Bienvenido al foro
madmaax. He separado tu mensaje en un nuevo tema porque no tenía mucho que ver con el tema en el cual lo habías escrito originalmente.
No tengo claro cuál es exactamente la formulación de la regla de Barrow pero voy a suponer que es la siguiente: sea \( F \) una primitiva de \( f \) y \( f \) una función continua. Entonces \( \int_{a}^b f(x)\,d x=F(b)-F(a) \).
Si ésa es la formulación de la regla de Barrow, la cual se define para la integral de Riemann, entonces debe darse el caso de que \( F'=f \), ya que ésa es la definición de primitiva de una función. Entonces para cualquier función discontinua con una discontinuidad no esencial (es decir, evitable o de salto) lo anterior no se cumple porque simplemente esas funciones con ese tipo de discontinuidades no tienen primitivas, es decir, no existe tal función \( F \) que sea primitiva de \( f \).
Entonces te puedo mostrar que por ejemplo la función \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) definida por
\( \displaystyle{
f(x):=\begin{cases}
1,&\text{ si }x= 0\\
0,&\text{ otro caso }
\end{cases}
} \)
no tiene primitivas. Si tuviese una primitiva \( F \), como \( f \) es cero en \( (0,\infty ) \), entonces \( F \) sería constante en \( (0,\infty ) \). Lo mismo pasaría en \( (-\infty ,0) \). Pero entonces para que \( F \) fuese diferenciable debería ser continua en todo \( \mathbb{R} \), y por lo anteriormente discutido constante en todo \( \mathbb{R} \). Pero entonces tendríamos que \( F'(x)=0 \) para todo \( x\in \mathbb{R} \), y en particular \( F'(0)=0\neq 1=f(0) \). Por tanto \( f \) carece de primitivas.
