A $ de los números reales $ \mathbb{R} $, vale decir, $ A\subset \mathbb{R} $, y cuyo contradominio es $ \mathbb{R} $.

En los ejercicios, lo más común es que el conjunto $ A $ sea algún intervalo,
o bien la unión de varios intervalos disjuntos.
Sin embargo, es posible que existan conjuntos $ A $ de estructura más complicada.

Para visualizar rápidamente el aspecto de una función f real de variable real,
se usan los gráficos bidimensionales, así:

Se traza una recta horizontal, que representa a los números reales, como hemos hecho hasta ahora. Se define en dicha recta una unidad de medida $ \overline{OU} $, estableciendo un origen $ O $.
Se traza una recta perpendicular que pase por el punto $ O $, y con la misma unidad de medida utilizada en el eje de abscisas, se establecen coordenadas en esta recta vertical.
O sea, la recta perpendicular trazada, ahora es una nueva recta numérica pero con orientación vertical, y cuyo origen es el mismo punto $ O $, común a ambas rectas.
Se denomina a esta recta: eje de ordenadas.
Se marcan con un color especial los puntos del eje de abscisas que corresponden a los elementos $ x $ del dominio de la función $ f $.
Por cada punto $ x $ del dominio de $ f $, se busca el punto $ y=f(x) $ en el eje de ordenadas.
Se traza una recta perpendicular en el punto correspondiente a x en las abscisas,
y de igual modo una perpendicular en el punto correspondiente a y en las ordenadas.
Las dos rectas se cortarán en un punto común, al cual identificaremos con el par ordenado $ (x, y) $.
Se dibuja en el plano este punto de intersección.
Se hace lo mismo con todos los puntos del dominio de la función, y el dibujo resultante es una "curva" o "trazo" que representa la función $ f $, como una colección de puntos en el plano.

La propiedad de unicidad de la imagen se ilustra geométricamente de la siguiente manera:

* Dado un elemento $ x $ en el dominio de $ f $, ubicar su punto correspondiente en el eje de abscisas, y luego trazar la recta perpendicular que pasa por ese punto. Se observará que la vertical "encuentra" un y sólo un punto del gráfico o curva de $ f $.

Así, se han trazado todos los puntos $ (x, y) = (x, f(x)) $,
y usualmente hablaremos de la curva $ y = f(x) $, o de la función $ y = f(x) $, etc.

Ejemplo:

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1.g. Axioma del Supremo.

Axioma. Sea $ A $ un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente, es decir, tal que existe un número real $ M $ que es mayor a todo elemento de $ A $. Entonces existe un número real $ s $ tal que:
- El número $ s $ es mayor o igual que todo elemento de $ A $:
 
 $ x\in A\Rightarrow{x\leq s}. $
- El número $ s $ puede aproximarse con precisión arbitrario mediante elementos de $ A $.
 O sea:
 
 _______para todo $ \epsilon>0 $,
 _______existe $ x\in A $
 _______tal que $ s-\epsilon < x\leq s $.
El número $ s $ se llama supremo de $ A $, y se denota $ s = \sup(A) $.

argentinator · 14 Enero, 2011, 07:55 am

SECCIÓN 2. Los conjuntos de números en la recta real.

El conjunto de números reales tiene subconjuntos muy importantes de números, como vimos en la introducción.
Aquí los desarrollamos formalmente y con más detalle.

2.a. Los Números Naturales. Inducción, Recurrencia, Buen Orden.

Vamos a definir formalmente a los números naturales
como un subconjunto de $ \mathbb{R} $ con ciertas propiedades.
Los detalles en el spoiler.

Construcción del sistema de números naturales dentro de R.

Recordemos que el número 1 es la identidad multiplicativa de $ \mathbb{R} $.
A partir de él construiremos el conjunto $ \mathbb{N} $ de números naturales.

Definición. Un subconjunto $ A $ de $ \mathbb{R} $ se dice que es inductivo,
si cumple estos requisitos:
- $ 1\in A $,
- Si $ x\in A $, entonces $ x+1\in A $.
La definición es "buena", ya que existen conjuntos inductivos.
Ejemplos de esto los hay muchos, pero nosotros sólo mencionaremos el más trivial:
El conjunto total $ \mathbb{R} $ de todos los números reales es inductivo.
Esto último es muy fácil de verificar.

Se puede demostrar que existe un conjunto inductivo, digamos $ J $,
que está incluido en todos los conjuntos inductivos $ A $ en $ \mathbb{R} $.
Este conjunto se puede definir así:

$ J = \{x\in \mathbb{R}: \textsf{para todo conjunto inductivo $A$ se cumple: $x\in A$ }\}. $

O sea, $ J $ es el conjunto de todos los elementos $ x $ de $ \mathbb{R} $ que pertenecen a todos los conjuntos inductivos posibles e imaginables que hay en $ \mathbb{R} $.

La colección de todos los conjuntos inductivos posibles es muy grande, infinita, y es difícil de describir.
Pero esto no importa, porque el conjunto J existe de todos modos, y es sencillo probar que él también es un conjunto inductivo, que está incluido en todos los demás.

Llamamos a este mínimo conjunto inductivo el conjunto de los números naturales.
De ahora en más lo vamos a denotar mejor con la letra $ \mathbb{N} $.
La propiedad de minimalidad de $ \mathbb{N} $ se traduce en el famoso Principio de Inducción.
En efecto, si $ A $ es un subconjunto inductivo de $ \mathbb{N} $,
por ser $ \mathbb{N} $ mínimo en este sentido, resulta $ A= \mathbb{N} $.

Concretamente, esto dice así:

Si $ A\subset \mathbb{N} $, y además $ 1\in A $, y para todo $ n\in A $ se tiene que $ n+1\in A $,
entonces $ A = \mathbb{N} $.

Esto puede aplicarse también al caso de conjuntos $ A $ de números naturales definidos por propiedades,
y entonces tenemos otra versión del Principio de Inducción
que permite demostrar proposiciones inductivas:

Si $ P(\cdot) $ es una proposición acerca de los números naturales,
si además $ P(1) $ es verdadera,
y si bajo el supuesto de que $ P(k) $ es verdadera se obtiene que $ P(k+1) $ es verdadera,
entonces $ P(n) $ resulta verdadera para todo numero natural $ n $.

Este principio permite demostrar hechos interesantes,
como que es correcto definir funciones a partir de relaciones de recurrencia.
Enunciaremos el teorema correspondiente,
pero no daremos los detalles de la demostración.

Principio de Definición por Recurrencia.
Sea $ X $ un conjunto no vacío, y
sea $ G:\mathbb{N}\times X\to X $ una función dada.
Sea además $ \alpha $ un elemento dado de $ X $.
Bajo tales condiciones, existe una, y sólo una función $ f:\mathbb{N}\to X $
que satisface las siguientes relaciones de recurrencia:
- $ f(1)=\alpha, $
- $ f(S(n))=G(n,f(n)). $ para todo $ n\in \mathbb{N}. $

Otra propiedad equivalente al Principio de Inducción (y que de nuevo dejamos sin demostrar), es la siguiente:

Principio de Buen Orden.
Si $ A $ es un subconjunto no vacío de $ \mathbb{N} $,
entonces $ A $ tiene un elemento que es mínimo.

Este Principio es muy importante,
y en realidad sólo se entiende cuando se lo compara
con conjuntos de números que no tienen un mínimo elemento.

Por ejemplo, el conjunto $ A = \{3, 5, 90, 114\} $ contiene cuatro números naturales,
y tiene mínimo. Su mínimo es el 3.

Pero el conjunto de enteros $ A = \{-1, -3, -5, -7, -9, -11, ...\} $ no tiene mínimo.

El intervalo $ A = (6, 22) $ tampoco tiene mínimo.
En efecto, aunque el número 6 es más pequeño que todos los elementos de $ A $,
y pareciera que dicho 6 "debiera ser el mínimo", de hecho no lo es,
porque el 6 en cuestión no es un elemento de $ A $.

El mínimo de un conjunto $ A $, si es que existe,
obligatoriamente ha de ser un elemento de $ A $.

Así que tener mínimo o no, en general es cuestión de suerte.
Pero para el caso de conjuntos $ A $ formado exclusivamente por números naturales,
sabemos que siempre habrá un elemento mínimo allí.

[cerrar]

Definición de potencias y raíces de exponente natural.

Sea $ x \in \mathbb{R} $.
Se definen las potencias de exponente $ n \in \mathbb{N} $ de $ x $ mediante la siguiente fórmula de recurrencia:

$ x^1=x, $
$ x^{n+1}=x^n\cdot x. $

Esta definición define x^n, con n \in \mathbb{N} de manera correcta e unívoca,
ya que la fórmula de recurrencia está "amparada" por
el Teorema de Definición por Recurrencia arriba mencionado.

Ejercicio: ¿Cómo aplicaría el Teorema exactamente? ¿Cuál es la función $ G $ en este caso?

En realidad, sabemos por nuestra experiencia que la potencia es simplemente un producto repetido:

$ x^n=\underbrace{x\cdot \cdots \cdot x}_{\textsf{$n$ veces}}. $

En la práctica podemos olvidarnos de los detalles formales y quedarnos con esta última fórmula.

Ahora definamos la raíz de índice natural $ n $.
Sean $ x \in \mathbb{R} $ y $ n\in \mathbb{N} $.
Un número real $ r $ es una raíz $ n $-ésima de $ x $ si $ r^n = x $.

Se puede demostrar que:

Si $ x<0 $, y $ n $ es impar,
entonces x tiene una única raíz n-ésima, también negativa.
Si $ x<0 $, y $ n $ es par,
entonces x no tiene raíz n-ésima.
Si $ x>0 $, y $ n $ es impar,
entonces $ x $ tiene una única raíz $ n $-ésima, también positiva.
Si $ x>0 $, y $ n $ es par,
entonces $ x $ tiene dos raíces $ n $-ésima, una positiva y la otra negativa,
ambas con el mismo valor absoluto.
Si $ x=0 $, su única raíz $ n $-ésima siempre es 0.

En virtud de la posible ambigüedad en el valor de la raíz $ n $-ésima,
no se puede definir una operación inversa de
la potencia de exponente $ n $ que nos quede cómoda.

Sin embargo, las posibles raíces a lo sumo difieren en el signo,
y así tiene sentido definir una operación "pseudoinversa" que al menos dé cuenta de
la raíz positiva de un número positivo o nulo, la cual que siempre existe.

Dados $ x\geq 0, n\in \mathbb{N} $,
se define el símbolo $ \sqrt[ n]{x} $ como
la única raíz $ n $-ésima positiva o nula de $ x $.

Así que el símbolo de radical $ \sqrt[ n]{} $ se usa para indicar
"sólo una" de las soluciones posibles de la ecuación $ r^n=x $ para $ n $ par.
En este caso, se puede describir el conjunto de soluciones de la ecuación como:

$ r=\sqrt[ n]{x} \textsf{\ \ \ o\ \ \ } r=-\sqrt[ n]{x}. $

En cambio, cuando $ n $ es impar el símbolo $ \sqrt[n ]{x} $ denota a
la única posible raíz $ n $-ésima de $ x $,
sin importar ahora si $ x $ es positivo o negativo.

Debemos tener cuidado con el tratamiento que hacemos del simbolo radical,
y de las raíces $ n $-ésimas, que no siempre son lo mismo.

[cerrar]

2.b. Los Números Enteros. Divisibilidad y primalidad.

Definición del conjunto de números enteros.

Un conjunto $ A \subset \mathbb{R} $ se dice cerrado por sumas y restas,
si para cualesquiera números $ a, b\in A $ se cumple que $ a+b $ y $ a-b $ también están en $ A $.

Obviamente, el conjunto de todos los números reales $ \mathbb{R} $ es él mismo cerrado por sumas y restas.

Mientas tanto, el conjunto $ \mathbb{N} $ de los números naturales
no es cerrado por sumas y restas.
En realidad, si se suman dos números naturales,
sí que se obtiene otro número natural.
Pero si se restan dos números naturales $ a, b $ con $ a \leq b $,
el resultado no es un número natural.

Nos preguntamos si existe algún conjunto mínimo
con la propiedad de contener a $ \mathbb{N} $,
y al mismo tiempo ser cerrado por sumas y restas.

Definimos

$ \mathbb{Z}=\bigcap\{A:\textsf{$A\subset\mathbb{R}$,$A$ cerrado por sumas y restas, tal que $A\supset{\mathbb{N}}$}\}. $

Se puede demostrar que este conjunto $ \mathbb{Z} $
es también cerrado por sumas y restas,
y además claramente está contenido en todo conjunto
cerrado por sumas y restas que contiene a $ \mathbb{N} $.

Por lo tanto, $ \mathbb{Z} $ es el mínimo buscado,
y lo denominamos conjunto de números enteros.

En concreto, el conjunto Z consta de los números naturales,
de la identidad aditiva 0,
y de los opuestos aditivos de los números naturales.

Se suele denotar $ \mathbb{Z}^- = \{-x: x\in\mathbb{N}\} $.
De modo similar, se suele denotar $ \mathbb{Z}^+= \mathbb{N} $.
Esta notación permite escribir la fórmula escueta que sigue:

$ \mathbb{Z}=\mathbb{Z}^-\bigcup\{0\}\bigcup\mathbb{Z}^+. $

Se puede demostrar que la multiplicación de dos números enteros
da como resultado de nuevo un número entero.
Sin embargo la división de dos números enteros no siempre da un número entero.

Para estudiar este problema, se definen las nociones de divisibilidad, números primos y compuestos.

Dados dos números enteros $ a, b $,
se dice que $ a $ divide $ b $, y se denota $ a|b $,
si existe un entero $ k $ tal que $ b = a\cdot k $.
En tal situación se dice que $ a $ es un divisor de $ b $.

Es fácil demostrar que $ 1 $ divide a todo número entero $ n $,
y que todo entero $ n $ divide al $ 0 $.

Notemos que aunque, por definición, el $ 0 $ divide al $ 0 $,
aún así la división $ 0/0 $ no está definida.

También notemos la curiosa propiedad siguiente, que es fácil de probar:

Si $ a|b $ y $ b|c $, entonces $ a | c $.

Se dice que un número entero $ p $, distinto de $ 0, 1 $ y $ -1 $,
es primo, si sus únicos divisores posibles son $ 1, -1, p, -p $.
Si no, se dice que $ p $ es compuesto.
Los números $ 0, 1 $ y $ -1 $ no se consideran primos ni compuestos.

Obviamente, $ p $ es primo si y sólo si $ -p $ también es primo.
Así que basta considerar los primos positivos (o sea, los que están en $ \mathbb{Z}^+ $).

Teorema de Euclides.
Hay una cantidad infinita de números primos positivos.

Interpretación: dado un primo p cualquiera,
siempre es posible hallar un número más primo más grande.

(Omitimos la demostración.)
Del Teorema anterior es posible decir que los números primos pueden ordenarse: hay un primer primo, un segundo, un tercero, etc.

De esta manera, se conviene en denotar $ p_n $ al $ n $-ésimo número primo positivo. Así, tenemos que:

$ p_1 = 2 $
$ p_2 = 3 $
$ p_3 = 5 $
$ p_4 = 7 $
$ p_5 = 11 $
$ p_6 = 13 $
$ p_7 = 17 $

y así sucesivamente...

Finalmente, damos el importante teorema de descomposición única en factores primos:

Teorema. Sea $ m $ un número entero positivo.

Existe un máximo índice $ n\in \mathbb{N} $ tal que
para cada índice $ j=1,2,3,... $,
hay un único exponente $ e_j $ de modo que:

$ m = p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot \cdots \cdot p_n^{e_n}. $

Interpretación: Un número entero positivo se puede descomponer de una única forma posible como producto de factores primos positivos.

[cerrar]

Definición de potencias y raíces con exponente entero.

Potencia 0-ésima: Sea $ x\in\mathbb{R}, x \neq 0 $. Se define $ x^0=1 $.

La potencia $ 0^0 $ no se define...
Veremos más adelante que puede "considerarse" una expresión aritmética indeterminada.

Potencia entera negativa: Sea $ x\in\mathbb{R}, x \neq 0 $. Si $ n \in \mathbb{Z}^+ $, entonces se define:

$ x^{-n}=\dfrac1{x^n}. $

La potencia $ 0 ^{-n} $ no se define.

Igual que de costumbre, se dice que $ r $ es una raíz $ (-n) $-ésima de $ x $ si $ r^{-n}=x $.
No analizaremos en detalle esta situación.

Sólo definiremos el radical de índice negativo:

$ \sqrt[ -n]{x}=\dfrac1{\sqrt[n ]{x}}, $

siempre que $ x\neq 0 $ y mientras $ \sqrt[n ]{x} $ esté bien definido.
Si no, el radical de índice $ -n $ queda sin definir.

El radical de índice $ 0 $ no se define.

[cerrar]

2.c. Los números racionales.

Definición y algunas propiedades de los números racionales

Un conjunto $ A \subset \mathbb{R} $ se dice cerrado por productos y cocientes,
si para cualesquiera números $ a, b\in A $ se cumple que $ a\cdot b $ está en $ A $ y mientras $ b $ sea distinto de cero, también $ a/b $ está en $ A $.

Obviamente, el conjunto de todos los números reales $ \mathbb{R} $ es él mismo cerrado por productos y cocientes.

Mientas tanto, los conjuntos $ \mathbb{N} $ de números naturales y $ \mathbb{Z} $ de números enteros
no son cerrados por productos y cocientes.
En realidad, si se multiplican dos números naturales,
sí que se obtiene otro número natural. Asimismo, si se multiplican dos números enteros, se obtiene otro número entero.
Pero si se dividen dos números enteros $ a, b $ tales que $ b\not| a $,
el resultado no es un número entero.

Nos preguntamos si existe algún conjunto mínimo
con la propiedad de contener a $ \mathbb{Z} $,
y al mismo tiempo ser cerrado por productos y cocientes.

Definimos

$ \mathbb{Q}=\bigcap\{A:\textsf{$A\subset \mathbb{R}$, $A$ cerrado por productos y cocientes, tal que $A\supset{\mathbb{Z}}$ }\}. $

Se puede demostrar que este conjunto $ \mathbb{Q} $
es también cerrado por productos y cocientes,
y además claramente está contenido en todo conjunto
cerrado por productos y cocientes que contiene a $ \mathbb{Z} $.

Por lo tanto, $ \mathbb{Q} $ es el mínimo buscado,
y lo denominamos conjunto de números racionales.

En concreto, el conjunto $ \mathbb{Q} $ consta de los números enteros,
y de los recíprocos multiplicativos de los números enteros (distintos de cero).

Se suele denotar $ \mathbb{Q}^- = \{x\in\mathbb{Q}: x<0\} $.
Se suele denotar $ \mathbb{Q}^+ = \{x\in\mathbb{Q}: x>0\} $.

Esta notación permite escribir la fórmula escueta que sigue:

$ \mathbb{Q}=\mathbb{Q}^-\bigcup\{0\}\bigcup\mathbb{Q}^+. $

Se puede demostrar, además, que el conjunto $ \mathbb{Q}^+ $ es el mínimo conjunto cerrado por productos y cocientes que contiene al conjunto $ \mathbb{N} $ de números naturales.

Dado un $ x\in \mathbb{Q} $, se puede chequear el hecho siguiente:

Existen dos números enteros $ p, q $, tales que $ q\neq 0 $, y tal que $ x = p/q $.

La descomposición anterior no es única.
De hecho, para todo entero $ m \neq 0 $, se tiene que $ p/q = (m\cdot p)/(m\cdot q) $.

En particular, la descomposición $ x=p/q $ puede elegirse de tal manera que $ q $ siempre sea un entero positivo. En ese caso, el signo de $ x $ será igual que el signo de $ p $.

Digamos algo más. Si $ d $ es un número entero tal que $ d|p $ y $ d|q $, entonces $ p/d $ y $ q/d $ son enteros, y se tiene entonces la igualdad: $ p/q = (p/d)/(q/d) $.

Esto último es la regla de simplificación de fracciones.

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Potencias y raíces con exponente racional.

Supongamos que $ x $ es un número racional positivo.

Sean $ p,q,p',q' $ números enteros positivos tales que $ x=p/q=p'/q' $.

En tal caso se tiene la igualdad $ p\cdot q'=p'\cdot q $.

Si ahora $ r $ es un número real no negativo, se puede comprobar que vale la igualdad siguiente:

$ \sqrt[q]{r^p}=\sqrt[q']{r^{p'}}. $

Esto justifica definir la potencia con exponente racional, así:

$ r^{x}=r^{p/q}=\sqrt[q]{r^p}. $

Como el lado derecho no depende de la representación utilizada del número $ x $ como cociente de enteros, la definición que hemos dado es correcta, sin ambigüedad alguna.

Si el exponente fuese negativo, damos una sencilla definición basada en la anterior:

$ r^{-p/q}=\dfrac1{r^{p/q}},\qquad p,q\in\mathbb{Z}^+. $

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2.d. Propiedades algebraicas adicionales de los números reales.

Listado de Propiedades Algebraicas más usadas

En lo que sigue, supongamos que todas las letras representan números reales.
Con las letras griegas $ \alpha, \beta, \gamma, \delta,\epsilon, $ etc., indicaremos números distintos de 0.

Del lado izquierdo pondremos una igualdad, y del lado derecho su "filosofía".

$ -(-a)= a $ ------------------------------ El opuesto del opuesto de $ a $ es de nuevo el mismo $ a $.

$ (\alpha^{-1})^{-1}=\alpha $ ---------------------------- El recíproco del recíproco de $ \alpha $ es de nuevo el mismo $ \alpha $.

$ -(a +b) = (-a)+(-b)=-a -b $ -------- El negativo de una suma es la suma de los negativos.

$ {(\alpha\beta)} ^{-1}=\alpha^{-1}\cdot\beta^{-1} $ ----------------------- El recíproco de un producto es el producto de los recíprocos.

$ a\cdot b= 0\Rightarrow{a=0 \quad\textsf{\'o}\quad b=0} $ -------------- Si el producto de dos números da 0, entonces al menos uno de los factores es 0.

$ (-a)\cdot b=-a\cdot b $ ------------------------ El producto por el negativo de un número es igual al negativo del producto de los dos números sin negar.

$ \dfrac{a\cdot b}{ \gamma\cdot\delta}=\dfrac a\gamma\cdot \dfrac b\delta. $ ---------------------------- El cociente de los productos es el producto de los cocientes.

$ \dfrac{\dfrac a\alpha}{\dfrac \beta\gamma}=\dfrac{a\cdot\gamma}{\alpha\cdot\beta} $ ------------------------------- El cociente de los extremos es el producto de los términos "extremos" dividido por el producto de los términos "medios".

$ \dfrac a\gamma+\dfrac b\delta= \dfrac{a\cdot\delta+b\cdot\gamma}{\gamma\delta} $ ---------------------- Regla de la suma de dos cocientes.

El recíproco de un número real $ \alpha $ coincide con la potencia de exponente $ -1 $ de $ \alpha $.
Así que la notación $ \alpha^{-1} $ tiene los dos significados al mismo tiempo, y no hay ambigüedad debido a que ambas "operaciones" dan el mismo número real como resultado.

Las siguientes reglas sólo valen cuando las potencias involucradas tienen sentido de ambos lados de la igualdad.
Si no se tiene esto en cuenta, es posible obtener varias falacias como las que aparecen en internet.

$ (a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m. $ ----------------------- La potencia del producto es el producto de las potencias.

$ (\dfrac a\gamma)^m=\dfrac{a^m}{\gamma^m}. $ ---------------------------- La potencia del cociente es el cociente de las potencias.

$ a^{m+n}=a^m\cdot a^n. $ ------------------------ El producto de potencias de igual base es la potencia con los exponentes sumados.

$ a^{m-n}=\dfrac{a^m}{a^n}. $ ---------------------------- El cociente de potencias de igual base es la potencia con los exponentes restados.

$ (a^m)^n=a^{mn}. $ --------------------------- La potencia de la potencia es una potencia con exponente producto.

Escribiendo las raíces como potencias de exponente fraccionario: $ \sqrt[m]a=a^{1/m} $,
es sencillo deducir una lista de reglas análogas a las recién mostradas.

Importante: Si hay propiedades o reglas importantes que crees que debieran estar en la lista anterior, basta anunciarlo en la sección de Organización, o por Mensaje Privado, o como prefieras.
(Si lo haces respondiendo a esta zona de Dictado, tu mensaje será movido a Organización).

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2.e. Propiedades ordinales adicionales de los números reales

Listado de Propiedades más comunes respecto el orden.

(En edición...)

[cerrar]

2.f. Propiedades geométrico-ordinales de los números reales

Propiedades de Densidad, Arquimedianeidad y Aproximación.

Los siguientes hechos pueden demostrarse, pero nosotros omitiremos la prueba.

Teorema. (Principio de Buen Orden en $ \mathbb{N} $)
Si $ A $ es un subconjunto no vacío de los números naturales,
entonces $ A $ tiene un elemento $ m $ que es el menor de todos los elementos de $ A $.
Teorema. Los enteros como sistema discreto.
Sean $ m,n $ dos números enteros tales que $ m\leq n $.
Si $ n - m > 1 $, entonces en realidad $ n-m\geq 2 $, y además existe un entero $ k $, distinto de $ m $ y $ n $, tal que $ m < k < n $.
Si $ 0<n - m \leq 1 $, entonces en realidad $ n-m=1 $, y además no existe entero $ k $ alguno, distinto de $ m $ y $ n $, tal que $ m < k < n $.
Teorema. Densidad de los racionales.
Sean $ a, b $, dos números racionales tales que $ a< b $.
Entonces existe otro número racional $ c $ tal que $ a < c < b $.

Además, el número $ (a+b)/2 $ cumple la propiedad citada (se llama "promedio" de $ a $ y $ b $).
Teorema. Propiedad de la Mínima Cota Superior.
Sea $ A $ un conjunto no vacío de números reales,
acotado superiormente por un número $ M $.
Sea $ B $ el conjunto de todas las cotas superiores de $ A $.
En este caso, el conjunto $ B $ tiene un elemento menor que todo otro elemento de $ B $.
Este elemento se llama mínima cota superior, y coincide con el supremo de $ A $.

En efecto, es fácil comprobar que el supremo de $ A $ es una cota superior de $ A $, así que pertenece a B.
A continuación, por la definición de supremo, no es posible que haya alguna cota superior de $ A $ que sea estrictamente menor que $ \sup(A) $.
Así que $ \sup(A) $ es la mínima cota superior de $ A $.
Propiedad Arquimediana.
Sean $ x,y $ números reales tales que $ 0<x \leq y $.
Entonces existe un número natural $ n $ tal que $ y < n\cdot x $.

La interpretación geométrica de esto es la siguiente:
Sean $ X, Y $ puntos en la recta de abscisas que representan los números $ x, y $, respectivamente.
Si $ O $ es el origen de coordenadas,
entonces trasladando varias veces en forma sucesiva el segmento $ OX $ hacia la derecha se puede cubrir el segmento $ OY $, con tan sólo un número finito de pasos.
No-Acotación de $ \mathbb{N, Z, Q} $.
Los conjuntos de números $ \mathbb{N, Z, Q} $ no están acotados en $ \mathbb{R} $.

Esto se deduce de la propiedad arquimediana,
y significa que, dado cualquier número real $ x $,
siempre hay algún número natural, o entero, o racional, que sea mayor que $ x $.
Densidad de los racionales en los reales.
Dados dos números reales $ a, b $ con $ a < b $,
existe siempre un número racional $ q $ tal que $ a<q<b $.

Esto se puede demostrar aplicando la Propiedad Arquimediana.
Aproximación por racionales.
Para todo número real $ \epsilon>0 $ existe un número racional, digamos $ q_\epsilon $,
tal que $ x-\epsilon<q_\epsilon\leq x $.

Esto se deduce a partir el Axioma del Supremo,
tomando el conjunto $ A = \mathbb{Q}\cap (-\infty, x) $.
El conjunto $ A $ es no vacío por la densidad de los racionales en los reales.
El mismo $ x $ es cota superior de $ A $.
Luego existe el supremo de $ A $,
y denotando $ s = \sup(A) $,
aplicando la definición de supremo, se demuestra el enunciado.
Propiedad Hiper-arquimediana.
Sea $ b $ un número real, $ b>1 $.
Dados dos números reales $ x,y $, tales que $ 0<x<y $,
existe un número natural $ n $ tal que $ y < b^n\cdot x $.

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argentinator · 14 Enero, 2011, 07:56 am

SECCIÓN 3. Propiedades de los Límites en la recta real.

Aquí damos todas las definiciones de límite que se usan comunmente, con total generalidad, y también enunciamos sus propiedades más importantes.

3.a. Límites.

Definición de Límite de una función en un punto

Sea $ f:A\to\mathbb{R} $ una función
cuyo dominio $ A $ es un subconjunto de $ \mathbb{R} $.
Sea $ x_0 $ un punto de $ \mathbb{R} $,
que puede estar o no en $ A $.

Definición de Límite. Supongamos que se cumple la siguiente condición:
Existe un número real $ L $ tal que:
dado $ \epsilon>0 $, existe $ \delta>0 $ (ver observación más abajo) tal que
para todo $ x\in A $ tal que $ 0<|x_0-x|<\delta $,
se cumple que $ |L - f(x)| < \epsilon $.

En esta situación se dice que
$ f $ tiene límite $ L $ cuando $ x $ tiende a $ x_0 $. Se escribe:

$ \lim_{x\to x_0}f(x) = L $

Si se desea ser explícito con el dominio de la función, se puede escribir:

$ \lim_{x\to x_0,x\in A}f(x) = L $

Si no hay número $ L $ alguno que cumpla la condición anterior, se dice que
$ f $ no tiene límite cuando $ x $ tiende a $ x_0 $.

Observación: En la definición anterior puede haber cierta confusión al tratar con puntos $ x_0 $ "aislados".
Definiremos que un punto $ x_0 $ está aislado respecto $ A $
si existe un $ \delta > 0 $ tal que el intervalo $ (x_0-\delta,x_0+\delta) $
no contiene puntos de $ A $, salvo quizá el mismo $ x_0 $.

En este caso consideraremos que la definición de límite en $ x_0 $ no tiene sentido.
Así evitamos situaciones problemáticas innecesarias.
En todo el curso supondremos que los límites se calculan en puntos $ x_0 $ no aislados respecto el dominio $ A $ de la función $ f $.

Ahora, en los casos en que $ x_0 $ no es un punto aislado respecto $ A $,
se puede demostrar que cuando el límite $ L $ existe, es único,
o sea, hay sólo un valor posible como límite.
Interpretación: A medida que nos aproximamos al punto $ x = x_0 $ en el eje de abscisas,
la función $ f(x) $ se aproxima más y más al valor $ L $ en el eje de ordenadas.
Reinterpretación: La aproximación arriba indicada se hace por medio de "entornos" de radios pequeños. La idea de aproximación se formaliza "ajustando" entornos alrededor del valor $ y = L $,
y verificando que corresponden entornos "ajustados" (pequeños) alrededor de $ x=x_0 $, tal que si $ x $ está en un entorno pequeño en torno a $ x_0 $, resulta que $ f(x) $ "cae" dentro de un entorno pequeño previamente especificado en torno a $ y = L $.

El límite recién definido es "bilateral", en el sentido de que las aproximaciones al punto x_0 se hacen por derecha e izquierda al mismo tiempo.

Se pueden estudiar las aproximaciones "laterales" por separado, y comparar luego con el límite.

Definición de Límite por izquierda. Supongamos que se cumple la siguiente condición:
Existe un número real $ L $ tal que:
dado $ \epsilon>0 $, existe $ \delta>0 $ tal que
para todo $ x\in A $ tal que $ x_0-\delta<x<x_0 $,
se cumple que $ |L - f(x)| < \epsilon $.
En esta situación se dice que
$ f $ tiene límite $ L $ cuando $ x $ tiende a $ x_0 $por la izquierda. Se escribe:

$ \displaystyle\lim_{x\to x_0-}f(x) = L $
De modo análogo se puede definir el límite por la derecha,
tomando esta vez $ x_0<x<x_0+\delta $.
La notación empleada en este caso es:

$ \displaystyle\lim_{x\to x_0+}f(x) = L $

Hay una relación básica importante entre los límites laterales y el límite propiamente dicho:

Teorema. Dada una función $ f:A\to \mathbb{R} $, y dado cierto número real $ L $, se tiene que:

$ \lim_{x\to x_0}f(x) = L $

si y sólo si

$ \displaystyle\lim_{x\to x_0-}f(x) = L,\qquad\textsf{y}\qquad\lim_{x\to x_0+}f(x) = L. $

Así que basta verificar por separado los límites laterales en torno a un punto $ x_0 $ para saber si la función f tiene límite allí o no.

[cerrar]

Funciones monótonas

Sea $ A\subset{\mathbb{R}} $,
y sea $ f:A\to \mathbb{R} $ una función dada.

Se dice que $ f $ es estrictamente creciente si se cumple esta condición:
Dados cualesquiera $ x,y\in A $, con $ x<y $, vale que $ f(x) < f(y) $.
Se dice que $ f $ es no-decreciente si:
Dados cualesquiera $ x,y\in A $, con $ x<y $, vale que $ f(x) \leq f(y) $.
Se dice que $ f $ es estrictamente decreciente si:
Dados cualesquiera $ x,y\in A $, con $ x<y $, vale que $ f(x) > f(y) $.
Se dice que $ f $ es no-creciente si:
Dados cualesquiera $ x,y\in A $, con $ x<y $, vale que $ f(x) \geq f(y) $.

Para englobar todos estos casos, se dice que cualquiera de tales funciones es monótona.

[cerrar]

La cuestión del dominio en los límites.

El lector no encontrará a menudo definiciones como las que hemos expuesto en este curso.
Las definiciones que usamos aquí son "más generales", abarcan muchos más casos,
y evitan el tener que dar nuevas definiciones o explicaciones para casos especiales.

Hemos tratado de que esta generalidad sea lo menos confusa posible.
En caso de que no se entienda del todo "qué diablos pasa con el dominio A" en las definiciones de límites que venimos usando,
dejamos al lector la siguiente recomendación:
Piense en $ A $ simplemente como todo el conjunto $ \mathbb{R} $ de números reales, o bien un intervalo $ (a, b) $, o bien de la forma $ (a, +\infty) $ ó $ (-\infty, a) $, ya que estos casos de "A" son los más típicos que aparecen en el análisis elemental.

Para el lector interesado, notemos que en los límites "en un punto" se exige que el dominio $ A $ no tenga puntos aislados.
Esto no se exige en los límites "en el infinito". En estos últimos lo que se exige es que $ A $ sea "no acotado", lo cual equivale a pedir que "el infinito no quede aislado", por decirlo de alguna forma "intuitiva".

[cerrar]

3.b. Teorema del Límite de las Funciones Crecientes.

Teorema. Sea $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ una función monótona estrictamente creciente, o bien no-decreciente.
En ese caso, para todo $ x_0\in \mathbb{R} $
existe el límite de $ f(x) $ cuando $ x $ tiende a $ x_0 $ por la izquierda.

Esta propiedad la demostramos a partir del Axioma del Supremo.

Para tener una idea de cuánto puede valer ese límite lateral,
damos el siguiente Teorema, fácil de probar:

Teorema. Sea $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ una función monótona estrictamente creciente, o bien no-decreciente. Para todo punto $ x_0\in \mathbb{R} $ se tiene que:

$ \displaystyle\lim_{x\to x_0-} f(x) \leq f(x_0). $

3.c. Propiedades Algebraicas de los Límites.

Supongamos que $ f,g,h $ son funciones reales definidas en un subconjunto $ A $ de $ \mathbb{R} $.
Sea $ x_0\in A $.
Supongamos además que existen los límites siguientes:

$ \displaystyle a=\lim_{x\to x_0}f(x),\qquad b=\lim_{x\to x_0}g(x),\qquad c=\lim_{x\to x_0}h(x) . $

Supongamos que $ c\neq 0 $.

En ese caso existen los siguientes límites, y tienen los valores que allí se muestran:

$ \displaystyle \lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=a+b $
$ \displaystyle \lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x))=a-b $
$ \displaystyle \lim_{x\to x_0}(f(x) \cdot g(x))=a\cdot b $
$ \displaystyle \lim_{x\to x_0}(f(x)/h(x))=a/c $

(En edición...)

3.d. Propiedades Ordinales de los Límites.

(En edición...)

argentinator · 14 Enero, 2011, 08:00 am

SECCIÓN 4. El infinito y los límites.

La noción de infinito tiene muchas formas distintas en matemática.
No es éste el lugar adecuado para discutirlas.

Solamente debemos lidiar con un concepto intuitivo de "infinitamente grande".
No existe en el sistema de números reales un número infinitamente grande.
Sin embargo, es costumbre trabajar intuitivamente con una cantidad así, como si de verdad existiera.
Para que esto se pueda hacer en forma correcta, sin errores, es menester entender el tratamiento matemático exacto y formal que se le da a esta "intuición de infinito".

Se consideran dos posibles infinitos: el infinito positivo $ +\infty $ y el infinito negativo $ -\infty $.
Para tratar con ellos en la teoría de límites, se los reemplaza más bien con el manejo de cantidades que pueden hacerse arbitrariamente grandes.

A continuación los detalles.

4.a. Límites infinitos.

Límites cuyo "resultado" da infinito

Hay ocasiones en que el límite de una función en un punto no existe, pero sin embargo la función tiene un claro comportamiento de crecimiento o decrecimiento. Si uno imagina que más allá de los números reales positivos hay un "punto del infinito" que es "mayor que todo número real", entonces uno observa con el ojo intuitivo que la función en cuestión se acerca a ese imaginario punto del infinito.

No vamos a agregar puntos del infinito, pero nos quedaremos con las ideas de "infinito" antes esbozadas, queriendo significar algo "más grande que cualquier cota posible", y simbolizaremos esa idea "no-matemática" con $ +\infty $ y con $ -\infty $, según la dirección sea de crecimiento o decrecimiento.

Hacemos la definición de un modo exacto de la siguiente manera:

Definición. Sea $ f:A\to\mathbb{R} $ una función dada, cuyo dominio $ A $ es un conjunto de números reales (sin puntos aislados), y sea $ x_0 $ un número real dado.
Diremos que $ f(x) $ tiende a $ +\infty $ cuando $ x $ tiende a $ x_0 $ en caso que se dé la siguiente condición:

Para todo número positivo $ M $, existe un radio $ \delta > 0 $ tal que, mientras $ x\in A $ y $ 0<|x-x_0|<\delta $, se tiene que $ f(x) >M $.
En tal caso, se escribe la siguiente expresión sintética:

$ \lim_{x\to x_0,x \in A}f(x)=+\infty. $

Cuando A =\mathbb R, o cuando se sobreentiende el dominio A de la función, se escribe más brevemente esto:

$ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty. $

De forma similar se puede definir el caso en que $ f(x) $ tiende a $ -\infty $, pìdiendo en este caso que $ f(x) < -M $ ($ M $ siempre se toma positivo) en la condición impuesta más arriba. Se escribe en este caso:

$ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. $
Importante: Debe quedar claro que no existen números "infinitos". No hay números asociados a los símbolos $ +\infty,-\infty $.
Más aún, aunque se use un signo de "igualdad", las expresiones de límites infinitos siguientes "no son igualdades":

$ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. $

Se trata de una mera notación, y nada más que eso.
Y por lo tanto, a este tipo de límites no pueden aplicarse las reglas algebraicas de límites que vimos en posts anteriores.

Aprendamos a evitar de entrada confusiones con este asunto.

Si bien en los libros se acostumbra usar cierta notación que "sugiere ideas", las ideas no son matemática propiamente dicha.
Al escribir límites infinitos, sólo se está denotando en forma compacta una propiedad concreta sobre el comportamiento de la función $ f(x) $ cerca del punto $ x_0 $.

[cerrar]

4.b. Límites en el infinito.

Es posible estudiar el comportamiento de una función $ f(x) $ a medida que el valor de la variable $ x $ crece indefinidamente, y ver si la función "tiende a algo".

Límites cuya variable tiende hacia "infinito"

Sea pues, $ f:A\to\mathbb R $ una función dada cuyo dominio A es un conjunto de números reales.
(Del conjunto $ A $ supondremos que no es acotado superiormente, esto es, que dado un número real $ x $ cualquiera, siempre existe algún elemento $ a \in A $ "bastante grande", vale decir, que $ a > x $.)

Se dice que $ f(x) $ tiene límite $ L $ cuando $ x $ tiende a $ +\infty $,
si para todo radio $ \epsilon > 0 $ existe un número positivo $ R $
tal que $ x > R $ implica $ |f(x) - L|<\epsilon $.

En forma análoga se puede dar una definición para el caso en que $ x $ "tiende" a $ -\infty $.
Como es redundante, lo evitamos acá.
(No obstante, en este caso se ha de suponer que el dominio $ A $ de la función es al menos un conjunto no acotado inferiormente.)

Estos nuevos límites sí que satisfacen las propiedades algebraicas y ordinales de los límites que aparecen en posts precedentes.

[cerrar]

4.c. Límites infinitos en el infinito.

Se pueden definir las nociones de límites "infinitos" en "el infinito", cuya notación sería esta:

Límites que dan "infinito" cuando la variable tiende a "infinito"

$ \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty, $
$ \lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty, $
$ \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty, $
$ \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty. $

El lector será perfectamente capaz de dar las definiciones correspondientes, apoyándose como ejemplo en las ya dadas.

Otra vez, estos límites no admiten reglas algebraicas, debido a que poner "infinitos" en la igualdad de los límites anteriores es sólo una notación sugestiva, pero no existen números infinitos a los cuales aplicarles las leyes algebraicas de los números reales.

[cerrar]

argentinator · 14 Enero, 2011, 08:03 am

SECCIÓN 5. Sucesiones, series y desarrollos decimales

5.a. Sucesiones.

Definición y convergencia de sucesiones

Una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales.

O sea, si $ \alpha:\mathbb{N}\to X $ es una sucesión, sin importar que el conjunto de "llegada" $ X $ sea de números o de cualquier otra cosa imaginable. (Sólo es importante que $ X $ sea no vacío).

A pesar de esta definición tan sencilla, la "intuición" de sucesión viene por otro lado,
y es por eso que se usa una notación diferente a la de función.
En vez de hablar del "valor $ \alpha(n) $ que toma la función $ \alpha $ en el valor $ n $",
se habla del $ n $-ésimo elemento de la sucesión, y se lo denota $ \alpha_n $.

Esto se hace así porque la "intuición" de sucesión que se procura conservar es la de una "lista de infinitos elementos".
Así, los "elementos de la sucesión" se pueden denotar en formato de lista, así:

$ \{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\ldots\}, $

donde los puntos suspensivos indican que la "lista" continúa.
Otra notación comunmente empleada es la siguiente:

$ \{\alpha_n\}_{n=1}^\infty $

También esta otra:

$ \{\alpha_n\}_{n\in\mathbb{N}}. $

Pero todo esto no son más que "notaciones" evocando "antiguas intuiciones matemáticas".
La definición de sucesión, repetimos, es la de una función de dominio $ \mathbb{N} $.

Sin embargo, como todos los libros de la actualidad repiten las antiguas costumbres, nosotros también lo haremos, para que el curso se entienda.

Nosotros supondremos de ahora en más que todas las sucesiones que aparezcan tendrán imagen en los números reales,
o sea, serán funciones de la forma $ \alpha:\mathbb{N}\to\mathbb{R} $.
Se llamarán, pues, sucesiones reales, y esto quiere decir que, dado $ n $, el elemento $ \alpha_n $ es un número real.

Explicar la notación no tiene nada que ver con los cálculos de límites, pero tengo la enojada convicción de que muchos problemas en el entendimiento del tema de los límites proviene de una escasa explicación del significado de los objetos matemáticos declarados y utilizados.

Límites de Sucesiones.

Sea $ \{\alpha_n\}_{n=1}^\infty $ una sucesión real.

Diremos que la sucesión tiene límite $ L $ (donde $ L $ es un número real también) si se cumple la siguiente condición:

Dado $ \epsilon > 0 $, existe $ N \in \mathbb{N} $ tal que, para todo $ n > N $ implica $ |\alpha_n-L|<\epsilon $. En tal caso se escribe la siguiente expresión:

$ \lim_{n\to\infty}\alpha_n=L. $

Observamos que la anterior es una definición muy similar a la de "límite en el infinito" que dimos en el post anterior.
De hecho, dado que una sucesión es una función con dominio $ \mathbb{N} $,
las definiciones de límite de una sucesión coincide con la de límite en el infinito cuando el dominio de la función es el conjunto $ A = \mathbb{N} $.

Sin embargo esto no agota las relaciones entre los límites de sucesiones y los límites usuales (en el infinito).
Supongamos que $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ es una función dada, y definamos la sucesión $ \{\alpha_n\}_{n=1}^\infty $ por medio de la regla siguiente: $ \alpha_n = f(n) $.
O sea, la sucesión toma los valores de la función cuando x = n varía en los naturales, y los restantes valores de f(x) son descartados de toda consideración.

Supongamos ahora que existe el límite $ \lim_{x\to+\infty} f(x) = L $.
En ese caso, es fácil demostrar que también existe el límite de la sucesión $ \alpha_n $, y tenemos:

$ \lim_{n\to \infty} \alpha_n = L. $

Hagamos otra pregunta. Supongamos que la función $ f(x) $ y la sucesión $ \alpha_n $ son tal como antes.
Supongamos además que existe el límite de la sucesión $ \alpha_n $.
¿Se puede asegurar la existencia del límite de $ f(x) $ cuando $ x $ tiende a $ +\infty $?
Respuesta: En general no, sino sólo en ciertos casos.

Esto que acabamos de decir suele ser pasado por alto muchas veces en los cursos de análisis, y es fuente de algunas falacias cuando no se tiene debidamente en cuenta.
Para poder asegurar que la función $ f(x) $ y la sucesión $ \alpha_n $ tienden ambas a $ L $, debe saberse algo más de f(x).
Por ejemplo, que $ f(x) $ es una función monótona, o que $ f(x) $ es continua, entre otras posibilidades.

Resultados de este estilo veremos más adelante, ya que son fundamentales para estar seguro del cálculo de ciertos límites, o de la aplicación de ciertas técnicas que son típicas y que suelen aplicarse sin demasiado cuidado, en perjuicio del estudiante.

Propiedades algebraicas y ordinales de los límites de sucesiones.

Debido a que los límites en cuestión coinciden en todo con los "límites en el infinito" de funciones reales cuyo dominio es el conjunto $ A = \mathbb N $, pueden aplicarse con confianza las relaciones algebraicas y ordinales ya estudiadas.
El de $ A = \mathbb N $ es tan sólo un caso particular de lo ya estudiado anteriormente para "límites en el infinito".

[cerrar]

5.b. Sucesiones con límites infinitos.[/center]

Sólo apuntaremos la notación, y dejamos al lector que complete los detalles de las definiciones que corresponden, y que además extraiga sus propias conclusiones sobre qué reglas puede utilizar o no:

$ \lim_{n\to \infty} \alpha_n = +\infty,\qquad \lim_{n\to \infty} \alpha_n = -\infty. $

5.c. Series

Definición y convergencia de series

Sea $ \{a_n\}_{n=1}^\infty $ una sucesión real.
A partir de allí definamos, con ayuda del Principio de Definición Recursiva, otra sucesión $ \{s_n\}_{n=1}^\infty $:

$ s_1 = a_1,\qquad s_{n+1} = s_n + a_{n+1}, n > 1. $

Se puede demostrar que esto define una sucesión correctamente, dando lo siguiente:

$ s_n = a_1+a_2+\cdots + a_n. $

Este tipo de sumas se denota así:

$ \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+...+a_n. $

Para todo número natural n, el símbolo anterior da un valor concreto como número real, sin ambigüedad alguna.

Ahora bien, se llama serie a la sucesión $ \{s_n\}_{n=1}^\infty $, también llamada sucesión de sumas parciales de $ a_n $.
No se usa la notación s_n para las series, sino que se emplea esta otra:

$ \sum_{k=1}^\infty a_k. $

Debe entenderse aquí que se trata de mera notación, y que es "lo mismo" escribir $ \sum_{k=1}^\infty a_k. $ que la sucesión de sumas parciales $ \{s_n\}_{n=1}^\infty $.
Son símbolos que representan el mismo objeto matemático: una sucesión de sumas.

Si bien se usa el símbolo $ \sum $ que "sugiere" una suma de infinitos términos,
lo cierto es que no siempre existe dicha "suma".
Para precisar bien el sentido de suma de infinitos términos, hacemos la siguiente definición:

Se dice que la serie $ \sum_{k=1}^\infty a_k. $ tiene una suma, digamos $ L $,
si la sucesión $ s_n $ de las sumas parciales de $ a_n $ tiende al lìmite $ L $.
En este caso, está permitido escribir la siguiente igualdad:

$ \sum_{k=1}^\infty a_k=L. $

No obstante, es importante recordar que eso es sólo una notación, cuyo significado concreto es éste:

$ \lim_{n\to\infty} s_n = \lim_{n\to\infty} (a_1+a_2+\cdots+a_n) = L. $

En los libros de análisis se suele usar la palabra "serie" también para indicar la "suma" de la serie...
Esto parece un círculo de terminología, pero a la luz de las consideraciones previas, creo yo que todo queda bastante claro.
Caso contrario, avisar

, que para eso estamos en un foro, y uno puede quejársele en persona al tipo que escribe los apuntes

[cerrar]

5.d. Reglas algebraicas de las (sumas de) series.

(En edición...)

5.e. Representación decimal de los números reales.

Teoría de cómo hallar el desarrollo decimal de un número

Supongamos en principio que $ x $ es un número real positivo.

Por la Propiedad Arquimediana,
sabemos que existe un entero positivo $ M $ tal que $ x<M\cdot 1 $.
(Hemos tomado $ y = 1 $ en el enunciado de la Arquimedianeidad).
Por lo tanto, el conjunto $ A $ de enteros positivos mayores que $ x $ es no vacío.
Por el Principio de Buena Ordenación en $ \mathbb{N} $,
existe un mínimo elemento $ M_0 $ en $ A $.

Definamos el número $ n = M_0-1 $.
El número $ n $ es un entero no negativo,
y como $ n $ no pertenece a A (por la minimalidad de M_0),
se tiene que $ n\leq x $.

Escribimos pues $ n\leq x<n+1 $.
En particular, la diferencia entre $ x $ y $ n $ es menor que 1, por las Leyes de Monotonía
(restando $ n $ miembro a miembro se obtiene $ 0 \leq x-n< 1 $).

Definimos pues $ \tilde x = x-n $, que ahora es un número que cumple $ 0\leq \tilde x<1 $.

Esto muestra que el número $ x $ puede escribirse como
la suma de un número entero no negativo $ n $
y un número $ \tilde x $ cuyo valor cae en el intervalo $ [0,1) $.

$ x=n+\tilde x. $

Ahora vamos a hallar los ``dígitos decimales'' de $ \tilde x $.

Sea $ b = 10 $ la base conque representaremos a los números reales.

Definamos $ \alpha_1 = 10\cdot \tilde x $.
Lo que hemos hecho es ampliar la escala del intervalo [0,1) en un factor de 10.

Naturalmente, tenemos ahora que $ 0\leq \alpha_1<10 $.
Los números enteros entre 0 y 10 son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
De nuevo, tal como hicimos antes, existe un entero $ d_1 $ tal que $ d_1\leq \alpha_1<d_1+1 $.
Como 0 y 10 son enteros, de la primer relación de este párrafo
inferimos que $ 0\leq d_1 y d_1 \leq 10-1=9 $,
ya que aplicamos la Propiedad de que los enteros forman un sistema discreto.

Así que $ d_1 $ es uno de los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9.

A continuación, repetimos el procedimiento anterior al número $ \alpha_1 $, definiendo:

$ \alpha_2=10\cdot \alpha_1. $

Se obtiene de nuevo que hay un (único) entero $ d_2 $ entre 0 y 9 inclusive tal que $ d_2\leq \alpha_2<d_2+1 $.

Ahora aplicamos el Principio de Definición por Recurrencia (ver sección de números naturales), del siguiente modo.

Supongamos ya dados $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, ..., \alpha_k $, unos números reales en el intervalo $ [0,1) $, para cierto número natural $ k $.
Definimos $ \alpha_{k+1} = 10\cdot \alpha_k $.
Como $ 0\leq \alpha_k<1 $, se obtiene $ 0\leq \alpha_{k+1}<10 $.
Como antes, podemos definir $ d_{k+1} $ como el único entero entre 0 y 9 inclusive tal que:

$ d_{k+1}\leq \alpha_{k+1}<d_{k+1}+1. $

Este proceso nos da una lista infinita de números $ d_k $, $ k = 1, 2, 3, 4, ..., $ cuyos valores son enteros entre 0 y 9.
Esto es lo que se llama desarrollo decimal del número $ \tilde x $.

Se escribe de la siguiente manera compacta:

$ \tilde x = .d_1d_2d_3d_4d_5... $

Ahora, para escribir completamente el número x original, usamos la representación:

$ x = n.d_1d_2d_3d_4d_5... $

En realidad aquí hemos hecho trampa, porque el número entero n también ha de escribirse con dígitos decimales.
No obstante estamos más acostumbrados a los naturales, y esto nos resulta fácil.

Más adelante agregaré un parrafito terminando el desarrollo para ``$ n $''.

[cerrar]

argentinator · 14 Enero, 2011, 08:06 am

SECCIÓN 6. Funciones trascendentes.

6.a. Funciones trascendentes clásicas.

Función Exponencial: Definición y Propiedades Básicas

Definición.

Sea $ x $ un número real. Se puede demostrar que exixte el siguiente límite de sucesión:

$ \displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(1+\dfrac xn\right)^n. $

El límite resultante es siempre un número real bien concreto... pero vaya uno a saber cuál.
Lo importante es que podemos darle un "nombre" a dicho número, y siempre recordando que depende del valor $ x $ previamente fijado.
Se le llama "exponencial de $ x $", y se denota $ e^x $.

Se puede, pues, definir una "función exponencial" $ \exp:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ de la siguiente manera:

$ \displaystyle\exp(x) = e^x = \lim_{n\to \infty} \left(1+\dfrac xn\right)^n. $

Hemos usado el límite de una sucesión para definir la exponencial.
Si en vez de usar números naturales $ n $ se pusieran números reales positivos $ r $, se puede demostrar que el límite da el mismo resultado, y entonces se podría dar una definición de exponencial sin apelar a las "sucesiones".

Bueno, esto es cierto, pero antes observemos que aparece una potencia de exponente n en el límite anterior.
No tenemos definida la potencia para r cuando es un real cualquiera (a lo sumo lo hemos definido para valores racionales del exponente).
Así que no podríamos nosotros, con nuestras actuales herramientas, definir la exponencial de otra manera.
Habría primero que dar un sentido a las potencias con exponente real r cualquiera.
¿Puede hacerse esto? Sí, se puede, pero requiere una cierta madurez matemática, y por eso se estudia el caso en cursos de análisis más avanzado.
Si alguno me pregunta, le cuento como es, porque tampoco se trata de algo tan difícil o del otro mundo...

Así que, por conveniencia pedagógica, dejamos la definición tal como está, sin más comentarios.

[cerrar]

Propiedades de la función exponencial

Es fácil verificar, usando la monotonía de los límites, que para cualquier $ x > 0 $, necesariamente ocurre que $ e^x\geq 1 $.
Cuando $ x<0 $, se aplica la propiedad arquimediana para hallar un $ n $ bastante grande tal que $ n > |x| $.
Se tiene luego que $ |x/n|<1 $, y por lo tanto $ (1+x/n)>0 $. Esto prueba, usando la definición de $ \exp(x) $ y la monotonía de los límites, que $ e^x\geq 0 $.
¿Puede ocurrir que $ e^x=0 $?
Se puede demostrar que no.
Por ahora lo dejo así, sin demostración.

Vamos a listar las propiedades de la función exponencial, pero sin demostrarlas.

$ e^x>0 $
$ e^{x+y}=e^x\,e^y. $
$ e^{0}=1. $
$ x>0\Rightarrow{}e^x> 1. $
$ x<0\Rightarrow{}e^x<1. $

Se puede demostrar ahora que e^x es una función estrictamente creciente, ya que si $ x < x' $, definimos $ y = x'-x>0 $, y hacemos:

$ e^{x'}=e^{x+y}=e^x\, e^y > e^x\cdot 1 = e^x. $

Veremos que la´función exponencial es "continua" (les debo esta teoría por ahora).
Y probaremos también que una función estrictamente creciente y continua tiene función inversa.

En particular, la función exponencial tiene inversa. Esto quiere decir que la ecuación

$ e^x=z $

tiene solución para todo $ z >0 $.

Al valor $ x $ que hace verdadera la igualdad anterior se le llama logaritmo neperiano de $ z $, y lo denotamos:

$ \ln z = x. $

Obviamente, el logaritmo neperiano está definido sólo para números $ z $ positivos.

Propiedades básicas de los logaritmos:

$ \ln(a\cdot b) =\ln a + \ln b,\qquad \ln(a/b) = \ln a-\ln b. $

Ahora definimos las funciones exponenciales y logaritmos generlizados:

Dado $ a>0 $, se define la exponencial de base $ a $ como:

$ a^x = e^{x\ln a} $

Dado $ a > 0 $, se define el logaritmo en base a de la siguiente manera:

$ \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}. $

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Noción de ángulo en el plano

Para definir las funciones trigonométricas se necesita una noción concreta de ángulo entre dos líneas que se cortan.
Esto es un tema geométrico, y aunque intuitivamente parece que todos sabemos lo que es un ángulo, me he dado cuenta que no es fácil definirlo con claridad.

Lo que sigue puede obviarse, ya que si la intuición funciona bastante bien, no hace falta entrar en más detalles.
De hecho, ningún libro de cálculo lo hace, y no parece que la gente se preocupe de la falta de fundamento riguroso.

Pero considero importante tener las bases matemáticas sólidas, y definir correctamente lo que es un ángulo.
Yo lo voy a hacer tratanto de recorrer el camino más corto posible, metiendo la menor cantidad de elementos geométricos necesarios, y usando las propiedades de los números reales, que ya damos por asumidas.

Hacen falta dibujos para que se entienda... pero se los debo.

Supongamos que tenemos una circunferencia de radio 1 en el plano, con centro en un punto en el origen de coordenadas $ O $.
La circunferencia corta al eje $ X $ en el punto $ U $.
Sea $ A $ otro punto de la circunferencia.
La recta $ OA $ corta a la recta $ OU $, pues O es punto común a ambas.
Como la distancia entre $ A $ y $ O $ es igual a 1, sólo es posible que haya dos puntos en la recta $ OU $ que coincidan con $ A $: el de coordenada 1 y el de coordenada -1.
En cualquier otro caso, $ A $ es un punto fuera de la recta $ OU $, y así la recta $ OA $ tiene un solo punto en común con $ OU $.

Esos hechos son geométricos, y los daremos por ciertos sin más comprobación.

Ahora, supongamos que el punto $ A $ está en el semiplano "positivo" en relación al eje de ordenadas, o sea, la coordenada $ Y $ del punto $ A $ es un número positivo.

Se pueden construir ángulos de la forma $ \pi k/2^n $ con $ k, n $ enteros positivos, mediante la ayuda de rectas mediatrices.
Ahora, sea $ \theta $ un número en el intervalo $ (0, \pi) $.
Tomemos $ x = 2\theta /\pi $, y consideremos su desarrollo binario:

$ x = \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{a_k2^{-k}}. $

Tomemos los desarrollos truncados al $ n $-ésimo dígito binario:

$ x_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n{a_k2^{-k}}. $

Se sabe que $ \lim x_n = x $, o sea, el desarrollo truncado "tiende" al número $ x $.
Tenemos los puntos $ A_n $ sobre la circunferencia, correspondientes a los ángulos $ \theta_n = x_n \pi/2. $
Finalmente, cada punto $ A_n $ tiene asociada una determinada coordenada en el eje de abscisas, la cual llamaremos $ \alpha_n $.
Notemos que $ \alpha_n $ y $ x_n $ están ambos en el eje de abscisas, ambos son números menores que 1, pero sin embargo "no son el mismo número".

Se puede demostrar que la sucesión $ \alpha_n $ es no-creciente.
Por lo tanto tiende a un límite, al que denotaremos $ \alpha $.
Este límite es, por monotonía, un número entre 0 y 1.
Ahora, trazamos una recta perpendicular por el punto de abscisa $ \alpha $.
Se puede demostrar que dicha perpendicular corta a la semicircunferencia superior en un solo punto, que denotamos $ A $.
De hecho, es el punto de coordenadas $ (\alpha, \sqrt{1-\alpha^2}) $.

Ahora decimos que la recta $ OA $ tiene asociado el ángulo $ x \pi/2 $.

De esta manera, quedan definidos todos los ángulos entre 0 y $ \pi/2 $, en relación a los puntos de la circunferencia unitaria.

Se pueden trasladar las mismas ideas a las restantes porciones de la circunferencia, y quedan definidos todos los ángulos entre 0 y $ 2\pi $.
Inclusive, se puede definir un ángulo con cualquier valor real \theta, reduciéndolo a la forma $ \theta_0 +2k\pi $, donde $ k $ es entero y $ \theta_0 $ es un número entre $ 0 $ y $ 2\pi $.
Finalmente, cualquier intervalo de longitud $ 2\pi $ servirá.

Si alguien está interesado en estis procedimientos geométricos, me pregunta.

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Funciones trigonométricas

Ahora, dada la circunferencia de radio 1 centrada en el origen O, consideremos la recta que pasa por O que tiene ángulo $ \theta $ respecto al eje de abscisas, la cual corta a la circunferencia en un punto $ A $.
La recta perpendicular al eje de abscisas que pasa por $ A $ corta a dicho eje en un punto, digamos $ x $.
Se define el coseno del ángulo $ \theta $, denotado $ \cos \theta $ como el valor de este punto $ x $.
Análogamente la ordenada del punto $ A $ es lo que se define como el seno de $ \theta $, denotado $ \sen\theta $.

Cuando el cociente tiene sentido, se definen las siguientes funciones trigonométricas:

$ \tan \theta =\dfrac{\sen\theta}{\cos \theta} $
$ \cot \theta =\dfrac{\cos \theta}{\sen\theta} $
$ \sec \theta =\dfrac{1}{\cos \theta} $
$ \cosec \theta =\dfrac1{\sen\theta} $

Cuando n es un número entero no-negativo, se denota:
$ \sen^n\theta =(\sen \theta)^n $
$ \cos^n\theta =(\cos \theta)^n $
$ \tan^n\theta =(\tan \theta)^n $

Y lo mismo las demás funciones trigonométricas.

Por ahora no usemos esa notación para potencias con otros "exponentes" (por ejemplo -1).

Se tienen las siguientes relaciones trigonométricas básicas:

$ \sen^2 \theta+\cos^2\theta =1 $
$ \sen 2\theta =2\sen\theta \cos\theta $
$ \cos 2\theta =\cos^2\theta -\sen^2\theta $
$ 1+\tan^2\theta =\sec^2\theta $

Más propiedades y relaciones en:

Identidades_trigonométricas

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argentinator · 14 Enero, 2011, 08:09 am

SECCIÓN 7. Funciones continuas, monótonas y biyectivas. Composición de funciones. Sustitución de límites.

Continuidad local y global de funciones reales

Sea $ A $ un subconjunto no vacío de números reales.
Sea $ f $ función $ f:A\to \mathbb R $.

$ f $ es continua en un punto $ a\in A $ (no aislado) si

existe el límite $ \displaystyle\lim_{x\to a.x\in A}f(x) $ y este límite coincide con $ f(a) $

Observación: Si bien la noción de límite no necesita que $ x $ sea punto del conjunto $ A $, sino que basta que $ x $ pueda aproximarse por puntos de $ A $, en cambio para la continuidad en un punto, hace falta que $ x $ esté en el dominio $ A $ de la función.
La función $ f $ se dice continua, si es continua en cada punto $ x $ de su dominio $ A $.

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Crecimiento y decrecimiento de funciones reales, máximos y mínimos

Sea $ A $ un subconjunto no vacío de números reales.
Sea $ f $ función $ f:A\to \mathbb R $.

Crecimiento y decrecimiento local de una función.
- La función $ f $ es no-decreciente en el punto $ a $,
 
 si existe un intervalo $ (a-r,a+r) $ ($ r>0 $),
 tal que, si $ a-r<x<y<a+r $ entonces $ f(x)\leq f(y) $.
- La función $ f $ es estrictamente creciente en el punto $ a $,
 
 si existe un intervalo $ (a-r,a+r) $ ($ r>0 $),
 tal que, si $ a-r<x<y<a+r $ entonces $ f(x)< f(y) $.
- La función $ f $ es no-creciente en el punto $ a $,
 
 si existe un intervalo $ (a-r,a+r) $ ($ r>0 $),
 tal que, si $ a-r<x<y<a+r $ entonces $ f(x)\geq f(y) $.
- La función $ f $ es estrictamente decreciente en el punto $ a $,
 
 si existe un intervalo $ (a-r,a+r) $ ($ r>0 $),
 tal que, si $ a-r<x<y<a+r $ entonces $ f(x)>f(y) $.
- La función $ f $ tiene un mínimo local en el punto $ a $,
 
 si existe un intervalo $ (a-r,a+r) $ ($ r>0 $),
 tal que, si $ a-r<x<a+r $ entonces $ f(x)\geq f(a) $.
- La función $ f $ tiene un máximo local en el punto $ a $,
 
 si existe un intervalo $ (a-r,a+r) $ ($ r>0 $),
 tal que, si $ a-r<x<a+r $ entonces $ f(x)\leq f(a) $.
Crecimiento y decrecimiento global en el dominio de una función.
- La función $ f $ es no-decreciente
 si para cualesquiera $ x,y\in A $,
 $ x<y \Longrightarrow{}f(x)\leq f(y) $.
- La función $ f $ es estrictamente creciente
 si para cualesquiera $ x,y\in A $,
 $ x<y \Longrightarrow{}f(x)<f(y) $.
- La función $ f $ es no-creciente
 si para cualesquiera $ x,y\in A $,
 $ x<y \Longrightarrow{}f(x)\geq f(y) $.
- La función $ f $ es estrictamente decreciente
 si para cualesquiera $ x,y\in A $,
 $ x<y \Longrightarrow{}f(x)> f(y) $.
- La función $ f $ tiene un mínimo (absoluto) en el punto $ a $,
 si para cualquier $ x\in A $,
 vale que $ f(x)\geq f(a) $.
- La función $ f $ tiene un máximo (absoluto) en el punto $ a $,
 si para cualquier $ x\in A $,
 vale que $ f(x)\leq f(a) $.
Las funciones que son en todo su dominio no-decrecientes, estrictamente crecientes, no-crecientes o estrictamente decrecientes, reciben todas ellas el nombre de funciones monótonas.

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Spoiler

Inyectividad, sobreyectividad, biyecciones y funciones inversas.
- La función $ f $ se llama inyectiva
  si $ x,y\in A $, $ x\neq y\Longrightarrow{f(x)\neq f(y)} $.
- La función $ f $ se llama sobre (ó sobreyectiva) en el conjunto $ B\subset \mathbb R $,
  si para todo $ y\in B $ existe $ x\in A $ tal que $ f(x) = y $.
- La función $ f $ se llama biyectiva entre $ A $ y $ B $,
  si $ f $ es inyectiva y sobreyectiva en $ B $.
- Composición de funciones.
  
  Definición. Sean $ f:A\to B,g:\tilde B\to C $ funciones dadas, y supongamos además que la imagen $ B $ de $ f $ es subconjunto del dominio de $ \tilde B $ de $ g $. Se define la composición de $ f $ y $ g $ como la función $ h:A\to C $ dada por $ h(x)= g(f(x)) $.
  A la composición $ h $ se la denota:
  
  $ h=g\circ f $
  
  Por lo tanto, se puede escribir $ (g\circ f)(x) = g(f(x)) $.
- Si $ f:A\to B $ es biyectiva, entonces existe la función inversa de $ f $, que es una función $ g $ con dominio $ B $ e imagen $ A $ tal que: $ g(y)=x $ si y sólo si $ f(x)=y $.
  
  A la función inversa de $ f $, cuando existe, se la denota $ f^{-1} $.
  
  Nota importante: Aquí hay que evitar la confusión que proviene de la notación $ f^{-1} $. No hay que confundir esta notación con la de potencia de exponente $ -1 $.
  Cuando realmente necesitemos la potencia de exponente -1 de una función, la vamos a denotar de la siguiente manera: $ (f)^{-1} $ o bien $ f(x)^{-1}=1/f(x) $.
  En cambio, el valor de la función inversa en el punto $ x $ se denotará $ f^{-1}(x) $.
  
  Obsérvese también que la composición de una función con su inversa da la función identidad del conjunto $ A $:
  
  $ \iota_A:A\to A,\qquad \iota_A(x) = x. $
  
  $ f\circ f^{-1}(x) = f^{-1}\circ f(x)=x $
  
  Por lo tanto, $ f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f =\iota_A $.

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argentinator · 21 Enero, 2011, 09:38 am

Ejercicios de cálculo de límites

En los siguientes ejercicios se asume que la expresión dada es una función
cuyo dominio en un conjunto de números reales.
Dicho dominio es el mayor conjunto posible en el que la expresión en cuestión está bien definida.

En cada caso, justificar las propiedades utilizadas
al calcular cada uno de los límites dados.

$ \textsf{\fbox{\ 1.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^3+7x^5}{x^2+1} $
$ \textsf{\fbox{\ 2.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{x^3+7x^5}{x^2+1} $
$ \textsf{\fbox{\ 3.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 12} 7 $
$ \textsf{\fbox{\ 4.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to a} 4\pi $
$ \textsf{\fbox{\ 5.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to \pi } a $
$ \textsf{\fbox{\ 6.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to e } \ln x $
$ \textsf{\fbox{\ 7.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 0 } \sen x $
$ \textsf{\fbox{\ 8.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 1 } \dfrac{x^2-1}{x+1} $
$ \textsf{\fbox{\ 9.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 2 } \dfrac{x^3-8}{x-2} $
$ \textsf{\fbox{10.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 3 } \dfrac{x^3-8}{x-2} $

$ \textsf{\fbox{11.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to y} \dfrac{x^n-y^n}{x-y} $, donde $ n = 0, 1, 2, 3, ... $
$ \textsf{\fbox{12.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{y\to x } \dfrac{x^n-y^n}{x-y} $
$ \textsf{\fbox{13.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h} $
$ \textsf{\fbox{14.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 1 } \dfrac{1-\sqrt x}{1-x} $
$ \textsf{\fbox{15.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 0 } \dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} $
$ \textsf{\fbox{16.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 0 } \dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2} $
$ \textsf{\fbox{17.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to 1 } \begin{cases}\dfrac{x-1}{x^2-1},&\quad x\neq 1\\2,&x=1\end{cases} $
$ \textsf{\fbox{18.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to } $
$ \textsf{\fbox{19.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to } $
$ \textsf{\fbox{20.\ }} $ $ \displaystyle\lim_{x\to } $

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