Autor Tema: Espacios vectoriales, bases y transformaciones

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14 Diciembre, 2017, 04:15 pm
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FrancoMonse

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Por favor necesito ayuda con este problema. Si la imagen no se aprecia bien, avisarme. Desde ya muchas gracias

Sean \( U=gen\{(3,5,3,1)^t,(3,1,-1,4)^t,(1,-1,5,1)^t\} \) y \( W=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4|x+t=0;\, y-z-t=0\} \) dos subespacios de \( \mathbb{R}^4 \). Se pide:

a) Decidir si el conjunto generador de \( U \) es linealmente dependiente o independiente.

b) Una base para \( W \).

c) Un conjunto generador de \( U \).

d) Construir una transformación lineal de \( \mathbb{R}^4 \) en \( \mathbb{R}^4 \) tal que el núcleo de \( T \) sea \( U \) y la imagen de \( T \) sea \( W \).

e) Responder: ¿Son los espacios \( U \) y \( W \) isomorfos?.

15 Diciembre, 2017, 11:20 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular:

 - No debes de poner el enunciado de un problema como una imagen adjunta. Debes de teclearlo explícitamente en el mensaje.
 - Debes de indicar que has intentado y que dudas concretar tienes en la cuestión que planteas.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

 Algunas indiciaciones:

Sean \( U=gen\{(1,0,1,1)^t,(2,1,-1,0)^t,(0,-1,3,2)^t\} \) y \( W=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4|x+t=0;\, y-z-t=0\} \) dos subespacios de \( \mathbb{R}^4 \). Se pide:

a) Decidir si el conjunto generador de \( U \) es linealmente dependiente o independiente.

El número de generadores de \( U \) independientes es el rango de la matriz (colocando los vectores como filas) que forman sus coordenadas. Escalona esa matriz hasta eliminar haciéndolas cero las posibles filas dependientes.

Citar
b) Una base para \( U \).

Está formada por las filas no nulas obtenidas en el escalonamiento anterior.

Citar
c) Un conjunto generador de \( W \).

Resuelve paramétricamente las ecuaciones implícitas dadas.

Citar
d) Construir una transformación lineal de \( \mathbb{R}^4 \) en \( \mathbb{R}^4 \) tal que el núcleo de \( T \) sea \( U \) y la imagen de \( T \) sea \( W \).

Lleva los vectores de \( U \) al cero.

Elige otros dos vectores independientes de los generadores de \( U \) y llévalos a los generadores de \( W \).

Citar
e) Responder: ¿Son los espacios \( U \) y \( W \) isomorfos?.

Dos espacios vectoriales reales son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.

Saludos.

15 Diciembre, 2017, 02:44 pm
Respuesta #2

FrancoMonse

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Muchas gracias por la ayuda y ya leí las reglas del foro!