Estimados foristas acá, con un problema, para ver si es correcta la solución. Lo enuncio :

\( X_1,X_2,...,X_{n_1} \) es una muestra aleatoria de una variable normal X, con media \( \mu_X \) y varianza \( \sigma^2 \), \( Y_1,Y_2,...,Y_{n_2} \) es una muestra aleatoria  independiente de una variable normal Y, con media \( \mu_Y \) y varianza \( \sigma^2 \). Las varianzas son iguales Obtener un intervalo de confianza de \( 100(1-\beta) \ \ \% \) para la diferencia \( \mu_X-\mu_Y \)

SOLUCION

Considero un teorema que dice que \( \displaystyle\frac{\bar{X}-\mu_X}{S_X/\sqrt[ ]{n_1}} \) es una variable aleatoria que tiene una distribución t de student con \( n_1-1 \) grados de libertad, donde \( S_X \) es la desviación stándar muestral.

De la misma manera \( \displaystyle\frac{\bar{Y}-\mu_Y}{S_Y/\sqrt[ ]{n_2}} \) es una variable aleatoria que tiene una distribución t de student con \( n_2-1 \) grados de libertad, donde \( S_Y \) es la desviación stándar muestral.

Esto lleva  a considerar los siguientes intervalos de confianza con una probabilidad \( (1-\alpha)100 \% \) para cada una de las medias respectivamente :

\( P(-t_{1-\alpha/2}\leq{\displaystyle\frac{\bar{X}-\mu_X}{S_X/\sqrt[ ]{n_1}}}\leq{t_{1-\alpha/2}})=1-\alpha\Rightarrow{P(-t_{1-\alpha/2}\displaystyle\frac{S_X}{\sqrt[ ]{n_1}}\leq{\bar{X}-\mu_X}\leq{t_{1-\alpha/2}\displaystyle\frac{S_X}{\sqrt[ ]{n_1}}})=1-\alpha} \)

\( P(-t'_{1-\alpha/2}\leq{\displaystyle\frac{\bar{Y}-\mu_Y}{S_Y/\sqrt[ ]{n_2}}}\leq{t'_{1-\alpha/2}})=1-\alpha\Rightarrow{P(-t'_{1-\alpha/2}\displaystyle\frac{S_Y}{\sqrt[ ]{n_2}}\leq{\bar{Y}-\mu_Y}\leq{t'_{1-\alpha/2}\displaystyle\frac{S_Y}{\sqrt[ ]{n_2}}})=1-\alpha} \)


\( t_{1-\alpha/2} \) se refiere a una distribución T/b] de student de \( n_1-1 \) grados de libertad y \( t'_{1-\alpha/2} \) se refiere a una distribución T de estudente de \( n_2-1 \) grados de libertad.

Finalmente se llega a :

\( P(\bar{X}-t_{1-\alpha/2}\displaystyle\frac{S_X}{\sqrt[ ]{n_1}}\leq{\mu_X}\leq{\bar{X}+t_{1-\alpha/2}\displaystyle\frac{S_X}{\sqrt[ ]{n_1}}})=1-\alpha \)


\( P(\bar{Y}-t'_{1-\alpha/2}\displaystyle\frac{S_Y}{\sqrt[ ]{n_2}}\leq{\mu_Y}\leq{\bar{Y}+t'_{1-\alpha/2}\displaystyle\frac{S_Y}{\sqrt[ ]{n_2}}})=1-\alpha \)

En este punto se entiende que la probabilidad, que se den ambas situaciones en forma concreta (para valores observados de las muestras) ha de ser \( (1-\alpha)^2 \) en consecuencia  \( (1-\alpha)^2=1-\beta\Rightarrow{\alpha=1-\sqrt[ ]{1-\beta}} \), considerando ese \( \alpha \) se dan las dos inecuaciones y operando se llega a :

\( P(\bar{X}-\bar{Y}-t_{1-\alpha/2}(\displaystyle\frac{S_X}{\sqrt[ ]{n_1}})-t'_{1-\alpha/2}(\displaystyle\frac{S_Y}{\sqrt[ ]{n_2}})\leq{\mu_X-\mu_Y}\leq{\bar{X}-\bar{Y}+t_{1-\alpha/2}(\displaystyle\frac{S_X}{\sqrt[ ]{n_1}})+t'_{1-\alpha/2}(\displaystyle\frac{S_Y}{\sqrt[ ]{n_2}})})=1-\beta \)

Donde \( \alpha=1-\sqrt[ ]{1-\beta} \) y t y t' se refieren a distribuciones T student con \( n_1-1\wedge n_2-1 \) grados de libertad respectivamente.

Y eso es un intervalo, lo que me hizo dudar es,  el no uso de la igualdad de las varianzas de X e Y. Luego me hicieron conocer una sugerencia y con esa sugerencia llegan a otro intervalo, a otra respuesta. Entiendo que los intervalos no son únicos, por eso mi interrogante si el proceso es correcto. Esperando sus luces, comentarios y consejos. Gracias de antemano.

Saludos

Hola estimados foristas, acá con un problema que no resuelvo completamente, esperando sus luces y comentarios. Lo enuncio :

Se tiene una muestra aleatoria de tamaño n de una variable aleatoria normal X con media \( \mu \) y variancia \( \sigma^2 \), determinar \( E(S^2),  \ E(S) \), que son la varianza muestral y la desviación stándar muestral.

SOLUCIÓN

Por definición \( S^2=(\displaystyle\frac{1}{n-1})\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^2}=(\displaystyle\frac{1}{n-1})(\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i^2}-n\bar{X}^2)=(\displaystyle\frac{n}{n-1})(\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i^2}}{n})-\displaystyle\frac{n}{n-1}\bar{X}^2=(\displaystyle\frac{n}{n-1})M_2-(\displaystyle\frac{n}{n-1})M_1^2 \) donde \( M_2, M_1 \) son los momentos muestrales de orden 2 y respectivamente.

\( E(S^2)=(\displaystyle\frac{n}{n-1})E(M_2)-(\displaystyle\frac{n}{n-1})E(M_1^2) \) Ec. 1

En este punto se usa un teorema ya demostrado y usado en problemas anteriores :

\( E(M_k)=m_k \)

\( Variancia \ \ (M_k)=(\displaystyle\frac{1}{n}) \ (m_{2k}-m_k^2) \) donde \( m_k \) es el momento k-ésimo de la variable aleatoria X

Usando el teorema se tiene :

\( E(M_2)=m_2=E(X^2) \) pero \( \sigma^2=E(X^2)-\mu^2 \) esto implica \( E(M_2)=\sigma^2+\mu^2 \) R1

Usando la segunda parte del teorema se tiene :

\( variancia \ \ (M_1)=(\displaystyle\frac{1}{n})(m_2-m_1^2)=(\displaystyle\frac{1}{n})(E(X^2)-\mu^2)=\displaystyle\frac{\sigma^2}{n} \)

Esto se puede poner \( \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}=E(M_1^2)-E(M_1)^2\Rightarrow{E(M_1^2)=\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2} \) R2

Sustituyendo los resultados R1 y R2 en la EC1 se llega : \( E(S^2)=(\displaystyle\frac{n}{n-1})((\sigma^2+\mu^2)-(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2))=\sigma^2 \)

La respuesta para esta parte es correcta, para la segunda parte realmente me hice un ocho y me dijeron que había una sugerencia en el enunciado (no me la habían proporcionado inicialmente) y es : \( \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^2}}{\sigma^2} \) es una variable aleatoria \( \chi^2 \) con d=n-1 grados de libertad, recién con esta información (entiendo es un teorema para una muestra de una variable aleatoria normal) he intentando una respuesta pero que no coincide, ahí va :

Si,   \( Z=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^2}}{\sigma^2}\Rightarrow{Z=(\displaystyle\frac{n-1}{\sigma^2})S^2}\Rightarrow{S=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}})\ Z^{1/2}} \)

Por definición \( E(S)=\displaystyle\lim_{M \to{}\infty}{\displaystyle\int_{0}^{M}(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}})Z^{1/2} \ f_Z(Z) \ dZ} \) donde \( f_Z(Z) \) es la fundión de densidad de probabilidad de Z la cual se conoce por ser \( \chi^2 \) con d=n-1 grados de libertad, aparece la función \( \Gamma \) sustituyendo se tiene :

\( E(S)=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}}) \ \displaystyle\lim_{M \to{}\infty}{\displaystyle\int_{0}^{M}Z^{1/2} \ (\displaystyle\frac{Z^{(d/2)-1}}{2^{d/2} \ \Gamma(d/2)}) \ e^{-Z/2} \ dZ}=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}}) \ (\displaystyle\frac{2^{(d+1)/2}}{2^{d/2}}) \ (\displaystyle\frac{\Gamma((d+1)/2)}{\Gamma(d/2)})\displaystyle\lim_{M \to{}\infty}{\displaystyle\int_{0}^{M}\displaystyle\frac{Z^{(d+1)/2-1}}{2^{(d+1)/2} \ \Gamma((d+1)/2)} \ e^{-Z/2} \ dZ} \)

El integrando es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria  \( \chi^2 \) con \( d+1=(n-1)+1=n \) grados de libertad, en consecuencia el integral vale 1, luego se tiene que :

\( E(S)=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}}) \ (\displaystyle\frac{2^{(d+1)/2}}{2^{d/2}}) \ (\displaystyle\frac{\Gamma((d+1)/2)}{\Gamma(d/2)})=(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n-1}}) \ (\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ \Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}) \)

Este resultado no me coincide, esperando sus comentarios. Gracias de antemano.

Saludos

Hola estimados foristas, acá con un problema al que ponen unos símbolos que me hacen dudar de las  respuestas, ahí va.

Sea \( X_1, X_2,...,X_n \) una muestra de una variable aleatoria normal X con media \( \mu \) y varianza \( \sigma^2 \). Determinar las funciones de densidad para las estadísticas de orden \( X_{(1)}, \ X_{(n)} \).

SOLUCIÓN

En un teorema anterior se demostró, que las funciones de distribución de probabilidad de las estadísticas de orden  se calculan con la fórmula :

\( F_{X_{(j)}}(t)=\displaystyle\sum_{k=j}^n{\binom{n}{k}} \ [F_X(t)]^k \ (1-F_X(t))^{n-k} \)

Donde \( F_X(t) \) es la función de distribución de probabilidad de la variable X, es evidente que todas las variables de la muestra son independientes e idénticamente distribuidas.

Las estadísticas de orden son la muestra pero ordenada de menor a mayor es decir \( X_{(1)}, X_{(n)} \) son el mínimo y el máximo valor de la muestra.

En este caso :

\( F_{X_{(1)}}(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^n{\binom{n}{k}} \ [F_X(t)]^k \ (1-F_X(t))^{n-k}=1-(1-F_X(t))^n \)


\( F_{X_{(n)}}(t)=\displaystyle\sum_{k=n}^n{\binom{n}{k}} \ [F_X(t)]^k \ (1-F_X(t))^{n-k}=F_X(t)^n \)

Para obtener las densidades de probabilidad hay que derivar respecto a t al derivar tenemos :

\( f_{X_{(1)}}(t)=n(1-F_X(t))^{n-1} \ F'_X(t) \)

\( f_{X_{(n)}}(t)=n \ F_X(t)^{n-1} \ F'_X(t) \)

X es una variable aleatoria normal entonces considerando la variable aleatoria normal stándard Z y denominando a su función de distribución \( N_Z(z) \) se tiene :

\( f_{X_{(1)}}(t)=n(1-N_Z(\displaystyle\frac{t-\mu}{\sigma}))^{n-1} \ F'_X(t) \)

\( f_{X_{(n)}}(t)=n \ N_Z(\displaystyle\frac{t-\mu}{\sigma})^{n-1} \ F'_X(t) \)

Por el mismo motivo X normal se tiene :

\( F_X'(t)=\displaystyle\frac{1}{\sigma \sqrt[ ]{2 \ \pi}} \ e^{-(\displaystyle\frac{(t-\mu)^2}{2 \sigma^2})} \)

¿Esta correcto?

En la respuesta que dan en lugar de la densidad de probabilidad de X ponen la expresión \( n_Z(\displaystyle\frac{t-\mu}{\sigma}) \), considero que representa la densidad de probabilidad de la variable aleatoria normal stándard; en ese caso no veo igual las respuestas.

Esperando su aclaraciones y comentarios. Gracias de antemano.

Saludos

Hola estimados foristas acá con otro problema de probabilidad, correspondiente a la desigualdad de Chebychev, hay ciertas dudas y en  uno de los apartados no obtengo la respuesta, lo expongo :

X es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p entonces \( \mu_X=np \) y su varianza \( \sigma_X^2=npq \). Si \( Y=\displaystyle\frac{X}{n} \) entonces la \( \mu_Y=p \) y  \( \sigma_Y^2=\displaystyle\frac{pq}{n} \). Demostrar :

a) \( p(\left |{Y-p}\right |< \delta)\geq{1-pq/n\delta^2} \)

b) \( p(\left |{Y-p}\right |< \delta)\geq{1-\displaystyle\frac{1}{4} \ \delta^2} \)

c) Suponer que se quiere encontrar un n tal que \( p(\left |{Y-p}\right |< \delta)\geq{0.9} \) para un \( \delta>0 \) dado.

SOLUCIÓN

a) Creo hay un error tipográfico lo demuestro :

La desigualdad de Chebychev se puede aplicar directamente a la variable aleatoria Y y nos dice que para una constante K

\( p(\left |{Y-\mu_Y}\right |<K \sigma_Y)\geq{1-\displaystyle\frac{1}{K^2}} \)


Poniendo los valores se tiene \( p(\left |{Y-p}\right |<K \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{pq}{n}})\geq{1-\displaystyle\frac{1}{K^2}} \)


Considerando que \( \delta=K \sigma_Y=K\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{pq}{n}}\Rightarrow{K^2=\displaystyle\frac{n \delta^2}{pq}} \)

Por lo tanto : \( p(\left |{Y-p}\right |< \delta)\geq{1-\displaystyle\frac{pq}{n \delta^2}} \) evidentemente ha de estar mal escrito el enunciado.

b) En este apartado no sabía que hacer; pero entendí que se trataba de usar la desigualdad del punto a) para que se cumpla independientemente de n y p, para ello ha de encontrarse el mínimo de \( 1-\displaystyle\frac{pq}{n \delta^2} \) esto ocurre cuando la fracción \( \displaystyle\frac{pq}{n \delta^2}=\displaystyle\frac{p(1-p)}{n\delta^2} \) se maximiza, a ojo de buen cubero esto ocurre cuando \( p(1-p) \) es máximo y n es mínimo, denominando \( h(p)=p(1-p) \) el máximo de esta función continua y derivable con continuidad, se puede hallar obteniendo su punto crítico \( h'(p)=1-2p=0\Rightarrow{p=1/2} \) derivando por segunda vez \( h''(p)=-2 \) luego en \( p=1/2 \) hay máximo y \( Max{h(p)}=\displaystyle\frac{1}{4} \) el valor mínimo de n=1 en consecuencia se tendrá :

\( p(\left |{Y-p}\right |< \delta)\geq{1-\displaystyle\frac{pq}{n \delta^2}}\geq{1-\displaystyle\frac{1}{4 \delta^2}} \)

Nuevamente error tipográfico.

c) Para un n constante, el mínimo valor de \( 1-\displaystyle\frac{pq}{n \delta^2} \) de tal manera que la desigualdad siempre se cumpla, se corresponde con el máximo valor de \( h(p)=p(1-p) \) en consecuencia se tendrá  :


\( p(\left |{Y-p}\right |< \delta)\geq{1-\displaystyle\frac{1}{4n \delta^2}}\geq{0.9}\Rightarrow{n\geq{\displaystyle\frac{2.5}{\delta^2}}} \)

En este punto sí, coincido, bienvenidos sus comentarios y análisis, gracias de antemano.

Saludos

Hola estimados foristas, un problema que de inicio no llego a la respuesta, lo expongo.

Una variable aleatoria bidimensional continua (X,Y) tiene como densidad de probabilidad \( f_{X,Y}(x,y)=c \), para los puntos interiores al cuadrilátero determinado por los puntos A(0,0), B(1,1), D(a,1-a), E(1-a,a) en que \( 0\leq{a}\leq{1/2} \)

a) Determinar c

Expongo la solución

Observo que los puntos son los vértices de una paralelogramo, \( AD=EB=(a,1-a) \wedge DB=AE=(1-a,a) \)  luego se tendría el paralelogramo ADBE en sentido horario los puntos.

Por ser una f una función de densidad de probabilidad ha de cumplir :

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{XY}(x,y) \ dx \ dy=\displaystyle\int_{_P}^{}\displaystyle\int_{}^{}c \ dx \ dy=ca(P)=1 \) donde P es el paralelogramo y a(P) es el área del paralelogramo. Extendiendo al espacio los vectores \( AD=(a,1-a,0)\wedge AE=(1-a,a,0) \) se tiene que \( a(P)=\left |{AE \ \ X \ \ AD}\right |=1-2a \) en consecuencia \( c(1-2a)=1\Rightarrow{c=\displaystyle\frac{1}{1-2a}} \) la respuesta que me trajeron con libro y todo es :

\( c=\displaystyle\frac{1}{1-2a-2a^2} \)

Hay otros apartados pero se basan en este resultado. Observo también que a=1/2 implicaría que f no sería una función de densidad.

Bienvenidos sus comentarios y sugerencias, gracias de antemano.

Saludos

Hola estimados foristas de RINCÓN MATEMÁTICO, esperando sus luces, para  un problema al que no llegó con la respuesta exacta,  bienvenida su ayuda.

Un voceador vende periódicos en una esquina. La venta constituye un proceso de Poisson, con parámetro \( \lambda=50 \) por hora. Si acaban de comprar un periódico, ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran por lo menos 2 minutos para una nueva venta? Si ya han transcurrido 5 minutos desde la última venta, ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran al menos 2 minutos para la siguiente venta?

RESOLUCIÓN

Sea X el tiempo a partir, del momento que se compró un periódico, hasta que se compra otro periódico. Esta es una variable aleatoria continua, es  una variable aleatoria exponencial, con parámetro \( \lambda=50 \) por hora.

Primeramente piden \( p(x\geq{2'})=p(x\geq{\displaystyle\frac{2}{60 } \ h})=1-p(x\leq{\displaystyle\frac{2}{60} \ h}) \)

Por definición de función de distribución \( p(x\leq{\displaystyle\frac{2}{60} \ h})=F_x(\displaystyle\frac{2}{60} \ h)=1-e^{-50(\displaystyle\frac{2}{60})} \)

Luego : \( p(x\geq{2'})=e^{\displaystyle\frac{-5}{3}}=0.188 \) sin redondear

Para la segunda interrogante se considera dos eventos :

A evento en que \( x>\displaystyle\frac{5}{60} \ h \)

C evento en que \( x\geq{\displaystyle\frac{7}{60} \ h} \)

Lo que piden es la probabilidad de que ocurra C dado A, es probabilidad condicional entonces :

\( p(C | A)=\displaystyle\frac{p(C\cap{A})}{p(A)}=\displaystyle\frac{p(C)}{p(A)}=\displaystyle\frac{1-F_x(\displaystyle\frac{7}{60})}{1-F_x(\displaystyle\frac{5}{60})}=\displaystyle\frac{e^{-50(\displaystyle\frac{7}{60})}}{e^{-50(\displaystyle\frac{5}{60})}}=e^{\displaystyle\frac{-5}{3}}=0.188 \)

La respuesta que dan es 0.182 para ambas interrogantes, gracias

Saludos

Hola amigos foristas, acá con un problema que después de resolverlo, me muestran que la respuesta es diferente. Bienvenidos sus comentarios y sugerencias.

Para formar un seto circular (valla de forma circular para proteger un terreno), un jardinero corta una cuerda, la ata a una estaca y marca el perímetro con ella. Suponer que la longitud de la cuerda tiene la misma verosimilitud de estar en el intervalo [0.9r,1.1r] ¿Cuál es la distribución y la densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y superficie determinada por el seto? Justificar los pasos.

SOLUCION

La longitud de cuerda cortada, es una variable aleatoria X continua :

\( X: S \rightarrow{[0.9r,1.1r]} \)

\( w\rightarrow{X(w)=x} \)

S es el espacio muestral y w representa su elemento.

Denominando g a la función de la variable aleatoria x definida por :

\( g: [0.9r,1.1r]\rightarrow{R} \)
\( x\rightarrow{g(x)=\pi x^2} \)

En ese caso la variable aleatoria Y queda determinada :

\( Y:S\rightarrow{R} \)

\( w\rightarrow{Y(w)=g(X(w))=\pi x^2} \)

La idea es determinar la función de distribución y de densidad de X y usar teoremas para determinar ambas funciones para Y, siendo esta última función de X

Función de distribución :

\( F_X(t)=\begin{cases}{0}&\text{si}& t<0.9r\\\displaystyle\frac{t-0.9r}{0.2r} & \text{si}& 0.9r\leq{t}\leq{1.1r} \\ {1} &\text {si} & t>1.1r\end{cases} \)

Función de densidad de probabilidad

Directamente \( f_X(t)=0 \) si \( t<0.9r \vee t>1.1r \)

Para el intervalo que falta se considera la ecuación \( F_X(t)=F_X(0.9r)+\displaystyle\int_{0.9r}^{t}f_X(x) \ dx, \ \ \ t\in{[0.9r,1.1r]} \)

Por ser \( F_X(t) \) derivable con continuidad se tiene \( f_x(t)=\displaystyle\frac{1}{0.2r}, \ \ \ t\in{(0.9r,1.1r)} \)

Por ser g(x) estrictamente creciente y derivable \( g'(x)=2 \pi x \) se aplican los teoremas para la distribunción y densidad respectivamente de Y en su dominio \( [\pi (0.9r)^2, \pi (1.1r)^2] \)

Distribución para Y

\( F_Y(t)=F_X(g^{-1}(t))=F_X(\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t}{\pi}})=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t}{\pi}}-0.9r}{0.2r}, \ \  t\in{[\pi (0.9r)^2, \pi (1.1r)^2]} \)

\( F_Y(t)=0, \ si \ t<(0.9r)^2 \)

\( F_Y(t)=1, \ si \ t>(1.1r)^2 \)

Densidad de probabilidad para Y

\( f_Y(t)=f_X(g^{-1}(t)) \ / g'(g^{-1}(t))=f_X(\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t}{\pi}}) / \ 2 \pi \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t}{\pi}}=\displaystyle\frac{5}{2r\sqrt[ ]{\pi t}}, \ \ t\in{[\pi (0.9r)^2, \pi (1.1r)^2]} \)

\( f_Y(t)=0 \) para cualquier otro valor.

Saludos

Hola estimados foristas acá con un problema de eventos independientes, en el apartado b) no llego a la respuesta, atento a sus aportaciones y aclaraciones, lo expongo :

Un estudiante cursa 4 materias, en un trimestre, sus probabilidades de obtener un A son 0.2, 0.5, 0.1 y 0.7 respectivamente en esas materias

a) ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante obtenga solamente A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtenga exactamente 3 A?

Resolución

El suceso aleatorio lo constituyen las calificaciones obtenidas al cursar las materias

Los resultados posibles son 4-ordenadas de calificaciones

El espacio muestral \( S=\left\{{(x_1,x_2,x_3,x_4) \ \ / \ \ x_i\in{\left\{{A,A'}\right\}} \ i=1,2,3,4}\right\} \) donde A' significa no A

a) Sea B el evento en que se alcanza A en todas las materias, \( B=\left\{{(A,A,A,A)}\right\} \)

Denominando \( C_i=\left\{{(x_1,x_2,x_3,x_4) \ \ / \ \ x_i=A}\right\} \) i=1,2,3,4

Es decir los eventos en que se alcanza A en la materia i, estos son independientes y sus probabilidades están dadas en el enunciado, la razón es que la calificación en una materia no depende de la calificación en otra (en realidad es una hipótesis)

Es claro que \( B=C_1\cap{C_2}\cap{C_3}\cap{C_4} \) la independencia implica :

\( p(B)=p(C_1)p(C_2)p(C_3)p(C_4)=0.2(0.5)(0.1)(0.7) \)

b) Sea B el evento en que hay exactamente 3 A, en consecuencia \( B=\left\{{(A,A,A,A'), \ (A,A,A',A), \ (A,A',A,A) \ (A',A,A,A)}\right\} \)

B es la reunión de 4 eventos unitarios disjuntos denominando de izquierda a derecha \( E_1,E_2,E_3,E_4 \)

\( p(B)=\displaystyle\sum_{i=1}^4{p(E_i)} \)

De una manera semejante al análisis en a) se pueden hallar las probabilidades \( p(E_i) \) y respectivamente serán :

\( p(E_1)=0.2(0.5)(0.1)(0.3) \)

\( p(E_2)=0.2(0.5)(0.9)(0.7) \)

\( p(E_3)=0.2(0.5)(0.1)(0.7) \)

\( p(E_4)=0.8(0.5)(0.1)(0.7) \)

Pero la suma no coincide con la respuesta

Saludos

Hola

Estimados foristas acá con una serie en que mi solución no es bien vista por el uso de una propiedad trigonométrica  (a pesar que para mi es básica), enuncio el problema y la resoluciòn y atento a sus observaciones y sugerencias :

Dada la serie \( S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{log(k \ sen (1/k))} \) averiguar su convergencia y en caso converga averiguar si lo hace absolutamente

Resolución

La serie se  corresponde con la sucesión \( a_k=log(k \ sen (1/k)) \) se averigua primero si cumple la condición necesaria de convergencia :

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{a_k}=\displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{log(\displaystyle\frac{sen(1/k)}{(\displaystyle\frac{1}{k})})} \)

El hecho que \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{1}{k}}=0 \wedge \displaystyle\lim_{x \to{+}0}{\displaystyle\frac{sen x}{x}}=1 \) implican \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{a_k}=0 \)

En consecuencia \( S_n \) cumple la condición necesaria y puede converger

Una observación de algunos términos, hace suponer que \( a_k<0 \) y se procede a demostrarlo

Partiendo de una propiedad trigonométrica básica : \( 0<cos y<\displaystyle\frac{sen y}{y}<\displaystyle\frac{1}{cos y}, \ \ si \ \ 0<y<\pi/2 \)

De la última inecuación se desprende \( sen \ 2y<2y, \ \ \ si \ \ 0<y<\pi/2  \)

Considerando \( 2y=\displaystyle\frac{1}{k}\Rightarrow{0<\displaystyle\frac{sen(\displaystyle\frac{1}{k})}{(\displaystyle\frac{1}{k})}<1}\Rightarrow{log(\displaystyle\frac{sen(\displaystyle\frac{1}{k})}{(\displaystyle\frac{1}{k})})=a_k<0} \)

En consecuencia \( \left |{a_k}\right |=-a_k=log(\displaystyle\frac{1}{ksen(1/k)}) \)

Usando la propiedad básica se tiene : \( cos (1/k)<k sen (1/k)\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{cos (1/k)}>\displaystyle\frac{1}{k sen (1/k)}}\Rightarrow{b_k=log(\displaystyle\frac{1}{cos(1/k)})>\left |{a_k}\right |} \)

Se averigua la convergencia de la serie \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{b_k} \) por comparación por paso al límite con la serie \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \) :

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{b_k}{(1/k^2)}}=1/2 \) esto implica que la serie  converge y por ende también \( S_n \) converge absolutamente

Saludos


Nota :
Para el último límite se usa el hecho \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{(\displaystyle\frac{1}{k})}=0 \wedge \displaystyle\lim_{t \to{}+0}{\displaystyle\frac{log(\displaystyle\frac{1}{cos t})}{t^2}}=1/2 \)

Hola estimados foristas, aquí con un problema de series, esperando sus observaciones y sobretodo alguna forma más concisa, es que en el desarrollo  hago algunos artificios

Enunciado

Considerando la sucesión :

\( a_k=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2k-1} \ \ ln(4k+1)}{k(k+1)} \)

Averiguar si la serie correspondiente \( S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_k} \) converge o diverge

Resolución

Haciendo una observación la sucesión tiene términos positivos y haciendo algunos arreglos  :

\( a_k=\displaystyle\frac{\ \sqrt[ ]{k(2-1/k)}  \ \ ln(4k+1)}{k(k+1)}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-1/k} \ \ ln(4k+1)}{\sqrt[ ]{k} \ \ (k+1)}\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln(4k+1)}{\sqrt[ ]{k}(k+1)}}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln(k \ \ (4+1/k))}{\sqrt[ ]{k} \ (k+1)} \)

Desarrollando se tiene :

\( a_k\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln k}{\sqrt[ ]{k} \ (k+1)}+\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln (4+1/k)}{\sqrt[ ]{k} \ (k+1)}}=b_k+c_k \)  donde \( b_k\wedge c_k \) son sucesiones de términos no negativos que se corresponden con el primer y segundo sumando respectivamente

Las series \( \displaystyle\sum_{}^{}\displaystyle\frac{1}{k^{5/4}}, \ \ \displaystyle\sum_{}^{}\displaystyle\frac{1}{k^{3/2}} \) son de sucesiones de términos positivos convergentes, utlizando el criterio de comparación por paso al límite se tiene :

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{b_k}{\displaystyle\frac{1}{k^{5/4}}}}=\displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln k}{(1+1/k) \ k^{1/4}}}=0 \)

En consecuencia \( \displaystyle\sum_{}^{}b_k \) converge eso implica que esta acotada superiormente

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{c_k}{\displaystyle\frac{1}{k^{3/2}}}}=\displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2} \ ln(4+1/k)}{(1+1/k)}}=\sqrt[ ]{2} ln4 \)

En consecuencia \( \displaystyle\sum_{}^{}c_k \) converge eso implica que esta acotada superiormente

Se concluye que \( \displaystyle\sum_{}^{}a_k \) esta acotada superioremente luego converge

Esperando sus observaciones o alguna alternativa de solución

Gracias

Saludos