Autor Tema: Curva densa en el Toro si un número es irracional

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03 Abril, 2018, 05:28 pm
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lindtaylor

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Hola. Estoy viendo lo siguiente:
Dado el toro \( T=S^1\times S^1\subset \mathbb{R}^2 \) pensando en \( S^1 \) como el cuociente \( \mathbb{R}/{Z} \) con la clase de equivalencia \( [t]=\left\{t+n:n\in\mathbb{Z}\right\}=[t] \) para cada t real. Con esto, tengo que una clase de equivalencia en el toro viene dada por \( [(t,s)]=\left\{(t+n,s+m):m,n\in\mathbb{Z}\right\}. \)

Entonces el conjunto \( \left\{[(t,at)]:t\in\mathbb{R}\right\} \) es una curva en el Toro.
Me gustaría ver por qué si \( a \) es irracional, se tiene que esta curva es densa en el Toro. Hay un ejercicio que dice que el conjunto \( \left\{n+am:n,m\in\mathbb{Z}\right\} \) es denso si el \( a  \)es irracional pero no sé como vincularlo a este caso.
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04 Abril, 2018, 01:05 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola. Estoy viendo lo siguiente:
Dado el toro \( T=S^1\times S^1\subset \mathbb{R}^2 \) pensando en \( S^1 \) como el cuociente \( \mathbb{R}/{Z} \) con la clase de equivalencia \( [t]=\left\{t+n:n\in\mathbb{Z}\right\}=[t] \) para cada t real. Con esto, tengo que una clase de equivalencia en el toro viene dada por \( [(t,s)]=\left\{(t+n,s+m):m,n\in\mathbb{Z}\right\}. \)

Entonces el conjunto \( \left\{[(t,at)]:t\in\mathbb{R}\right\} \) es una curva en el Toro.
Me gustaría ver por qué si \( a \) es irracional, se tiene que esta curva es densa en el Toro. Hay un ejercicio que dice que el conjunto \( \left\{n+am:n,m\in\mathbb{Z}\right\} \) es denso si el \( a  \)es irracional pero no sé como vincularlo a este caso.

Por el resultado que citas, el conjunto \( A=\{n+am: n,m\in \mathbb{Z}\} \) es denso en \( \mathbb{R} \).

Ahora fijado \( t_0 \) si consideras la aplicación continua sobre el cociente:

\( f:\mathbb{R}\to \times \{[t_0]\}\times S^1,\quad f(s)=[(t_0,at_0+s)] \)

dado que \( A \) es denso en \( \mathbb{R} \), \( f(A) \) es denso en \( \{[t_0]\}\times S^1 \).

Pero:

\( f(A)=\{[t_0,at_0+n+am]: n,m\in \mathbb{Z}\}=\{[t_0+m,(m+t_0)a]: n,m\in \mathbb{Z}\}\subset curva \)

Por tanto la curva es densa en cada subconjunto \( \{[t_0]\}\times S^1 \) para cualquier \( t_0 \) y así la curva es densa en \( S^1\times S^1 \).

Saludos.

P.D. Hilos relacionados:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=7803.0

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=5985.0

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=4831.0