Enunciado.Dado \( z\in\mathbb{C} \), se define \( f(z)=\sqrt{|z|}e^{i\text{arg}(z)/2} \).\( i) \) ¿En qué región del plano puede ser \( f \) analítica?
\( ii) \) En caso de que \( f \) sea analítica, halle \( f'(z) \) en la forma más simplificada posible.
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Solución.Sea \( f=u(x,y)+iv(x,y) \). En coordenadas polares, \( x=r\cos\theta \), \( y=r\sin\theta \), luego, por la regla de la cadena,
\( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},\ \ \frac{\partial u}{\partial\theta}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta} \)
luego
\( u_{r}=u_{x}\cos\theta+u_{y}\sin\theta\text{ y }u_{\theta}=-u_{x}r\sin\theta+u_{y}r\cos\theta. \) (1)
De manera análoga,
\( v_{r}=v_{x}\cos\theta+v_{y}\sin\theta\text{ y }v_{\theta}=-v_{x}r\sin\theta+v_{y}r\cos\theta \) (2)
luego por las ecuaciones C-R tenemos que la ecuación (2) se convierte en
\( v_{r}=-u_{y}\cos\theta+u_{x}\sin\theta,\ \ \ \text{ y } ,\ \ \ v_{\theta}=u_{y}r\sin\theta+u_{x}r\cos\theta \) (3)
luego comparando las ecuaciones (1) y (3) encontramos que
\( ru_{r}=v_{\theta},\ \ \ u_{\theta}=-rv_{r} \)
que son las ecuaciones C-R en coordenadas polares. Así será más fácil tratar el problema.
El dominio de definición de \( f(z)=\sqrt{r}e^{i\theta/2} \), \( (|z|=r, \, \text{arg}(z)=\theta) \) es el conjunto \( \left\{r>0, \varphi < \text{arg(z)}=\theta < \varphi + 2\pi\right\} \). Para ver en qué región del plano puede ser analítica analicemos las ecuaciones C-R.
Por la fórmula de Euler,
\( \displaystyle f(z)=\sqrt{r}e^{i\theta/2}=\underbrace{\sqrt{r}\cos\frac{\theta}{\text{2}}}_{u(x,y)}+i\underbrace{\sqrt{r}\sin\frac{\theta}{2}}_{v(x,y)}
\)
y, entonces, aplicando las ecuaciones C-R
\( \displaystyle ru_{r}=\frac{\sqrt{r}}{2}\cos\frac{\theta}{2}=v_{\theta}, \ \ \ u_{\theta}=-\frac{\sqrt{r}}{2}\sin\frac{\theta}{2}=-rv_{r}
\)
luego la función \( f(z) \) es analítica en todo su dominio de definición (ya que también se tiene que sus derivadas primeras son continuas y por tanto se satisfacen las condiciones suficientes de derivabilidad).
Además, se demuestra fácilmente a partir de las ecuaciones (1) y (2) y la fórmula de Euler que \( f'(z)=e^{-i\theta}(u_{r}+iv_{r}) \) luego
\( \displaystyle f'(z)=\frac{1}{2\sqrt{r}}e^{-i\theta}\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{r}}e^{-i\theta}e^{-i\theta/2}=\frac{1}{2f(z)}
\)
