[AveFenix]

Estoy atascado en una parte de la demostración que estoy realizando y necesito ayuda para avanzar. ¿Alguien puede seguirla? Gracias.

El ejercicio se basa en \( \Bbb N\times \Bbb N \), donde se establece la relación \( (x_0, y_0) < (x_1, y_1) \) si \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \) o \( x_0 - y_0 = x_1 - y_1 \) con \( y_0 < y_1 \).

Ahora, para determinar los predecesores inmediatos, necesitamos encontrar los pares ordenados que no tienen ningún otro punto entre ellos. Para esto, consideramos \( I =\{ (x, y) \) tal que \( (x_0, y_0) < (x, y) < (x_1, y_1)\} \).

Estoy enfocándome en el caso 1, donde \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \) y \( x_0 - y_0 + 1 = x_1 - y_1 \) (es decir, son consecutivos).

Estoy tratando de relacionar este caso con la condición que debe fallar para que \( I \) sea vacío. He considerado \( (x, y) \) tal que \( y < x - (x_0 - y_0) \). Ahora, si \( y = x - (x_1 - y_1) \) con \( y < y_1 \)
(los demás los relacione y si son incompatibles, pero en este en particular no se como hacerlo)
Sin embargo, aún no logro identificar como hacer esta parte para que no sean compatibles.

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy atascado en una parte de la demostración que estoy realizando y necesito ayuda para avanzar. ¿Alguien puede seguirla? Gracias.

El ejercicio se basa en \( \Bbb N\times \Bbb N \), donde se establece la relación \( (x_0, y_0) < (x_1, y_1) \) si \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \) o \( x_0 - y_0 = x_1 - y_1 \) con \( y_0 < y_1 \).

Ahora, para determinar los predecesores inmediatos, necesitamos encontrar los pares ordenados que no tienen ningún otro punto entre ellos. Para esto, consideramos \( I =\{ (x, y) \) tal que \( (x_0, y_0) < (x, y) < (x_1, y_1)\} \).

Estoy enfocándome en el caso 1, donde \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \) y \( x_0 - y_0 + 1 = x_1 - y_1 \) (es decir, son consecutivos).

Pero en ese caso siempre hay infinitos elementos intermedios. Al menos todos los de la forma:

\( (x_0+k,y_0+k) \) con \( k\geq 1 \)

Para que no haya elementos intermedios por tanto al menos tiene que cumplirse \( x_0-y_0=x_1-y_1 \) e \( y_0<y_1 \). Pero si existe \( y \) con \( y_0<y<y_1 \) todavía habría al menos un elemento intermedio \( (y+x_0-y_0,y) \). Entonces tiene que ocurrir que \( y_1=y_0+1 \) es decir dos elementos "consecutivos" serían de la forma:

\( (x_0,y_0) \) y \( (x_0+1,y_0+1) \).

Saludos.

Añadido:

 - La relación de orden en cada recta paralela a \( x=y \) es así:



 Y los puntos de dos rectas distintas son menores para la recta que está a la izquierda de la otra.

[AveFenix]

¡Hola!
Estoy algo confundido, así que volveré a explicarlo.

Estoy considerando el caso I, donde \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \), que se define como \( I = \{(x_0,y_0);(x_1,y_1)\} = \{(x,y) / y < x - (x_0 - y_0) \) o \( y = x - (x_0 - y_0) \) con \( y > y_0 \) intersectado con \( \{(x,y) / y > x - (x_1 - y_1) \) o \( y = x - (x_1 - y_1) \) con \( y < y_1 \).

Ya he demostrado que \( I = \emptyset \), considerando el caso 2) donde \( x_0 - y_0 = x_1 - y_1 \) con \( y_0 < y_1 \), donde \( x_1 = x_0 + 1 \) y \( y_1 = y_0 + 1 \). Ese no es el problema, ya que aquí todo es incompatible, es decir, relacioné uno y lo relacioné con ambos del otro lado, y así sucesivamente.  Por ende I=vacio

Por ende, aquí concluyo que si \( (x,y) \) pertenece a \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), entonces \( (x-1,y-1) \) es su predecesor inmediato. Solo tiene predecesores inmediatos con \( x \geq 1 \) y \( y \geq 1 \) ya que \( \mathbb{N} \) .

El problema radica en el caso 1), \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \). Entonces, afirmo que \( I = \emptyset \) si \( x_1 - y_1 = x_0 - y_0 + 1 \), es decir, esto me permite hacer que las dos rectas sean consecutivas, por ende, no tendrían elementos de por medio y serían predecesoras sus elementos. Pero no logro hacer que las cuentas me fallen en esta parte (en particular los casos que les voy a dar a continuacion por que los otras dos opciones si las logre con el caso 1). Tomé \( \{(x,y) / y < x - (x_0 - y_0) \) y luego si \( y = x - (x_1 - y_1) \) con \( y < y_1 \), algo tendrá que fallar, ¿no? supongo que es tomando y< y_1 pues , la otra parte se cumple

Ahora que lo pienso, también me he atascado con \( y = x - (x_0 - y_0) \) con \( y > y_0 \)... ¿y si \( y > x - (x_1 - y_1) \)? Recuerda, considerando el caso 1) \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \).  y con \( x_1 - y_1 = x_0 - y_0 + 1 \)

¡Gracias y saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

El problema radica en el caso 1), \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \). Entonces, afirmo que \( I = \emptyset \) si \( x_1 - y_1 = x_0 - y_0 + 1 \), es decir, esto me permite hacer que las dos rectas sean consecutivas, por ende, no tendrían elementos de por medio y serían predecesoras sus elementos.

Es que no puedes afirmar eso porque es FALSO.

Lo que tienes es que si \( x_0-y_0<x_1-y_1 \) SIEMPRE tienes infinitos puntos entre \( (x_0,y_0) \) y \( (x_1,y_1) \), es decir, en se caso:

\( I=\{(x,y)|(x_0,y_0)<(x,y)<(x_1,y_1)\} \)

no sólo es NO vacío, sino que tiene cardinal infinito.  Y para ello basta notes que cualquier elemento de la forma:

\( (x_0+k,y_0+k) \) está en \( I \) ya que:

i) \( (x_0+k)-(y_0+k)=x_0-y_0 \) e \( y_0<y_0+k \) y por tanto \( (x_0,y_0)<(x_0+k,y_0+k) \)

ii) \( (x_0+k)-(y_0+k)=x_0-y_0<x_1-y_1 \) y por tanto \( (x_0+k,y_0+k)<(x_1,y_1) \)

Por ejemplo en el dibujo si \( (x_0,y_0) \) es el punto rojo y  \( (x_1,y_1) \) es el punto azul, todos los puntos rosa que están en la misma recta que \( (x_0,y_0) \) pero por encima de él, son puntos intermedios entre ambos.



Saludos.

[AveFenix]

Si no está vacío, eso implica que NO tiene predecesores inmediatos. Pues existirán elementos de por medio por asi decirlo. 

Solo el caso 2 seria entonces posible? De ser asi, estaría correcto el caso 2 como lo presente? Evidentemente omitiendo ciertos detalles para que no sea tan extenso escribir por aqui.

[Luis Fuentes]

Hola

Solo el caso 2 seria entonces posible?

Si.

De ser asi, estaría correcto el caso 2 como lo presente? Evidentemente omitiendo ciertos detalles para que no sea tan extenso escribir por aqui.

No estoy muy seguro de donde lo has presentado aquí. ¿Te refieres a esto:?

Ya he demostrado que \( I = \emptyset \), considerando el caso 2) donde \( x_0 - y_0 = x_1 - y_1 \) con \( y_0 < y_1 \), donde \( x_1 = x_0 + 1 \) y \( y_1 = y_0 + 1 \). Ese no es el problema, ya que aquí todo es incompatible, es decir, relacioné uno y lo relacioné con ambos del otro lado, y así sucesivamente.  Por ende I=vacio

Por ende, aquí concluyo que si \( (x,y) \) pertenece a \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), entonces \( (x-1,y-1) \) es su predecesor inmediato. Solo tiene predecesores inmediatos con \( x \geq 1 \) y \( y \geq 1 \) ya que \( \mathbb{N} \) .

Es cierta la conclusión, aunque ahí no has escrito claramente una justificación. Pero ya digo que no tiene mucha ciencia justificarlo, de hecho te lo escribí en unas pocas líneas en mi primera respuesta:

Pero en ese caso siempre hay infinitos elementos intermedios. Al menos todos los de la forma:

\( (x_0+k,y_0+k) \) con \( k\geq 1 \)

Primero digo que si \( x_0-y_0<x_1<y_1 \) siempre hay infinitos elementos intermedios (los detalles de esto los he puesto en mi segunda respuesta).

Para que no haya elementos intermedios por tanto al menos tiene que cumplirse \( x_0-y_0=x_1-y_1 \) e \( y_0<y_1 \). Pero si existe \( y \) con \( y_0<y<y_1 \) todavía habría al menos un elemento intermedio \( (y+x_0-y_0,y) \). Entonces tiene que ocurrir que \( y_1=y_0+1 \) es decir dos elementos "consecutivos" serían de la forma:

\( (x_0,y_0) \) y \( (x_0+1,y_0+1) \).

Y esto ya es la justificación de que la única posibilidad es que \( x_0-y_0=x_1-y_1 \) y además \( y_1=y_0+1 \), lo cuál implica, \( x_1=x_0+1. \)

Saludos.

[AveFenix]

Respecto a si tiene mínimo en \( \Bbb N\times \Bbb N \), la respuesta sería no, ¿verdad? Pues, tome \( (x, y)\in \Bbb N\times \Bbb N. \) Entonces, \( (x, y+1) < (x, y) \) porque \( x - (y+1) < x - y \).

Y en esa región son todos mínimos por ende no tiene min.

[Luis Fuentes]

Hola

Respecto a si tiene mínimo en \( \Bbb N\times \Bbb N \), la respuesta sería no, ¿verdad? Pues, tome \( (x, y)\in \Bbb N\times \Bbb N. \) Entonces, \( (x, y+1) < (x, y) \) porque \( x - (y+1) < x - y \).

Esto es correcto. No tiene mínimo porque dado cualquier elemento muestras que siempre hay otro menor que él. Y con eso basta.

Y en esa región son todos mínimos por ende no tiene min.

Pero con esta frase no se que quieres decir. No se a que región te refieres ni que quieres decir con que "todos son mínimos".

Saludos.

[AveFenix]

Hola! Era tarde y estaba a punto de irme a dormir, ahora que lo leo ni yo sé por qué puse eso. Seguramente quería decir que hay elementos menores.

[AveFenix]

Volviendo al ejercicio, tengo una duda respecto a una región del plano. Al fijar un punto \( (x_1, y_1) \), me pregunto qué ocurre cuando lo comparo con los elementos ubicados debajo y hacia la izquierda. Es decir,  \( x_1 - a - (y_1 - b) > x_1 - y_1 \) En esta situación, si \( b > a \), hay elementos mayores. Y si \( a < b \), ¿ocurre lo contrario? Gracias.

Osea, hay mayores y menores en esa misma zona(?)

Además, tengo otra pregunta. Estoy verificando si cumple con la propiedad del supremo. Ya he demostrado que \( (m_x,0) \) es una cota superior. Ahora, mi objetivo es demostrar que \( (m_x,0) \) es el supremo, donde \( m_x \leq x \) (no entraré en tanto detalle). Sin embargo, no estoy seguro de cómo compararlo con cualquier  otra cota \( (x,y) \). Estoy considerando el caso  \( m_x \geq 0 \) y \( y > 0 \).

Lo mismo sucederá cuando considere \( m_x = 0 \). \( S_Y = \{y \in \mathbb{N} \,|\, (0,y) \text{ es cota superior}\} \). Aquí debo justificar que hay un máximo (ya lo hice). Luego, debo demostrar que \( (m_y,0) \) es el supremo, y me encuentro en la misma situación, no sé cómo hacerlo.