A mí me llama la atención la estructura de las cortaduras de Dedekind, que pueden verse como los abiertos no triviales de una topología sobre \(\mathbb Q\).
Sin necesidad de hablar de topología,
se podría hablar de cortaduras en estos términos:
Llamemos
rayo izquierdo a un conjunto de la forma:
\((-\infty,q)_{\mathbb Q} = (-\infty,q)\cap \mathbb Q = \{x\in \mathbb Q\,:\,x<q\}\),
para cada \(q\in\mathbb Q\).
Decimos que un conjunto \(A\subset \mathbb Q\) es
abierto (respecto rayos izquierdos) si puede escribirse como unión (finita o infinita o incluso vacía) de rayos izquierdos.
Una propiedad bastante obvia de estos conjuntos que llamamos abiertos es que
si un número \(a\) pertenece a un abierto \(A\),
entonces \((-\infty,a)\) es subconjunto de \(A\).En efecto, si \(a\in A\), entonces existe \(q\in\mathbb Q\) tal que \(a\in (-\infty,q)\subset A\). En particular \(a<q\), y por lo tanto
\((-\infty,a)\subset (-\infty,q)\subset A\).
Es fácil demostrar que la familia \(\mathcal O\) de todos los conjuntos abiertos forma una topología sobre \(\mathbb Q\), vale decir:
(T0) Los conjuntos \(\emptyset\) y \(\mathbb Q\) son abiertos.El vacío se obtiene uniendo la familia vacía, y \(\mathbb Q\) se obtiene uniendo todos los rayos izquierdos.
(T1) La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos es también un abierto.La prueba de este hecho es trivial.
(T2) La intersección de exactamente 2 abiertos \(A,B\), es también un abierto:Los casos triviales suceden cuando \(A\) ó \(B\) es vacío, o todo \(\mathbb Q\), o cualdo \(A\) y \(B\) son iguales.
Así que supongamos que \(A\) y \(B\) son diferentes,
y sea \(b\in B\setminus A\).
Tenemos que \((-\infty,b)\subset B\).
Si \(a\in A\), entonces \((-\infty,a)\subset A\):
Como \(b\not \in A\), necesariamente \(a<b\).
Esto en particular implica que \(a\in(-\infty,b)\subset \subset B\).
O sea, \(a\in B\).
Hemos probado que \(A\subset B\).
Por lo tanto \(A\cap B = A\),
y así la intersección de \(A\) y \(B\) es un conjunto abierto.
Se puede demostrar que todo abierto así definido tiene propiedades útiles para entender la estructura de las cortaduras, que son todas fáciles de comprobar:
Sea \(A\) un conjunto abierto:
(1) Si \(a,b\in A,a<b\), entonces \((a,b)\subset A\).
(2) Si \(a\in A\), entonces \((-\infty,a)\subset A\).
(3) Si \(b\in\mathbb Q,b\not\in A\), entonces \([b,\infty)\cap A = \emptyset\).
La última propiedad dice que todo abierto no trivial (distinto de \(\emptyset,\mathbb Q\)) está acotado superiormente.
Definimos una
cortadura de Dedekind como un conjunto abierto no trivial,
vale decir, un abierto distinto de \(\emptyset,\mathbb Q\).
Una propiedad adicional interesante sería la siguiente:
Quité una propiedad adicional que había puesto originalmente.
La intención era pegar un rayo izquierdo con el dominio de una función creciente.
Para hacerlo de manera adecuada habría que imponer varias condiciones,
con lo cual para mí pierde un poco de interés.
Así que retiré esa propiedad del post.