Hola:
   Coincido con la solución al problema que propone teeteto. Pero la forma no me parece muy clara. No se como acostumbren a presentar por   aca las soluciones a los problemas pero creo que agregaré la que tenia pensada en texto plano para esperar sus obesrvaciones.

Se considera la función polinomial P(x)=x^2+(1-k)x+k Hallar todos los valores naturales de P para los cuales las raíces de P son naturales.
El polinomio P es de segundo grado por tanto las raíces están dadas por:  x=(-(1-k)+/-sqrt((1-k)^2-4*1*k))/(2*1)
Para que las raíces sean enteras el resultado del radical debe ser entero: Por tal motivo se debe cumplir:
(1-k)^2 - 4*1*k = 1-2*k-k^2-4*k
k^2-6k+1=y^2
k^2-6k+1 -y^2 = 0
Donde y es una variable entera
Para que éste segundo polinomio tenga soluciones enteras se debe cumplir que el determinante tenga raíz entera. El determinante de la ecuación es:
(6)^2 - 4*1*(1-y^2)=32+4*y^2=4(8+y^2)
La raíz es:
sqrt(4*(8+y^2)) = 2*sqrt(8+y^2)
Por tanto lo que esta dentro del radical debe ser un entero elevado al cuadrado. Digamos que z es ese entero entonces:
8 + y^2 = z^2
Recordando que y también es entero. La ecuación hace ver que y y z son todos los enteros cuyos cuadrados tienen diferencia de 8.
Entonces la diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos esta dada por
(y+1)^2 - y^2 = y^2+2*y+1-y^2 = 2*y+1
que es una función creciente. Por tanto su valor mínimo es de 3 (en caso de 1 y 4) y como son impares es imposible que la diferencia de dos cuadrados consecutivos sea de 8.
Si tomamos números que se llevan por 2 unidades la diferencia entre los cuadrados de estos es:
(y+2)^2 - y^2 = y^2+4*y+4-y^2 = 4*y+4
que es igual con 8 si y = 1. Lo que quiere decir que los números buscados son 1 y 3 (que sus cuadrados son 1 y 9 y su diferencia es de 8 )
En el caso general de la diferencia de los cuadrados de números que se llevan por n será:
(y+n)^2 - y^2 = y^2+n*y+n^2-y^2 = 2ny+n^2
y para que esta diferencia sea 8 se debe satisfacer que:
n(2y+n)=8
Como n y y son números enteros y los únicos factores de 8 son 1,2 y 4 entonces
Si n = 1 entonces 2y+1=8 y y no es un número entero, por tanto n no puede ser 1
Si n = 2 entonces 2y+2=4 y y = 1 que es el caso que ya habíamos encontrado anteriormente
Si n = 4 entonces 2y+4=2 y y = -1 en donde el otro entero es 3. Haciendo lo mismo para n = -1, -2 y -4 obtenemos y =-3.
Por tanto el único valor posible para y es 1 o menos uno, pero es totalmente equivalente porque se usa el cuadrado y además entre y y z, y es el menor.
Por tanto las ecuaciones posibles para k son: k^2-6k+1-1=0  y
k puede ser 0 o 6. QED

Esperando sus comentarios y Gracias por la respuesta