Tampoco entiendo
En un número real, como mucho, se pueden considerar infinitas cifras, pero no quiere decir que no haya más (es algo muy abstracto, sin embargo, es necesario considerarlo)
Si \( \Delta x\rightarrow0
\) entonces \( x=x-\Delta x
\), y ambas cosas son iguales, como dice el signo, es el mismo número real. ¿En qué se diferencian? Si dijéremos que en nada, entonces las indeterminaciones del tipo \( \dfrac{0}{0}
\) darían siempre 1; si no dan siempre 1 es porque esos ceros son distintos en algo; y ese algo son las cifras que están “más allá” de las que están en el infinito (que sí determinan el número real).
Porque si tú tienes, por ejemplo, esto \( \dfrac{0,4}{0,2}=\dfrac{0,04}{0,02}=\dfrac{0,004}{0,002}...=2
\) ves que la razón 2 que dan como resultado esas fracciones no depende de que las últimas cifras tengan valor o no, puedes meter todos los ceros que quieras ahí y seguirá dando 2; infinitos ceros y “más” puedes meter.
Por ejemplo, no vemos los virus, son cero, o digamos de tamaño invisible, pero un virus puede ser el triple de grande que el otro o el doble o lo que sea; y un elefante también puede ser el triple de grande que otro (el padre el triple que el hijo) y la proporción es la misma que con los virus, 3, el número es el mismo; pero este número no tiene valor en cuanto a cantidad, es una proporción, no una cantidad. Y así vemos que la proporción es independiente del tamaño o del valor, el valor de dos cosas puede ser cero (el número real cero) y no quita que la proporción pueda ser cualquier número.
Así pues, podríamos representar el número 5,000... ...12... queriendo decir que esas cifras ...12... están más allá del infinito; pues en ese caso eso es el número natural 5, exactamente el mismo número real cinco, sin ninguna diferencia en cuanto a su designación como número real, No son dos distintos.
...
Ahora supón dos números reales positivos, x,y con y>x. Por la propiedad de cerradura algebraica tienes que \( y-x
\) es un número real; y, como son distintos por ser uno mayor que otro, entonces \( y-x\neq0
\). Puede ser una diferencia muy pequeña 0,000..1, por caso, pero con una cantidad de ceros delante que no va más allá del infinito (no como pasaba antes) de lo contrario, “x” e “y” serían el mismo número real.
Como, por definición, el inverso de un real es otro real, y como no es cero y tiene inverso, pues entonces esto \( \dfrac{1}{y-x}
\) no es un número ifinitamente grande; ningún número real tiene valor infinito. Luego existe un natural mayor que él...
Y ahí entra ya la demostración de Carlos (que se ve bien, porque es todo con números positivos y las desigualdades no dan guerra, pero, si no te queda claro algo, preguntalé, que él te lo explicará mejor).
Lo que se demuestra es que entre medias de dos números reales (ya sean racionales, irracionales o mezcla) siempre existe un número racional; lo cual es imprescindible para admitir que a cada real distinto le corresponde un conjunto distinto de los ya mencionados; es decir, que existe una biyección y con ella se construye todo el conjunto (completo) de los reales.
Saludos.